張廣龍

內(nèi)容摘要：數(shù)學(xué)應(yīng)用題是數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活結(jié)合的載體，如何更好地利用這個(gè)載體，滿足當(dāng)前數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中應(yīng)用意識(shí)對(duì)學(xué)生提出的新要求，應(yīng)用題的教學(xué)也必須進(jìn)行相應(yīng)改革，既要從知識(shí)教學(xué)進(jìn)行改革，也要對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題采用新的組織教學(xué)策略與活動(dòng)方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng) 應(yīng)用題 組織教學(xué)

1問(wèn)題提出的背景

近年來(lái)，國(guó)際各種大型組織均發(fā)布報(bào)告指出，不同行業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)的需求都發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變。經(jīng)濟(jì)合作發(fā)展組織（OECD）新發(fā)布的PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試框架，相對(duì)于PISA2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試框架，做出了重大調(diào)整。隨著科技的進(jìn)步，信息化社會(huì)的建設(shè)，知識(shí)呈爆炸式增長(zhǎng)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)對(duì)新的社會(huì)要求和個(gè)人終身發(fā)展需求，是教育改革的主要方向。

中國(guó)素質(zhì)教育改革初見(jiàn)成效，但是仍然存在一些問(wèn)題。雖然我國(guó)現(xiàn)在提出了四個(gè)課程目標(biāo)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，但是并沒(méi)有明確學(xué)生應(yīng)該如何利用這些目標(biāo)和素養(yǎng)來(lái)適用社會(huì)的發(fā)展。但隨著對(duì)核心素養(yǎng)的重視，越來(lái)越多的研究者[1]、[2]、[3]提出，教學(xué)評(píng)價(jià)除了以推動(dòng)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向外，同時(shí)需要對(duì)評(píng)價(jià)觀念進(jìn)行不斷調(diào)整，與時(shí)俱進(jìn)。PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)框架一定程度上體現(xiàn)了國(guó)際數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域最新動(dòng)態(tài)，對(duì)我們義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教育具有啟示作用。

根據(jù)PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試框架的啟示，在數(shù)學(xué)教育中，內(nèi)容的選擇方面應(yīng)該加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際情境的結(jié)合。國(guó)際課程標(biāo)準(zhǔn)比較的相關(guān)研究指出，與一些發(fā)達(dá)國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)相比，中國(guó)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)與生活情境相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容設(shè)置較少[4]。在此背景下，數(shù)學(xué)應(yīng)用題成為難得的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際情形結(jié)合的途徑。

但目前，數(shù)學(xué)教師大多將數(shù)學(xué)應(yīng)用題定位成對(duì)知識(shí)的應(yīng)用，過(guò)分注重題目解答過(guò)程，將應(yīng)用題分解為“讀題、列式、計(jì)算”的格式化過(guò)程，喪失了數(shù)學(xué)應(yīng)用題的生活情境?；谂囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的觀點(diǎn)，針對(duì)現(xiàn)在數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的觀點(diǎn)誤區(qū)，本文對(duì)初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的組織教學(xué)進(jìn)行了新的探索。

2 數(shù)學(xué)應(yīng)用題的重新理解

2.1 承載數(shù)學(xué)文化的載體

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)早已經(jīng)不只是單純的知識(shí)或應(yīng)用性的工具，更是一種文化。從歷史上看，一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，它們的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展體現(xiàn)了數(shù)理邏輯思維的應(yīng)用，在流傳中數(shù)學(xué)名人互相融合，成為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分。例如西方的將軍飲馬問(wèn)題，中國(guó)古代的雞兔同籠問(wèn)題。

現(xiàn)在我們教學(xué)要與實(shí)際生活相結(jié)合，貼近生活最主要的方式就是以生活材料為載體來(lái)命題。這些與時(shí)俱進(jìn)的題目源自生活實(shí)際，有人民的生活狀態(tài)，有科技發(fā)展水平，有現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育教學(xué)手段。這些舊的數(shù)學(xué)知識(shí)在與當(dāng)今社會(huì)特點(diǎn)融合之后，就會(huì)產(chǎn)生屬于這個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)文化。

