何川 趙文靜

摘? 要：教學(xué)是一門藝術(shù)。對(duì)于大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，一個(gè)好的教學(xué)效果，不僅是把數(shù)學(xué)知識(shí)、技巧講的準(zhǔn)確，而且要在講授數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧的過(guò)程中，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式。在這些都做好的基礎(chǔ)上，如果在教學(xué)的過(guò)程中還能教出數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，那么會(huì)讓學(xué)生發(fā)自內(nèi)心地喜歡上數(shù)學(xué)。如何教出數(shù)學(xué)的樂(lè)趣？筆者以《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中的知識(shí)點(diǎn)為例，從“在思維中找樂(lè)趣”、“充分運(yùn)用對(duì)比的手法備課”和“在應(yīng)用中找樂(lè)趣”三個(gè)角度闡述如何教出數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);藝術(shù);應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2019）07-0079-03

Abstract： Teaching is an art. For college mathematics teaching， a good teaching effect is not only to accurately explain mathematical knowledge and skills， but also to pay attention to cultivating students' mathematical thinking mode in the process of teaching mathematical knowledge and skills. How to teach math for fun？ Taking the knowledge points in probability theory and mathematical statistics as an example， the author expounds how to teach the pleasure of mathematics from the three perspectives of "finding pleasure in thinking"， "making full use of the technique of contrast to prepare lessons" and "finding pleasure in application".

Keywords： mathematics; art; application

眾所周知，興趣是推動(dòng)一個(gè)人求知的巨大內(nèi)在力量。許多數(shù)學(xué)家之所以把畢生的精力奉獻(xiàn)給數(shù)學(xué)，是因?yàn)樗麄冊(cè)诳蒲械倪^(guò)程中發(fā)現(xiàn)了學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。然而現(xiàn)實(shí)生活中的情況大多是：許多人一提到數(shù)學(xué)不但不覺得快樂(lè)，反而枯燥的感覺更多一些。前者在人群中只是一少部分，而后者卻是絕大多數(shù)。因此一個(gè)好的教學(xué)效果不僅要教好學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧，而且會(huì)在教授知識(shí)和技巧的過(guò)程中，教會(huì)學(xué)生如何去發(fā)現(xiàn)和感受數(shù)學(xué)的快樂(lè)。因?yàn)橐坏W(xué)生發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)表面隱藏的內(nèi)在樂(lè)趣之后，他自己就會(huì)主動(dòng)的學(xué)習(xí)了，主動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)可能會(huì)讓一個(gè)人受益終生。所以教出數(shù)學(xué)的樂(lè)趣是一個(gè)值得我們大學(xué)教師共同探討的話題。

一、在思維中找樂(lè)趣

從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)的真正精髓不在于數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技巧的本身，而在于數(shù)學(xué)思維。這就如同歌唱中的樂(lè)感、打球中的球感、文學(xué)創(chuàng)作中的靈感一樣。在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維方式要比講授數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧更為重要。我們知道許多數(shù)學(xué)專業(yè)課經(jīng)常是邏輯推理，訓(xùn)練的是邏輯思維。那么我們不妨就在思維上入手，去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教與學(xué)的樂(lè)趣。筆者總結(jié)有兩種方式。一個(gè)是注重引導(dǎo)，一個(gè)是注重思維的跳躍性。

一個(gè)是注重引導(dǎo)。許多數(shù)學(xué)定理的證明是很長(zhǎng)的，筆者認(rèn)為在推導(dǎo)定理之前，先復(fù)習(xí)一下定理中涉及到的之前學(xué)過(guò)的知識(shí)是非常重要的一環(huán)，這就如同小說(shuō)寫作中前文埋下的伏筆。之后在整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中，在用到這些公式的地方不去直接講，而是采用提問(wèn)的方式，盡量讓學(xué)生自己說(shuō)出來(lái)下一步的解決方法。也就是說(shuō)數(shù)學(xué)教師起到的是引導(dǎo)、啟發(fā)的作用，而不是直接告訴學(xué)生結(jié)果。因?yàn)檫@個(gè)結(jié)果如果是學(xué)生主動(dòng)說(shuō)出來(lái)的，那么他便會(huì)有一種成就感，因?yàn)樗?jīng)過(guò)了一個(gè)思維的過(guò)程。而且他也會(huì)對(duì)自己經(jīng)過(guò)思考得出來(lái)的結(jié)論記憶持久。很多教師在教學(xué)過(guò)程中為了在有限的時(shí)間內(nèi)講更多的知識(shí)往往直接告訴結(jié)論，學(xué)生被動(dòng)地去接受，忽略了這一點(diǎn)，那么恰恰就在這一點(diǎn)上讓學(xué)生失去了感受數(shù)學(xué)快樂(lè)的機(jī)會(huì)。

