黃海明

【摘要】為實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的高效課堂，根據(jù)控制論通過探索及實驗，促成高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的高效、穩(wěn)定的調(diào)控。通過對照班與實驗班，約一年時間的實驗對比，實驗數(shù)據(jù)證明了實施教學(xué)調(diào)控系統(tǒng)的班級效果顯著。從控制系統(tǒng)的建立到正確的處理系統(tǒng)，實驗總結(jié)了系統(tǒng)的操作程式，提高了學(xué)生的自我控制意識，優(yōu)化了教學(xué)過程。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；教學(xué)調(diào)控；控制論；優(yōu)化教學(xué)

一、問題的提出

實施新課程以來，由于傳統(tǒng)觀念的束縛和升學(xué)考試的壓力，在高中數(shù)學(xué)課堂上，注重抓成績而忽略了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，同時也限制了學(xué)習(xí)者思維發(fā)展的廣度與深度。本文以控制論及相關(guān)教育理論為基礎(chǔ)，嘗試建立教學(xué)調(diào)控系統(tǒng)來打造高效數(shù)學(xué)課堂，通過大量的具體實驗教學(xué)，探索其程式和操作規(guī)律。

1948年Norbert Wiener發(fā)表了控制論，其中信息反饋是控制論中極為重要的一個觀點：“為達(dá)到預(yù)定目的，控制系統(tǒng)發(fā)出信息，然后返回其結(jié)果，并對信息的再輸出產(chǎn)生抑制作用。”

本文認(rèn)為，所謂的教學(xué)控制系統(tǒng)是由實施控制的老師和受支配的學(xué)習(xí)者兩個子系統(tǒng)和講授信息組成的。通過信息反饋，在兩個子系統(tǒng)的相互作用中形成正向或逆向的目標(biāo)遷移運動，并在此過程中不斷地進(jìn)行自我控制的調(diào)整。

教學(xué)調(diào)控系統(tǒng)有三個特點：第一，教學(xué)系統(tǒng)中，老師是一個子系統(tǒng)、學(xué)習(xí)者是一個子系統(tǒng)，它們受到外部環(huán)境和自我調(diào)節(jié)控制的影響（如圖1）。

圖1 教學(xué)調(diào)控系統(tǒng)

第二，控制論的關(guān)鍵是信息反饋。通過信息反饋，兩個系統(tǒng)之間和子系統(tǒng)內(nèi)部連續(xù)控制運動中的正向或逆向目標(biāo)的移動。

第三，調(diào)節(jié)系統(tǒng)是不確定的。因為受環(huán)境因素、學(xué)生的知識程度和心理狀態(tài)、教師的控制能力和經(jīng)驗、以及信息響應(yīng)的控制等多種隨機(jī)因素的影響。

二、反饋控制

1.反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

傳統(tǒng)教學(xué)中的“全堂灌”是單向控制，在表象上，這個過程是可以按照預(yù)先設(shè)計的計劃行事的，但是因為控制系統(tǒng)不會接受物體的反饋信息，幾乎都是靠是主觀的、閉塞的猜測，所以這種控制往往是不切合實際的 （如圖2）。

圖2開環(huán)單向控制系統(tǒng)

反饋系統(tǒng)則針對了開環(huán)中單向控制的缺點，進(jìn)行了雙向控制的改良。由于反饋效應(yīng)允許系統(tǒng)無間地將反饋信息與控制目標(biāo)進(jìn)行對比，并根據(jù)其差異調(diào)整下一路的輸出，因此反饋控制系統(tǒng)也被稱為閉環(huán)雙向控制系統(tǒng)（如圖3）。

圖3閉環(huán)雙向控制系統(tǒng)

案例1：用幾種教學(xué)形式來解線性方程的練習(xí)：過點作一條直線，使其在x，y坐標(biāo)軸上有相等的截距，求線性方程。學(xué)生中有幾種思路：

第一種方式是運用截距式：

由條件得；

第二種方式是運用點斜式：，由條件可知，將代入方程得或；

第三種方式是運用斜截式：，當(dāng) 時，；當(dāng)時，。

學(xué)生反饋出來的五花八門的信息是出乎老師講課前意料的，從反饋出來的信息中發(fā)覺：①雖然學(xué)生對線性方程有基本的把握，但對各種方程的應(yīng)用環(huán)境卻沒有深刻的了解；②存在截距概念的錯誤認(rèn)識；③分類討論方法仍陌生。