所以對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的理解不能只停留在它是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。無(wú)論是新題還是舊題，它都是承載數(shù)學(xué)文化的載體。

2.2數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用

教師在教學(xué)中要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，數(shù)學(xué)學(xué)科源自于對(duì)生活中的問(wèn)題的解決，數(shù)學(xué)知識(shí)是為實(shí)際生活服務(wù)的，故在教學(xué)中要重視學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。從數(shù)學(xué)教材的編排來(lái)看，以北師大課標(biāo)版初中數(shù)學(xué)教材為例，無(wú)論是代數(shù)、方程、函數(shù)還是幾何，每章的編排思路都是從知識(shí)背景、掌握知識(shí)到知識(shí)應(yīng)用的角度來(lái)進(jìn)行編寫。而知識(shí)應(yīng)用的方式就是讓學(xué)生求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題。

數(shù)學(xué)理論為理科提供思維方式和計(jì)算方法，數(shù)學(xué)發(fā)展為哲學(xué)提供方法論，數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)。我們要達(dá)到的最終目的就是利用六大核心素養(yǎng)將數(shù)學(xué)與這些學(xué)科相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值。伴隨著即將到來(lái)的第四次產(chǎn)業(yè)革命，社會(huì)發(fā)展步伐加快，數(shù)學(xué)知識(shí)更加緊密地和社會(huì)生活結(jié)合在一起。之前有一種說(shuō)法，數(shù)學(xué)只有買菜才用得到。而現(xiàn)在隨著社會(huì)的信息化，計(jì)算機(jī)、手機(jī)、無(wú)線網(wǎng)、身份認(rèn)證等，生活的每個(gè)角落都充滿了數(shù)學(xué)知識(shí)。

2.3數(shù)學(xué)能力的檢測(cè)

波利亞在“怎樣解題”一書中將解題分為四步。一、弄清問(wèn)題;第二，擬定計(jì)劃;第三，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃;第四，回顧反思。根據(jù)波利亞的解題步驟，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)出數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解決方法大同小異。不過(guò)在應(yīng)用題的設(shè)計(jì)過(guò)程中還利用數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模思想，將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)題目。從數(shù)學(xué)應(yīng)用題的設(shè)計(jì)和解題步驟來(lái)看，數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解決需要學(xué)生抽象概括能力、空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力聯(lián)動(dòng)。這也就是為什么在教師看來(lái)數(shù)學(xué)應(yīng)用題非常簡(jiǎn)單，而學(xué)生老是會(huì)做錯(cuò)。學(xué)生的任何一種能力有所欠缺，結(jié)果都會(huì)反映到解題結(jié)果上。因此數(shù)學(xué)應(yīng)用題是檢測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的很好的方式。

2.4回歸實(shí)際的途徑

現(xiàn)在教育提倡課堂教學(xué)要聚焦實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于數(shù)學(xué)這門抽象性強(qiáng)的學(xué)科，在知識(shí)的講解中大部分時(shí)間體現(xiàn)的是體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維，與生活實(shí)際結(jié)合的很少。數(shù)學(xué)應(yīng)用題的設(shè)計(jì)大多源自于生活實(shí)際，在講解時(shí)可以采用探索式的教學(xué)方式。例如，可以讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)題目、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、實(shí)地探索等方式，讓學(xué)生從書本中走到實(shí)際生活中來(lái)，進(jìn)而達(dá)到回歸實(shí)際的目的。

3 對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)策略

3.1 回歸數(shù)學(xué)文化，提高學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)文化的回歸以新舊兩個(gè)方向來(lái)進(jìn)行。從舊數(shù)學(xué)文化方面來(lái)看，可以將數(shù)學(xué)經(jīng)典題目融入到課堂教學(xué)，學(xué)生就會(huì)從聽(tīng)故事，解答疑惑的角度去看待一道題目。