一個(gè)是注重思維的跳躍性。如果說(shuō)注重引導(dǎo)是讓學(xué)生思維一步一步的前行，那么跳躍式的思維會(huì)讓學(xué)生感覺到驚喜。例如，在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的“線性回歸分析”一節(jié)中，可以這樣先這樣介紹?！熬€性回歸分析”也可簡(jiǎn)稱為“線性分析”，為什么通常加上“回歸”兩個(gè)字？其實(shí)這是屬于歷史遺留問(wèn)題，因?yàn)榫€性分析最初研究的是子女身高和父母身高的關(guān)系問(wèn)題。這可時(shí)以直接提問(wèn)學(xué)生：“父母身高比較高的家庭，一般情況下他們孩子的身高會(huì)不會(huì)比父母身高還要高？即所謂的青出于藍(lán)而勝于藍(lán)”？很多學(xué)生可能說(shuō)“會(huì)”。正確答案是不會(huì)。對(duì)于這個(gè)結(jié)論就不要引導(dǎo)學(xué)生一步一步的思維了，而是直接給出答案，不會(huì)！學(xué)生可能會(huì)一驚！接下來(lái)他們就非常想知道為什么不會(huì)，然后教師再接著講課，那么學(xué)生聽課的興趣就會(huì)大大地提高。所以教師在備課過(guò)程中，除了一步一步按邏輯推導(dǎo)之外，還要善于發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)跳躍性的處理可以達(dá)到讓學(xué)生驚喜的知識(shí)點(diǎn)。

二、運(yùn)用“對(duì)比”的手法備課

中科院院士嚴(yán)加安先生在《科學(xué)與藝術(shù)有共性也有交融》一文中說(shuō)：“科學(xué)和藝術(shù)都源于人類的社會(huì)和精神活動(dòng)，在人類歷史上是共濟(jì)和互動(dòng)的，共同譜寫了人類燦爛的文明。在人類早期，還沒有科學(xué)，只有技術(shù)和藝術(shù)，那時(shí)的技術(shù)和藝術(shù)是不可分的?！薄昂髞?lái)隨著社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展和技術(shù)的進(jìn)步，才逐步產(chǎn)生出科學(xué)，即知識(shí)體系，科學(xué)和藝術(shù)才逐步分化開來(lái)?！薄翱茖W(xué)與藝術(shù)的相互交融，首先指的是藝術(shù)的科學(xué)化和科學(xué)的藝術(shù)化?！盵1]數(shù)學(xué)是科學(xué)的一個(gè)分支，既然科學(xué)和藝術(shù)有共性，那么從藝術(shù)的角度看待數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)，則別有一番意味，甚至可以帶給我們很多數(shù)學(xué)教學(xué)中新的啟示。筆者通過(guò)教學(xué)感悟最多的就是充分、靈活運(yùn)用對(duì)比的手法。因?yàn)樗械乃囆g(shù)形式，比如繪畫、歌唱、朗誦、舞蹈等等都有一個(gè)共性，那就是對(duì)比。例如繪畫中色彩明與暗的對(duì)比，舞蹈中動(dòng)作剛與柔的對(duì)比、快與慢的對(duì)比，歌唱中聲部高與低的對(duì)比，朗誦中講究抑揚(yáng)頓挫也是這個(gè)道理。那么在教學(xué)中，充分、靈活運(yùn)用對(duì)比的手法一定會(huì)使課堂教學(xué)充滿活力。筆者總結(jié)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)比的手法包括如簡(jiǎn)單與難的對(duì)比、邏輯推導(dǎo)與計(jì)算的對(duì)比、專業(yè)內(nèi)的角度與專業(yè)外的角度看問(wèn)題對(duì)比等等。