對此老師調(diào)整了教學(xué)策略，除了逐一評論解決方案外，也提出了供學(xué)生思考的問題：各種線性形式的環(huán)境怎么樣？反饋控制是隨機(jī)設(shè)置和調(diào)整的，但教學(xué)目標(biāo)保持不變，變得更加切合實際。

2.反饋信息的取樣

反饋信息不僅是控制效果的回饋，還是控制調(diào)節(jié)的基礎(chǔ)。它必須是可靠、及時和有代表性的。反饋信息取自：學(xué)生的神情，課堂的氛圍；學(xué)生的反應(yīng)，練習(xí)或板書；測試、課后練習(xí)等，量化的信息就更具有指向性。在教學(xué)中，重要的是要知道何時何地對反饋進(jìn)行取樣。一般來說，整個控制過程的反饋時機(jī)應(yīng)該是：問題呈現(xiàn)、思維轉(zhuǎn)換、概念交叉、推理決策和結(jié)論。

案例2：國王聽說阿凡提下棋很厲害，就召見阿凡提，如果國王輸了就要滿足阿凡提的一個條件，誰知道阿凡提贏了，他的要求很簡單：按棋盤格放麥子，第一個格子放一顆，第二個格子放兩顆，第三個格子放四顆……一直放到第六十四格。大家想想，最后一個格放多少顆？總共要放多少顆麥子？

（1）幾何序列的定義用公式表示，答案可能是多樣的：

（2）哪個式子是可以構(gòu)造（接近） 形式①，即答案可以是②的疊加，用等比結(jié)構(gòu)由③組成

（3）現(xiàn)在是在做什么，然后該怎么做？ 引入 符號！后續(xù)推導(dǎo)由老師完成：

（4）式子還可以改進(jìn)嗎？如何化簡？

（5） 在這個過程中有漏洞嗎？要不要加限制條件？

與學(xué)生討論關(guān)于 的取值范圍，然后得到：

3.反饋信息的處理

假設(shè)把教師在假定目標(biāo)下輸出的信息設(shè)為中性的話，反饋信息使得原信息發(fā)生增強(qiáng)作用的稱為“正反饋”，反之稱“負(fù)反饋”。正反饋一般都會有利于形成新的觀念，激勵學(xué)習(xí)的興趣。但如果操作不當(dāng)卻易造成目標(biāo)過高。負(fù)反饋一般都會有利于穩(wěn)定教學(xué)，使學(xué)生的錯誤率降低，然而負(fù)反饋通常會削弱信息量，降低目標(biāo)值。

案例3：

師：同學(xué)們，我們是不是剛剛學(xué)完兩角和公式呢？

師：由一般的兩角和，設(shè)問特殊情況？探究推導(dǎo)出什么公式呢？

生：可令，推導(dǎo)過程為：

師：同學(xué)們推理得很好，但有沒有要注意的地方呢？

有些學(xué)生發(fā)現(xiàn)第三個式子中的分母為零的話將無意義，然后教師啟發(fā)學(xué)生，怎么樣才能保證分母不能為零呢？學(xué)生們通過討論與探究，得出結(jié)論：

此案例中，學(xué)生有機(jī)會發(fā)現(xiàn)、探索和發(fā)展他們的能力。此是“正反饋”控制的例子。

案例4：在學(xué)習(xí)了直線與 軸的夾角及其斜率的概念之后，原先設(shè)計了一組鞏固題型給學(xué)生思考。沒預(yù)料到第1題“已知直線 ，求傾斜角”完成后，教師發(fā)覺學(xué)生答案形式有，，甚至有等等，也有認(rèn)為無法確定等。教師應(yīng)該馬上意識到這是教學(xué)中對直線傾斜角的范圍，及斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系未講到位，或練習(xí)題難度的跨度過大導(dǎo)致的。因此，老師馬上強(qiáng)調(diào)了直線的斜率與傾斜角的聯(lián)系與分別代表的意義，列出對照表給學(xué)生對比：

然后老師把鞏固練習(xí)題中a，b的取值條件改為同號，對教學(xué)進(jìn)行降低難度處理。然后，繼續(xù)做回原來a，b取值異號的情況，同學(xué)在這樣設(shè)置有梯度的練習(xí)中，學(xué)習(xí)積極性得到了大大提高了。此是“負(fù)反饋”控制的一例。