例1 墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，他忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路，上帝給予的童年占六分之一，又過(guò)了十二分之一，兩頰長(zhǎng)胡，再過(guò)七分之一，點(diǎn)燃結(jié)婚的蠟燭，五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入墳?zāi)?，悲傷只有用?shù)論研究去彌補(bǔ)，又過(guò)四年，他也走完了人生的旅途[1]。通過(guò)這番話，你能知道丟番圖一共活了多少歲嗎？

這道題歸根結(jié)底是一元一次方程的應(yīng)用問(wèn)題，通過(guò)這道題來(lái)組織教學(xué)一元一次方程，可以讓學(xué)生在趣味中體會(huì)到列方程解應(yīng)用題的一般步驟。

例2將軍飲馬問(wèn)題：古時(shí)候有位將軍，每天從軍營(yíng)回家，都要經(jīng)過(guò)一條筆直的小河。而將軍的馬每天要到河邊喝水，那么問(wèn)題來(lái)了，問(wèn)題：怎樣走才能使總路程最短呢？

這道題是一道線段最短問(wèn)題，利用故事將學(xué)生引入到數(shù)學(xué)情境中，擺脫學(xué)習(xí)的枯燥性。由讓學(xué)生解題變成幫助將軍解答難題，通過(guò)學(xué)生自主探索，解答出來(lái)，她不僅能達(dá)到知識(shí)應(yīng)用的目的，更重要地是能獲得“幫助”將軍帶來(lái)的成就感，進(jìn)而提高了學(xué)習(xí)的積極性。

從新的數(shù)學(xué)文化角度來(lái)看，教師要主動(dòng)設(shè)計(jì)一些與時(shí)俱進(jìn)的題目。學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題時(shí)就會(huì)從解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的角度去思考，進(jìn)而達(dá)到貼近生活提高學(xué)習(xí)興趣的目的。

在講解利用全等三角形測(cè)高時(shí)，七中育才水井坊校區(qū)的馮婷老師則將問(wèn)題與近代文化結(jié)合起來(lái)。

例3 1937年7月7日，抗日戰(zhàn)爭(zhēng)爆發(fā)。戰(zhàn)斗英雄李云龍，率部憑借過(guò)硬的戰(zhàn)術(shù)戰(zhàn)法，越戰(zhàn)越勇，讓敵人聞風(fēng)喪膽。在一次與日本坂田聯(lián)隊(duì)的交戰(zhàn)中，為了炸掉敵軍指揮部，炮兵需要知道指揮部與我軍陣地的距離。在沒(méi)有測(cè)量工具又不能直接測(cè)量的情況下，你能幫炮兵想想辦法嗎？

馮婷老師在設(shè)計(jì)這道題時(shí)就與現(xiàn)代文化背景結(jié)合起來(lái)。在引入這道題時(shí)，首先放了與此題相關(guān)的視頻片段，將題目與我國(guó)近代歷史背景結(jié)合，創(chuàng)設(shè)情境，提高學(xué)生的文化認(rèn)知，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。在課堂上，為了能幫助李云龍部隊(duì)取得勝利，現(xiàn)場(chǎng)的同學(xué)紛紛出謀劃策，課堂的氛圍一下子就上去了。同時(shí)，視頻、抗日戰(zhàn)爭(zhēng)等也是現(xiàn)代文化的體現(xiàn)，將他們?nèi)谌藬?shù)學(xué)，結(jié)合現(xiàn)在的時(shí)代特色，就產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)文化。

3.2鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，開(kāi)闊數(shù)學(xué)視野

數(shù)學(xué)應(yīng)用題不只是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，它也應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展和延伸。學(xué)生在課堂上可以掌握到的知識(shí)是有限的，在義務(wù)教育階段我們最主要的目的是要使得學(xué)生能學(xué)習(xí)到基礎(chǔ)知識(shí)和掌握數(shù)學(xué)能力，但這樣就會(huì)存在一個(gè)弊端，不同學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是不一樣的，我們不能給有數(shù)學(xué)興趣和數(shù)學(xué)天賦的孩子提供充足的養(yǎng)分。

