宋曉光

摘要：數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括或近似地描述現(xiàn)實世界事物特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型思想就是通過對數(shù)學(xué)模型的研究來解決現(xiàn)實問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透模型思想的做法有：溝通新舊知識，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型;創(chuàng)設(shè)認知沖突，夯實數(shù)學(xué)模型;精練再生經(jīng)驗，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型;貫通學(xué)習(xí)方法，重構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想認知沖突再生經(jīng)驗

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括或近似地描述現(xiàn)實世界事物特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。模型思想就是通過對數(shù)學(xué)模型的研究來解決現(xiàn)實問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型主要有數(shù)的概念、計算法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等。下面，結(jié)合一些具體的案例，談一談筆者對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中模型思想的滲透的思考。

一、溝通新舊知識，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

鄭毓信教授曾提出“基礎(chǔ)知識不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)”的觀點。教學(xué)中，教師應(yīng)力求溝通新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，便于學(xué)生更加輕松地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

例如，特級教師嵇憲長教學(xué)《認識平均分》一課時，是這樣溝通新舊知識的——

師（板書：分）今天要學(xué)的內(nèi)容，跟這個字有關(guān)。說起“分”，小朋友最熟悉的莫過于一年級學(xué)過的“數(shù)的組成”了。下面，就請跟著老師一起回憶一下這些數(shù)的組成，說一說4、6、8可以分成幾和幾。

（教師根據(jù)學(xué)生的回答出示如圖1所示的4、6、8的分解式。學(xué)生齊讀后，發(fā)現(xiàn)分法特別的三組：4可以分成2和2;6可以分成3和3;8可以分成4和4。）

師這一份是2，這一份也是2，分得——

生很整齊。

師很公平。數(shù)學(xué)上給它起個特別的名字，叫作“平均分”。那怎樣才是平均分呢？

生每份分得同樣多！

師那另外的分法為什么不是平均分？

生4可以分成1和3，不是平均分，因為一份是1，一份是3;4可以分成3和1，也不是平均分，因為一份是3，一份是1。

……

本片段中，教師充分溝通新舊知識，引導(dǎo)學(xué)生借用一年級學(xué)過的“數(shù)的組成”知識來認識平均分這種特殊的分法，直觀地凸顯了平均分的本質(zhì)——每份同樣多，完成了“平均分”模型的初步建構(gòu)。

二、引發(fā)認知沖突，夯實數(shù)學(xué)模型

鄭毓信教授同時也提出“基本技能不應(yīng)求全，而應(yīng)求變”的觀點。在學(xué)生形成技能的過程中，教師要通過變化來引發(fā)認知沖突，從而幫助學(xué)生在思辨中夯實數(shù)學(xué)模型。

仍以嵇老師的《認識平均分》一課為例。學(xué)生借助“數(shù)的組成”理解平均分成2份后，教師通過變式提問，引發(fā)學(xué)生的認知沖突：“如果老師給你一個‘3’，你能把它平均分嗎？”絕大部分學(xué)生認為不能，因為分成的一份是2個，一份是1個。教師追問：“能不能讓它每份分得同樣多呢？”有學(xué)生說：“能！再加1個?！苯處煆娬{(diào)條件：“不改變總數(shù)，如何分才能做到每份分得同樣多？”經(jīng)過一段時間的思考，有學(xué)生說：“平均分成3份。”教師小結(jié)：“剛才同學(xué)們說不能，是不能平均分成2份。平均分成3份就能了。這說明，平均分的時候，可以根據(jù)需要把總數(shù)分成2份、3份、4份……”

本片段中，針對學(xué)生可能形成思維定式“平均分就是分成2份”的情況，教師引發(fā)了他們的認知沖突——將3平均分，讓學(xué)生在拓展“份數(shù)”的過程中深入理解平均分，從而夯實了“平均分”的數(shù)學(xué)模型。

三、精練再生經(jīng)驗，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

再生經(jīng)驗是指在相同的活動情境下，學(xué)生根據(jù)前一次活動經(jīng)驗照著模式套用，完成后一次活動情境中的數(shù)學(xué)任務(wù)，再生活動經(jīng)驗。由于班級授課制的特殊性，教學(xué)中更多地借助學(xué)生的原初經(jīng)驗，形成再生經(jīng)驗，然后利用再生經(jīng)驗解決學(xué)習(xí)中的大部分問題。精練學(xué)生的再生經(jīng)驗，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實問題的局限性，從而優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

例如，特級教師徐長青教學(xué)《烙餅問題》一課時，是這樣精練學(xué)生的再生經(jīng)驗的——

將餅分為能運用“資源數(shù)”的偶數(shù)張、奇數(shù)（不含1）張及不能運用“資源數(shù)”的1張。相比較而言，學(xué)生理解偶數(shù)張餅的情況要簡單一些，所以教學(xué)從這里開始。教師先讓學(xué)生默讀題干：每次只能烙2張餅，每面都要烙，每面3分鐘。然后引導(dǎo)學(xué)生理解“每次只能烙2張餅”的含義：3張行不行？1張行不行？為什么不行？學(xué)生很輕松地回答：3張不行，1張行，因為每次只能烙最多2張。接著，多媒體演示烙餅過程：2張餅一起烙，用時6分鐘。引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)得到經(jīng)驗：2張餅同時烙，最短的時間為6分鐘。處理4張餅的情況時，學(xué)生直接把2張餅的經(jīng)驗進行了再生。教師歸納并板書：經(jīng)驗+經(jīng)驗=新經(jīng)驗。處理6張餅的情況后，教師組織學(xué)生優(yōu)化解決策略：將新問題轉(zhuǎn)化為老問題。