三、自我控制

在教學(xué)控制系統(tǒng)中的教師和學(xué)生，在外界作用下，不停地進(jìn)行自我控制和調(diào)整，以適應(yīng)整個教學(xué)的發(fā)展。

1.教師自控

實施教學(xué)目標(biāo)控制過程是教師在收到學(xué)生的反饋后大腦內(nèi)部一連串思維動態(tài)的過程：

這是一個自控過程，當(dāng)然，教師的自我控制與他們自己對目標(biāo)的掌握、對學(xué)生的理解、對教材的熟悉以及教學(xué)方法的應(yīng)用有關(guān)。

（1）即時控制

例如，在教學(xué)程序的設(shè)計中應(yīng)推測出安排反饋控制的時機(jī)，做到有控制有反饋。因此，重要的是要建立起一種即時自我控制的意識。

案例5：在三角函數(shù)和差化積的課堂上，有學(xué)生提出了一個簡化的公式：，比書上教的方法。舊人教版是有反正切函數(shù)的內(nèi)容，但新人教版并沒有此內(nèi)容，可能這個學(xué)生在課外閱讀了相關(guān)的知識。這是一個突發(fā)的事件，本不在教學(xué)設(shè)計中。如果當(dāng)時教師選擇直接跳過的處理方式，會大大打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望。相反，如果老師把它展示給學(xué)生討論并激起學(xué)生們對探索的渴求。通過討論，不但對用反正切表示和差化積形式中的輔助角，使得運算更加簡便，也對反三角函數(shù)概念有了更深刻的體會。

（2）延遲控制

教學(xué)具有延時性。在課后，許多反饋信息被記錄在作業(yè)和試卷中，這就是教師自我控制的時間。因為這種自制力沒有時間和空間的限制，所以稱為“延遲控制”。

延時控制有三種方法：第一，做教學(xué)札記。札記包括教學(xué)中成功與失敗的案例，包括教學(xué)方法，教科書處理等，這是一種很好的自我反思、調(diào)整和改進(jìn)方式；二是學(xué)生常犯的錯誤文檔，可以在反映出學(xué)生的思維或不良心理習(xí)慣和規(guī)律；三是建立比較科學(xué)的反饋抽樣網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生中不同層次的反饋抽樣樣本應(yīng)來自不同層次的學(xué)生代表，使教師的自我控制更準(zhǔn)確、更有效。

2.學(xué)生自控

學(xué)生是教學(xué)控制系統(tǒng)的被控制對象，而任何其他控制都是通過自我控制實現(xiàn)的，如何提高學(xué)生的自我控制能力是有效控制的主要因素。要著重處理好如下幾種關(guān)系：

（1）目標(biāo)與自控

要把老師的控制變成學(xué)生的自我控制，還必須把學(xué)生的行為納入整個教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生清楚地知道這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是什么，自己要怎么做？要實現(xiàn)這一目標(biāo)，必須營造學(xué)生課堂活動和心理活動的氣氛，使學(xué)生從內(nèi)心自發(fā)地遵循教學(xué)目的，學(xué)會排除外來的干擾，接受信息，做出反饋，成為課堂的主人。

（2）興趣與自控

興趣是一個人想知道某事或想從事某項活動的心理向往。它是建立在理解和探索事物的需求之上的，這是人們了解事物、尋求真知的主要動力。在教學(xué)中，必須多去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本身的豐富內(nèi)涵，調(diào)動和激起學(xué)生的心理興奮。

（3）自主與自控

學(xué)生是教學(xué)的主體，應(yīng)讓他們積極投入整個教學(xué)環(huán)節(jié)中，這是教學(xué)控制成功的標(biāo)記之一。然而，受老師的控制并不意味著學(xué)生倚賴于老師、沒有自己的想法。恰恰相反，要樹立學(xué)生的獨立精神，達(dá)到學(xué)生善于思考、習(xí)慣思考的目的。通過強(qiáng)化的訓(xùn)練，學(xué)生才會用心、積極地接受老師發(fā)來的信息，分析、處理成為自我信息，并能在課后認(rèn)真地做作業(yè)，教師收到的反饋信息才能是真實可靠的。