以黃金分割的應(yīng)用為例。黃金分割從考試要求上來(lái)看，它很簡(jiǎn)單，可能就考黃金分割率約等于0. 618或等于√5-1/2這兩個(gè)數(shù)字。但是黃金分割在數(shù)學(xué)中的地位是非常重要的，被稱為數(shù)學(xué)中的黃金。部分老師會(huì)將這里拓展到黃金三角形、黃金矩形，但是從數(shù)學(xué)視野的拓展來(lái)看，止步于此是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。黃金分割在生物學(xué)、建筑學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等都有十分精彩的體現(xiàn)，它與斐波拉契級(jí)數(shù)息息相關(guān)，利用這些點(diǎn)設(shè)計(jì)黃金分割應(yīng)用題，學(xué)生的數(shù)學(xué)視野就會(huì)變得更加開(kāi)闊。

3.3培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，鍛煉數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題過(guò)程是一個(gè)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型并求解的思維過(guò)程。整個(gè)解題過(guò)程應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)放在首位，而不是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題的求解進(jìn)行程式化教學(xué)。應(yīng)用題教學(xué)除了可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，也是鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的途徑。

一元二次方程的應(yīng)用中，經(jīng)濟(jì)類問(wèn)題鍛煉了學(xué)生的代數(shù)思想，幾何類問(wèn)題鍛煉了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想。實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題中，存在性問(wèn)題鍛煉了假設(shè)思想方法。而這些都體現(xiàn)了符號(hào)化的思想方法。所以在教學(xué)中，不能只看到對(duì)知識(shí)應(yīng)用這一個(gè)作用，把題目解出來(lái)，更要抓住應(yīng)用題的特點(diǎn)，在引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的同時(shí)，鍛煉他們的數(shù)學(xué)思維。

3.4回歸綜合實(shí)踐，跟隨時(shí)代步伐

數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活。而數(shù)學(xué)因?yàn)槌３Ｅc做題掛鉤，很多綜合實(shí)踐課寫滿了其它學(xué)科，唯獨(dú)不見(jiàn)數(shù)學(xué)課的影子。我們都知道單純的講解永遠(yuǎn)給不了實(shí)際操作帶來(lái)的興趣。數(shù)學(xué)應(yīng)用題因其與實(shí)際生活相結(jié)合的特點(diǎn)，是讓數(shù)學(xué)回歸綜合實(shí)踐的一個(gè)很好的方法。

“利用相似三角形測(cè)高”無(wú)論是測(cè)旗桿還是城墻，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的改編都可以成為綜合實(shí)踐課中的一個(gè)附加項(xiàng)目。綜合實(shí)踐課涉及到多門學(xué)科，例如將物理學(xué)中的光與數(shù)學(xué)中的測(cè)高組合在一起，數(shù)學(xué)老師與物理老師合作，既能完成教學(xué)任務(wù)，還能讓學(xué)生體會(huì)到不同學(xué)科之間的聯(lián)系，從書本走向?qū)嶋H。

4 總結(jié)

數(shù)學(xué)應(yīng)用題是數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的橋梁，在教學(xué)中抓住對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的定位，基于21世紀(jì)社會(huì)對(duì)人才的要求，在數(shù)學(xué)教育中，內(nèi)容的選擇方面應(yīng)該加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際情境的結(jié)合，在教學(xué)中努力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以便學(xué)生得到更好的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1]辛濤，姜宇，基于核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)教育評(píng)價(jià)改革[J].中國(guó)教育學(xué)刊，2017（4）：20-23.

[2]史寧中，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中的關(guān)鍵問(wèn)題[Jl.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（1）：8-10.

[3]董林偉，喻平，基于學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測(cè)的初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展?fàn)顩r調(diào)查[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（1）：7-13.

[4]康玥媛，曹一鳴，小學(xué)、初中數(shù)學(xué)認(rèn)知要求的國(guó)際比較——基于中、美、英、澳、芬、新六國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)的研究[J].教育科學(xué)研究，2016（1）：65-70.

[5]董連春1，吳立寶2，王立東.PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)框架評(píng)介[Jl.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28 （4）：6- 10.

[6]馬復(fù)，義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2018，6（7）：129.