1. 簡(jiǎn)單與難的對(duì)比，就是從內(nèi)容的難易程度上，每節(jié)課的內(nèi)容不要從始至終都難，也不要從始至終都簡(jiǎn)單。數(shù)學(xué)本身的難度是客觀存在的，然而并非所有的知識(shí)都難、也有簡(jiǎn)單的知識(shí)。在教學(xué)中教師如何主觀上將難的知識(shí)簡(jiǎn)單化、將淺的知識(shí)難度化，這就需要教師本人的二度創(chuàng)作。教師教學(xué)就像一位演員，演員演戲是根據(jù)劇本來(lái)演，教師教學(xué)是根據(jù)課本來(lái)教，然而一個(gè)好的演員是能根據(jù)自己的人生閱歷對(duì)劇本的人物進(jìn)行二度創(chuàng)作、讓劇本中的人物生動(dòng)鮮明的刻畫出來(lái)，教師也一樣，如果能將數(shù)學(xué)中抽象的知識(shí)、定理根據(jù)自己的感悟給出一個(gè)直觀上的理解，那么就會(huì)把難的知識(shí)簡(jiǎn)單化，學(xué)生聽課的效果就會(huì)好。反之，如果講義中的內(nèi)容簡(jiǎn)單，那么教師要對(duì)其細(xì)節(jié)根據(jù)自己所掌握到的知識(shí)深入進(jìn)去，或者將表面的知識(shí)進(jìn)行理論上的升華，這里包括橫向的推廣，或者縱向的延伸。這樣深入淺出、一張一弛的教學(xué)方式，讓學(xué)生的思維時(shí)而緊張、時(shí)而松弛，就不會(huì)出現(xiàn)整堂課知識(shí)太簡(jiǎn)單造成的索然無(wú)味，也不會(huì)出現(xiàn)整堂課太難造成的枯燥乏味。那么無(wú)論教師的狀態(tài)、還是學(xué)生的狀態(tài)都會(huì)充滿活力。

2. 邏輯推導(dǎo)與計(jì)算的對(duì)比，就是在內(nèi)容的安排順序上，盡量安排邏輯推導(dǎo)與計(jì)算相間出現(xiàn)，盡量避免整節(jié)課都是邏輯推導(dǎo)，或者整節(jié)課都是計(jì)算。當(dāng)推導(dǎo)完一個(gè)結(jié)論之后，安排一個(gè)與之相關(guān)的計(jì)算，這樣的效果會(huì)好一些。整節(jié)課的理論推導(dǎo)過(guò)多，不僅讓學(xué)生感覺抽象，而且還會(huì)讓學(xué)生懷疑這么深的理論究竟在生活中有沒有用。所以在內(nèi)容的安排順序上，盡量安排邏輯推導(dǎo)與計(jì)算相間出現(xiàn)。

3. 專業(yè)內(nèi)的角度與專業(yè)外的角度看問(wèn)題對(duì)比，就是許多數(shù)學(xué)專業(yè)中的知識(shí)、理論、方法在日常生活中也時(shí)有表現(xiàn)，如果教師能把日常生活中的現(xiàn)象與數(shù)學(xué)知識(shí)、理論、方法聯(lián)系起來(lái)教學(xué)，那會(huì)大大地增加數(shù)學(xué)的美感和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。當(dāng)然這需要教師在生活中養(yǎng)成善于思考的習(xí)慣，善于在生活中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)。例如我國(guó)著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家許寶? 曾對(duì)他的學(xué)生說(shuō)：“當(dāng)我們看到楊柳的搖曳或是小河流水的流動(dòng)時(shí)，如果要把它們描述成是質(zhì)點(diǎn)（或分子）集團(tuán)的變換，那就只能而且必須抽象出‘拓?fù)渥儞Q’（即雙向連續(xù)的一到一映射）的概念。這也說(shuō)明作為描述空間形體最一般變換的幾何學(xué)——拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生是十分自然的、必然的。”如果當(dāng)我們仰觀天空看到億多形狀怪異、厚薄不勻的云彩時(shí)，設(shè)想采用Jordan量度法去度量它的體積，可以想見那顯然是不可能得到精確結(jié)果的。而要想從理論上能精確無(wú)誤地量出其體積，那就必須采用容許‘可數(shù)無(wú)限可加性’（所謂σ-可加性）的Lebesgue測(cè)度法。這樣看來(lái)，人們?yōu)榱税l(fā)展無(wú)限精度的測(cè)量各種點(diǎn)集容積的技藝，Lebesgue測(cè)度論的出現(xiàn)也是很自然的事情?！盵2]從上面的話中不難看出，許寶? 先生并不只是在數(shù)學(xué)中研究數(shù)學(xué)，而且還善于在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)。

