邱偉彬 林志立

摘? 要：文章以COMSOL RF 模塊為工具，進(jìn)行半導(dǎo)體光電子學(xué)課程中的光子晶體的教學(xué)。文中以介質(zhì)光子晶體和色散材料光子晶體為例，給學(xué)生介紹了如何利用商用軟件計(jì)算特定結(jié)構(gòu)的光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，并且實(shí)現(xiàn)二維光場(chǎng)結(jié)構(gòu)的可視化輸出，使學(xué)生既掌握光子晶體能帶結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，又掌握如何使用商用軟件來獲得此能帶結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞：COMSOL;光波導(dǎo);仿真;商用軟件

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2019）07-0084-03

Abstract： In this paper， we use COMSOL RF module as a tool to teach photonic crystals in semiconductor optoelectronics course. Taking dielectric photonic crystals and dispersive materials photonic crystals as examples， this paper introduces how to use commercial software to calculate the band structure of photonic crystals with specific structures， and realize the visual output of two-dimensional optical field structure， so that students can not only grasp the characteristics of band structure of photonic crystals， but also grasp how to use commercial software to get the band structure.

Keywords： COMSOL; optical waveguide; simulation; commercial software

一、概述

光子晶體是一直介電常數(shù)受到周期性調(diào)制的結(jié)構(gòu)，類似于電子在晶體中的運(yùn)動(dòng)受到晶體中受到周期性勢(shì)場(chǎng)限制而呈現(xiàn)的允帶和禁帶，光子在周期性介電常數(shù)分布的結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)也出現(xiàn)允帶和禁帶，因此該晶體就被形象地稱為光子晶體。同樣類似于晶體，光子晶體也可以分為一維，二維和三維結(jié)構(gòu)。光子晶體是半導(dǎo)體器件中的一個(gè)重要結(jié)構(gòu)，以光子晶體為基礎(chǔ)，可以構(gòu)建包括光波導(dǎo)、半導(dǎo)體激光器、分束器等一系列重要集成器件。在《半導(dǎo)體光電子學(xué)》課程中是一個(gè)重要內(nèi)容，是電子科學(xué)與技術(shù)專業(yè)本科和碩士教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)。

傳統(tǒng)的光子晶體教學(xué)方法是從解麥克斯韋方程出發(fā)，利用布洛赫定理，再采用平面波近似或緊束縛近似的方法獲得光子晶體能帶結(jié)構(gòu)。這個(gè)方法基本上與第一性原理計(jì)算固體能帶的方法類似。其特點(diǎn)就是需要復(fù)雜的微分方程、電磁場(chǎng)理論、矢量分析等高深數(shù)學(xué)工具。在教學(xué)中往往需要冗長和晦澀的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，同時(shí)，色散介質(zhì)（介電常數(shù)隨著光波長的變化而變化）光子晶體能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算則更加復(fù)雜難懂，導(dǎo)致學(xué)生望而生畏而失去興趣。因此光子晶體部分的教學(xué)一直以來都是本科高年級(jí)和碩士生《半導(dǎo)體光電子學(xué)》的一個(gè)難點(diǎn)。因此部分教材干脆拋棄這部分內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生知識(shí)面縮窄。如何有效進(jìn)行該部分的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是擺在面前的一個(gè)重要課題。

本文根據(jù)工科本科生和碩士生的特點(diǎn)，避免冗長晦澀的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，充分發(fā)揮商用軟件的優(yōu)勢(shì)，簡單生動(dòng)地得到光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，利用軟件自帶的可視化輸出功能，使學(xué)生快速掌握光子晶體概念獲得能帶結(jié)構(gòu)和光場(chǎng)分布。結(jié)合利用迭代方法，獲得色散介質(zhì)的光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。通過教學(xué)實(shí)踐，獲得了良好的教學(xué)效果。

二、COMSOL RF模塊的基本特點(diǎn)及優(yōu)勢(shì)

COMSOL是一個(gè)基于有限元方法求解各類偏微分方程的商用軟件包，這個(gè)軟件包包括了射頻（RF）等20多個(gè)模塊。RF模塊被用于在一般電磁波領(lǐng)域內(nèi)求解電磁問題，比如射頻，微波，光學(xué)和光子學(xué)問題。該模塊含有多個(gè)求解器包括本征值，邊界模，頻域傳播等，可以輕松獲得電磁波在介質(zhì)和空間的傳播或局域化等特性，進(jìn)而獲得傳播常數(shù)，有效折射率，品質(zhì)因子，損耗系數(shù)等參數(shù)。這個(gè)模塊的優(yōu)勢(shì)是可以將人們從繁瑣的編程中解放出來，無需編寫程序求解麥克斯韋。只要畫出所設(shè)計(jì)的光學(xué)結(jié)構(gòu)，設(shè)定好材料參數(shù)，選用合適的求解器，軟件即可給出合適的輸出，人們可以根據(jù)軟件輸出研究電磁波（光波）的本征特性和傳播特性。這個(gè)軟件對(duì)于形象地理解半導(dǎo)體光電子器件的基本原理特別有效。尤其是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的工科學(xué)生來說，可以避免繁雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，直接獲得器件中的電磁場(chǎng)分布和特征性質(zhì)，是一個(gè)很有用的教學(xué)工具。