案例6：在《一元二次方程的解法》專題復(fù)習(xí)的同課異構(gòu)課上，A老師是如此處理的：

A老師：同學(xué)們，這節(jié)課我們來溫習(xí)一元二次方程的四種解法：（1）直接開平方法，（2）配方法，（3）公式法，（4）分解因式法，大家記住了沒有？

緊接著老師出示了四道習(xí)題（并把解法寫在題目的后面）：

然后學(xué)生就拿出筆來計算，A教師在巡視的過程中強(qiáng)調(diào)學(xué)生要按其規(guī)定的方法來解。最后，教師挑選了計算正確、書寫漂亮的學(xué)生上來黑板演示，并對這些學(xué)生給予高度的評價。

剖析：課堂探究能否激發(fā)學(xué)生的思維，完全取決于如何合適地設(shè)問，如何引導(dǎo)學(xué)生回答問題。顯然，A教師的教學(xué)方法打擊了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的熱情。

而B老師是這樣處理這節(jié)課的：

師：同學(xué)們，今天我們來進(jìn)行一元二次方程解法的溫習(xí)，看看大家可以總結(jié)出幾種方法？通過解這四個方程，并告訴大家，你用了什么方法，好嗎？

B教師通過課堂巡視，鼓勵學(xué)生針對不同的題目用不同的方法解，學(xué)生們興趣盎然地相互競賽解題，并將自己的解法向同學(xué)們展現(xiàn)。

剖析：培養(yǎng)學(xué)生自主性的深層意義也在于培養(yǎng)他們在思維領(lǐng)域的獨立性，即是說，教師在教學(xué)中要注重將數(shù)學(xué)思維方法傳授給學(xué)生，這是提高學(xué)生自我控制能力的重要因素。

四、實驗與結(jié)果

1.實驗?zāi)康?/p>

通過建立教學(xué)控制系統(tǒng)，并采用教學(xué)控制的操作程序，能有效提高課堂教學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有興趣，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到優(yōu)化，進(jìn)而驗證了實驗假設(shè)的正確性。

2.實驗組成

根據(jù)人數(shù)、男女比例、成績、能力水平等選擇設(shè)置實驗班和對照班，各單元講授的快慢要保持一致，測試題要一致。實驗班全面貫徹教學(xué)控制的原則和方案，采用研討形式上課，對照班則基本采取傳統(tǒng)教學(xué)模式。

3.實驗結(jié)果

（1）T檢驗，檢驗報告表如下：（a=0.01）

從上表可看出，實驗前（即高一上學(xué)期末）兩個班的成績比較接近，t檢驗顯示無差異。接下來的幾次考試中，對測試成績進(jìn)行均值差異分析及t檢驗分析，高一下期末分析中t'小于t，說明試驗差異不大，而其后的三次分析，檢驗值t'均比分布臨界值t高，也就是說，控制技術(shù)的效果和傳統(tǒng)教學(xué)的效果是差異顯著的。

（2）問卷調(diào)查

在實驗的后半段，用問卷方式調(diào)查了這兩個班級，目的就是要了解學(xué)生是否理解教學(xué)目標(biāo)，建立控制與評價意識，提升自我控制水平，會否分析、解決問題，其重點是通過學(xué)生的主觀能動性來驗證實驗情況。問卷分教學(xué)目標(biāo)、自我控制、思維推理、課堂表現(xiàn)、主觀評價五大類的意識水平進(jìn)行設(shè)問。其中前三類屬定距變量（累積計分），后兩大類屬定序變量（不累積計分，只作百分比統(tǒng)計）。

統(tǒng)計結(jié)果如下：

從分值來看，實驗班的學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中的心理自我控制的情況和主觀評價意識約比對照班高出百分之十。

實驗結(jié)果表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能夠發(fā)揮主體功能是因為教學(xué)控制系統(tǒng)的程序起到了一定效果，學(xué)生在其過程中能夠積極配合教師的教學(xué)，形成一個閉環(huán)教學(xué)控制系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中，教師和學(xué)生為了一個共同的教學(xué)目的而共同努力。

參考文獻(xiàn)：

[1]諾伯特·維納.控制論——關(guān)于在動物和機(jī)器中控制和通訊的科學(xué)（第2版）[M].科學(xué)出版社，2009.