在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中有很多這樣的知識(shí)可以采用這種方法處理。比如，在講到抽樣分布定理時(shí)，其中的一個(gè)結(jié)論是平均數(shù)與方差獨(dú)立。這個(gè)結(jié)論的證明其實(shí)是很長(zhǎng)的，作為講義、書上的內(nèi)容往往側(cè)重于數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。但在教學(xué)過(guò)程中，教師如果完全按照書上的知識(shí)去講，那么就會(huì)令聽者感到枯燥，即使聽懂了、給人的感覺也很晦澀。所以在證明之前，如果用專業(yè)外、生活中看得見摸得著的例子給學(xué)生以直覺上的解釋，那么就會(huì)讓學(xué)生對(duì)這個(gè)定理感到很親切、從而有進(jìn)一步學(xué)習(xí)證明的想法。每個(gè)人經(jīng)歷不同，筆者根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)提出這樣一種解釋，僅供參考：雖然方差的表達(dá)式中含有平均數(shù)，看起來(lái)二者不獨(dú)立。但是拿高考前多次模擬考試的成績(jī)來(lái)說(shuō)，平均數(shù)反應(yīng)的是一個(gè)學(xué)生多次模擬考試得到的平均成績(jī)，而方差反應(yīng)的是多次考試中成績(jī)的浮動(dòng)大小、離散情況，也就是反應(yīng)的是成績(jī)穩(wěn)不穩(wěn)定的問(wèn)題。我們觀察一下身邊的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)好的學(xué)生中有成績(jī)穩(wěn)定的、也有成績(jī)不穩(wěn)定的，而學(xué)習(xí)不好的學(xué)生中也有成績(jī)總是穩(wěn)定不好的，當(dāng)然也有不穩(wěn)定的、上下變化的。平均數(shù)大小取決于一個(gè)人的智商和后天努力，而方差取決于一個(gè)人的性格，所以平均數(shù)與方差是從兩個(gè)不同的角度反映學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，二者是獨(dú)立的。從這個(gè)例子中看這個(gè)結(jié)論很顯然，那么在數(shù)學(xué)中怎么證明平均數(shù)和方差獨(dú)立呢？拋出問(wèn)題后，接下來(lái)再給以證明，這樣學(xué)生就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)推理比較感興趣了。

無(wú)獨(dú)有偶，我國(guó)著名詩(shī)人陸游也曾對(duì)他的兒子說(shuō)：“汝果欲學(xué)詩(shī)，功夫在詩(shī)外?！敝锌圃涸菏繃?yán)加安在他的《科學(xué)與藝術(shù)有共性也有交融》中解釋到：“這個(gè)詩(shī)外就是詩(shī)人對(duì)日常生活和大自然細(xì)致的觀察、體驗(yàn)、感知，這是詩(shī)歌創(chuàng)作的源泉。作數(shù)學(xué)研究也與詩(shī)歌創(chuàng)作類似。”[1]數(shù)學(xué)史家克萊因認(rèn)為：“對(duì)自然的深入研究是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)最豐富的源泉?！睆闹锌梢钥闯鋈绻跀?shù)學(xué)教學(xué)中，教師加入對(duì)生活的思考，那么會(huì)使得數(shù)學(xué)課堂充滿生機(jī)和活力。

三、在應(yīng)用中找樂(lè)趣

許多歌唱家在接受采訪時(shí)表示，他之所以選擇演唱這首作品，首先一點(diǎn)是這首歌曲先打動(dòng)他自己，然后他再通過(guò)自己的演繹去打動(dòng)觀眾。所以要想讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)的快樂(lè)，對(duì)于教師，首先要從自己內(nèi)心感覺到數(shù)學(xué)的快樂(lè)，然后再通過(guò)自己的教學(xué)，教出數(shù)學(xué)的樂(lè)趣來(lái);對(duì)于學(xué)生來(lái)講，如果一個(gè)知識(shí)不僅從道理上明白了，而且在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中還親身感受到了它給自己帶來(lái)的變化，那么便會(huì)大大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。筆者發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在有相當(dāng)一部分學(xué)生喜歡應(yīng)用數(shù)學(xué)、不喜歡理論數(shù)學(xué)，原因之一是他在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中找到了樂(lè)趣。所以在教學(xué)過(guò)程中，教師要善于發(fā)現(xiàn)自己講授的理論知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的巧妙應(yīng)用。