接著，處理奇數(shù)張餅的情況。對于烙3張餅的時間，學(xué)生出現(xiàn)了9分鐘和12分鐘兩種答案：計算時發(fā)現(xiàn)，3張餅，共6面，每次同時烙2張餅，6÷2=3（次），3×3=9（分鐘）;可演示時卻發(fā)現(xiàn)，2張餅烙6分鐘，1張餅也烙6分鐘，共12分鐘。教師及時點撥：9分鐘的時候，只放了1張餅，浪費了。怎么辦？學(xué)生豁然開朗：烙一次，拿走1張半熟的，再放1張生的上去;再烙一次，拿走1張全熟的，再放1張半熟的上去;再烙一次。教師小結(jié)：3張餅可以交替烙。至此，學(xué)生的再生經(jīng)驗得到了精練，并初步建立了“同時烙+交替烙”的烙餅?zāi)Ｐ?。運用這一模型，學(xué)生發(fā)現(xiàn)5張餅、7張餅……的情況都能順利處理。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：每增加1張餅，多3分鐘;每減少1張餅，少3分鐘。

教學(xué)順理成章地過渡到第三個層次——特殊的1張餅的情況。學(xué)生發(fā)現(xiàn)此時不符合奇數(shù)張餅的烙餅?zāi)Ｐ汀挥?張餅，不能同時烙，也不能交替烙。教師順勢介紹“資源數(shù)”2，只有2張餅及以上才能充分利用資源，1張餅不能充分利用資源。那怎樣才能利用“資源數(shù)”呢？學(xué)生突發(fā)奇想：把鍋切成兩半！教師總結(jié)提升：所以，現(xiàn)在市場上也有了兩面同時烙的電餅鐺。改變環(huán)境與條件，同樣也是一種優(yōu)化。

徐老師的課上，學(xué)生歷經(jīng)了三次再生經(jīng)驗的精練，數(shù)學(xué)模型也隨之逐漸優(yōu)化：第一次，由2張餅的情況再生到偶數(shù)張餅的情況，建立同時烙的模型;第二次，再生到奇數(shù)張餅的情況，優(yōu)化得到“同時烙+交替烙”的模型;第三次，再生到“資源數(shù)”，從根本上重建并優(yōu)化出“改變環(huán)境與條件”的模型。

四、貫通學(xué)習(xí)方法，重構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型的重構(gòu)不是簡單的復(fù)原，而是更深刻的理解，是圍繞解決現(xiàn)實問題的重建。隨著學(xué)生認知活動的不斷深入，學(xué)生建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型有時會出現(xiàn)某些偏差，會對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起負遷移作用。因此，就有必要引導(dǎo)學(xué)生在更高層次上不斷對已有模型進行重構(gòu)，將其“擴建”成為一個更大的模型結(jié)構(gòu)。這樣，學(xué)生思考問題會更深刻，對數(shù)學(xué)模型的理解會更透徹，更重要的是，思維會變得更加理性。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊《小數(shù)加法和減法》一課，教師出示例1情境圖和問題（如圖2），讓學(xué)生嘗試用豎式計算。學(xué)生小組討論后，交流算法。有學(xué)生是這樣算的：4.75元是475分，3.4元是340分，5+0=5（分），7+4=11（角），留下1角，另外10角換成1元，和4元、3元加在一起，為8元，一共就是8元1角5分，所以列豎式時，末尾對齊相加。還有學(xué)生是這樣算的：4個“1”和3個“1”加，7個“110”和4個“110”加，5個“1100”跟自己（0）加，所以列豎式時，小數(shù)點對齊相加。這時，教師引導(dǎo)學(xué)生討論兩種算法的共同點，發(fā)現(xiàn)：都是同樣的計量或計數(shù)單位相加;表現(xiàn)在計算方法上，看似一個是末尾對齊相加，另一個是小數(shù)點對齊相加，但實質(zhì)都是相同數(shù)位對齊相加。從而明確：改變計數(shù)單位，小數(shù)加法就可以變成整數(shù)加法。即4.75+3.4，可以看成是475個“1100”加340個“1100”，得815個“1100”，就是8.15。同理，小數(shù)減法也可以與整數(shù)減法的學(xué)習(xí)方法貫通。

（1） 小明和小麗一共要用多少元？

由于小數(shù)是整數(shù)的一次擴展認識，因此在很多方面與整數(shù)有著共通之處：十進制的計數(shù)法，相同數(shù)位對齊的算理，等等。在教學(xué)中貫通這些學(xué)習(xí)方法，可使學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)模型的相同本質(zhì)，重構(gòu)更大的數(shù)學(xué)模型。

參考文獻：

[1] 司守奎，孫兆亮.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用（第2版）[M].北京：國防工業(yè)出版社，2015.

[2] 楊凱，王真紅.學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容疑難問題解析——小學(xué)數(shù)學(xué)[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2012.