三、二維介質(zhì)材料光子晶體的教學(xué)過程

我們首先以二維介質(zhì)材料光子晶體為例，進(jìn)行光子晶體能帶結(jié)構(gòu)的教學(xué)。首先我們考慮一個(gè)以硅柱為散射體的立方晶格的光子晶體。由于我們考慮的是光波長1微米在近紅外區(qū)域，硅材料在這個(gè)區(qū)域范圍內(nèi)的折射率不隨著波長的變化，同時(shí)其對(duì)光的吸收也可以忽略，因此可以將這個(gè)光子晶體結(jié)構(gòu)考慮為純介質(zhì)光子晶體。根據(jù)固體物理和半導(dǎo)體物理的知識(shí)，要獲得晶體的能帶結(jié)構(gòu)首先應(yīng)該知道其K空間中的布里淵區(qū)。此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生回憶復(fù)習(xí)固體物理和半導(dǎo)體物理的相關(guān)內(nèi)容，對(duì)于跨專業(yè)的碩士生可引導(dǎo)他們自主學(xué)習(xí)該部分知識(shí)。

圖1所示的就是所教學(xué)的硅材料光子晶體結(jié)構(gòu)元胞示意圖和簡約布里淵區(qū)示意圖。我們首先在COMSOL RF模塊對(duì)話框打開參數(shù)對(duì)話框，輸入所需要的參數(shù)，如硅折射率 3.4，硅柱半徑 0.5um，正方晶格元胞的周期2um，即晶格常數(shù)等。整個(gè)晶體置于空氣之中，即周圍的折射率為1。設(shè)置K空間中的kx1=2Π/a， ky1=2Π/a。在材料對(duì)話框中設(shè)置硅材料折射率為3.4，空氣折射率為1.0.接下來我們?cè)诜匠痰膶?duì)話框中設(shè)定周期性邊界條件，即kx=n*kx1，

ky=n*ky1， 對(duì)于kx，ky來說，根據(jù)所需要的K空間所需要計(jì)算的方向，n可以各自從0 到1取值。最后選取本征頻率求解器。對(duì)模型進(jìn)行n值的掃描，即可獲得所需方向上的能帶圖形。作為一個(gè)例子，我們求解了K空間中從（0，0）到（0，kx1），再到（kx1，ky1）最終回到（0，0）這個(gè)路徑的能帶圖。圖2所示的即為該路徑的能帶圖。圖中可以明顯看出，能帶之間明顯存在著帶隙。以該模型為出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生掌握如何計(jì)算光子晶體中的缺陷模式的本征頻率，品質(zhì)因子和光場(chǎng)分布。最終讓學(xué)生掌握介質(zhì)光子晶體的概念、特點(diǎn)、優(yōu)勢(shì)和其他拓展知識(shí)。

四、二維色散材料光子晶體能帶的計(jì)算

對(duì)于二維色散材料光子晶體來說，其折射率隨著頻率的變化而變化，因此模型中不能直接求解本征頻率，而是要利用迭代的方法來計(jì)算。模型的構(gòu)建和各種參數(shù)的輸入與介質(zhì)材料光子晶體一樣。不同的是，我們首先輸入一個(gè)猜想的本征頻率f0， 根據(jù)模型計(jì)算輸出頻率f1，由于色散材料的原因，一般情況f0不等于f1，這時(shí)我們將f2=（f0+f1）/2代替f0作為猜想頻率輸入，得到輸出頻率，比較輸入頻率和輸出頻率的差值，當(dāng)這個(gè)差值小于一定的范圍時(shí)，即可認(rèn)為這個(gè)結(jié)果就是本征頻率，再改變其他參數(shù)，直至獲得整個(gè)能帶結(jié)構(gòu)。

我們以石墨烯材料為例，構(gòu)建二維色散材料光子晶體，圖3（a）所示的是光子晶體原胞示意圖，大面積部分石墨烯的化學(xué)勢(shì)uc1=0.7eV，而納米盤的石墨烯化學(xué)勢(shì)uc2=0.4eV， 晶格常數(shù)為50nm， 納米盤直徑為20nm。圖3（b）所示的就是向?qū)?yīng)的能帶圖，圖中也可以明顯看出兩個(gè)允帶之間存在著一個(gè)禁帶。同樣地以此模型為出發(fā)，讓學(xué)生掌握石墨烯光子晶體中地缺陷態(tài)模式，計(jì)算其缺陷態(tài)模式的頻率，電磁場(chǎng)分布和品質(zhì)因子等重要參數(shù)。

五、結(jié)束語

本文以COMSOL RF模塊為工具，在本科高年級(jí)和碩士生半導(dǎo)體光電子學(xué)中的光子晶體的教學(xué)過程中，繞開了冗長繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，以二維介質(zhì)光子晶體和色散介質(zhì)光子晶體能帶結(jié)構(gòu)為例，數(shù)值化給出了光子晶體能帶結(jié)構(gòu)，同時(shí)進(jìn)行可視化輸出。并以此為基礎(chǔ)，讓學(xué)生掌握缺陷模式的計(jì)算與仿真，收到了良好的教學(xué)效果。

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