在這里筆者以《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中的方差概念來(lái)舉例說(shuō)明，僅供參考。很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)還可以，相比起來(lái)，方差的性質(zhì)就復(fù)雜一些。為了引起學(xué)生對(duì)方差理論的重視，可以這樣引入：“在很多城市的商業(yè)街中都有地下通道、地下商場(chǎng)、或者地下停車場(chǎng)，細(xì)細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，地下商場(chǎng)和地上的步行街相比，它會(huì)起到冬暖夏涼的作用。比如在夏天，地上步行街很熱、而地下商場(chǎng)卻很涼快;而到了冬天，地上步行街很冷、而地下商場(chǎng)卻比較溫暖。這種現(xiàn)象和我們通常的認(rèn)識(shí)不大一樣，比如說(shuō)現(xiàn)在全球氣溫變暖，現(xiàn)在的冬天和過(guò)去相比溫度高，同樣現(xiàn)在的夏天和過(guò)去相比溫度也在升高。那么為什么地下商場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)冬天溫度高、夏天溫度低呢？這種現(xiàn)象用數(shù)學(xué)的概念怎么描述呢？冬暖夏涼的現(xiàn)象在數(shù)學(xué)中看是怎么回事呢？”通過(guò)這個(gè)生活中的現(xiàn)象引出方差，告訴學(xué)生其實(shí)這個(gè)問(wèn)題在概率論中看非常簡(jiǎn)單，就是地下商場(chǎng)冬夏溫度的方差小，而地上冬夏的溫度方差大。這就導(dǎo)致了冬天地上更冷、夏天地上更熱的現(xiàn)象。那么方差都有哪些性質(zhì)呢？這樣引入之后，再推導(dǎo)方差的性質(zhì)，學(xué)生聽起來(lái)就會(huì)有興致了。

除了教師備課時(shí)要注意理論知識(shí)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用，在布置作業(yè)時(shí)注意這一點(diǎn)也會(huì)起到很好的效果。比如《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中”隨機(jī)變量“的定義。自然界和人類社會(huì)中的隨機(jī)現(xiàn)象成千上萬(wàn)不止，不可能一一去探討。那么概率論是如何研究的呢？分類。首先把隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果和實(shí)數(shù)集對(duì)應(yīng)起來(lái)，也就是建立一個(gè)映射，這個(gè)映射就是隨機(jī)變量。那么以后再討論問(wèn)題，就可以避開各種隨機(jī)現(xiàn)象的具體結(jié)果，而直接研究隨機(jī)變量的取值了。隨機(jī)變量類型很多，每一個(gè)類型的隨機(jī)變量都對(duì)應(yīng)著一大類自然界和人類社會(huì)的隨機(jī)現(xiàn)象。比如說(shuō)兩點(diǎn)分布，凡是一個(gè)事件它的取值有兩種可能性，比如說(shuō)：生男生女、應(yīng)聘成敗、考試及不及格等等，都屬于兩點(diǎn)分布這種類型的隨機(jī)變量。生活中凡是有兩種結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象都可以用兩點(diǎn)分布去描述。所以在教學(xué)中，除了教師在課堂上舉的例子外，一定要布置一道作業(yè)，讓學(xué)生列舉一些自己生活的服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量，越生活化越好、越是身邊的例子越好。其它各類型的隨機(jī)變量也是一樣布置作業(yè)，一定要讓學(xué)生親身感受到每一種類型的隨機(jī)變量就是自己身邊的某一類隨機(jī)現(xiàn)象。這樣一提到隨機(jī)變量，展現(xiàn)在學(xué)生腦海中的就不再是枯燥的理論。所以在教學(xué)中除了理論之外，如果我們將自己生活中的接觸到的事情及其感受融入到數(shù)學(xué)的教學(xué)中，那么教師帶給學(xué)生的就不只是知識(shí)本身，可能帶給學(xué)生更多的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣與動(dòng)力，這些非智力因素雖然表面上看起來(lái)不明顯，但是它對(duì)一個(gè)學(xué)生能否深入地學(xué)習(xí)往往會(huì)起到不可估量的作用。

數(shù)學(xué)是一門包羅萬(wàn)象的學(xué)科，每一個(gè)數(shù)學(xué)理論的背后都隱藏著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。對(duì)于同樣的知識(shí)點(diǎn)，每個(gè)教師對(duì)其中內(nèi)容的感受也是不同的，這個(gè)問(wèn)題因人而異，因?yàn)槊總€(gè)人的人生經(jīng)歷不同，愛好不同、接觸的環(huán)境不同。但這恰恰給數(shù)學(xué)教師提供了豐富的生活土壤，因?yàn)樗屛覀內(nèi)魏我粋€(gè)人都可以在自己的生活中找到數(shù)學(xué)的應(yīng)用。筆者在這里談了自己目前的認(rèn)知，希望可以起到拋磚引玉的作用，互相交流，讓我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，既教會(huì)了知識(shí)、又教出了樂(lè)趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]嚴(yán)加安.科學(xué)與藝術(shù)有共性也有交融[J].科學(xué)時(shí)報(bào)，2011-4-1（B1）.

[2]徐利治.回憶西南聯(lián)大時(shí)代的老師許寶騄先生[J].道德文章垂范人間（紀(jì)念許寶? 百年誕辰），2010.