李玲珠

【摘 要】作為近代數(shù)學(xué)三大難題之一的“四色猜想”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度挑戰(zhàn)未知的探究精神。文章以“四色猜想”為例，設(shè)計(jì)拓展教學(xué)方案，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的奧秘，培養(yǎng)學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】四色猜想;教學(xué)設(shè)計(jì);數(shù)學(xué)教學(xué);拓展教學(xué)

如果要把地圖上任意相鄰的兩個(gè)地區(qū)區(qū)分開來(lái)，最少需要幾種顏色？

經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的探索，數(shù)學(xué)家提出了“四色猜想”，即最多用四種顏色（不相鄰的區(qū)域可以涂同種顏色）就能區(qū)分出地圖上任意兩個(gè)相鄰的區(qū)域（相鄰區(qū)域的邊界是直線或曲線，不能是一個(gè)點(diǎn)）。

“四色猜想”最初由莫比烏斯和古思里提出，之后吸引了許多數(shù)學(xué)家的目光。哈密頓為之冥思苦想13年而不得其果[1]，閔可夫斯基一次次地嘗試，又一次次失敗……無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家為之奉獻(xiàn)一生，卻仍無(wú)法得出最終的答案。就其本身而言，四色猜想并無(wú)太大的實(shí)用價(jià)值，人們完全可以用四種或者更多種顏色來(lái)區(qū)分各地區(qū)。但作為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，它體現(xiàn)了人們對(duì)未知的探索態(tài)度，反映了數(shù)學(xué)家敢于迎接挑戰(zhàn)，用數(shù)學(xué)的眼光探索問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)真理的理性精神。

這種態(tài)度和精神與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）所要求的用

數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力不謀而合[2]。在學(xué)生層面，《課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生歸納、概括和猜想規(guī)律。在教師層面，《課程標(biāo)準(zhǔn)》同樣鼓勵(lì)教師開發(fā)利用社會(huì)資源，以拓展教育的方式幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，同時(shí)促進(jìn)教師的專業(yè)成長(zhǎng)。那么，什么樣的拓展知識(shí)適合小學(xué)階段的學(xué)生？這些知識(shí)又該如何呈現(xiàn)呢？

就低年級(jí)學(xué)生而言，他們更喜歡易于理解、可動(dòng)手操作的教學(xué)方式。低年級(jí)學(xué)生理解力較弱，在一節(jié)課中的專注力也有限，所以找一個(gè)容易理解、吸引學(xué)生注意力的知識(shí)很有必要?！八纳孪搿弊鳛樾W(xué)數(shù)學(xué)的拓展課程完全符合上述要求，學(xué)生能夠聽懂四色猜想的定義，而且可以通過(guò)涂色的方式來(lái)驗(yàn)證猜想。當(dāng)然，四色猜想更重要的目的是在證明猜想的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、推理、概括等能力，彌補(bǔ)學(xué)生在平時(shí)課堂中沒(méi)時(shí)間探索的遺憾，也能為落實(shí)學(xué)生的主體地位提供很好的機(jī)會(huì)。

（一）以謎為引，揭示主題

師：同學(xué)們，老師今天帶來(lái)了一個(gè)謎語(yǔ)，想請(qǐng)你們猜一猜。一張畫兒墻上掛，有的小來(lái)有的大，小的容納幾個(gè)縣，大的可包全天下。同學(xué)們知道是什么嗎？

生（齊聲）：地圖！

師：真厲害！那你們見過(guò)哪些地圖呢？

生1：我見過(guò)中國(guó)地圖、世界地圖、XX市的地圖……

師：看來(lái)大家都見過(guò)很多地圖呢！今天我們一起來(lái)探究區(qū)域圖的秘密。

（二）畫區(qū)成域，循序漸進(jìn)

1.探索4塊區(qū)域涂色

師：如果相鄰區(qū)域不能涂同種顏色，那么下面這幾塊區(qū)域（見圖1）最少需要幾種顏色？

生2：通過(guò)涂色可知，這幾塊區(qū)域最少需要三種顏色。

師：假如地圖里的區(qū)域數(shù)增多了，需要的顏色種數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化？

生3：圖里區(qū)域數(shù)增多，需要的顏色種數(shù)也會(huì)增多。

學(xué)生通過(guò)主觀判斷，認(rèn)為區(qū)域數(shù)越多，需要的顏色種數(shù)也會(huì)變多。這正是數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的第一步——猜想，也是數(shù)學(xué)歷史進(jìn)程中一個(gè)非常重要的步驟。不管學(xué)生的猜想是對(duì)還是錯(cuò)，教師都應(yīng)該從學(xué)生的角度出發(fā)，和學(xué)生一起進(jìn)行下一步的探究。

2.驗(yàn)證7塊區(qū)域涂色

當(dāng)區(qū)域數(shù)增加到7塊時(shí)（見圖2），在相同的條件下，最少需要幾種顏色？

學(xué)生通過(guò)涂色可知，完成這幅圖最少需要四種顏色。

師：回到剛才的問(wèn)題，隨著區(qū)域數(shù)的增多，所需要的顏色種數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化？

生4：隨著區(qū)域數(shù)增多，顏色的種數(shù)也會(huì)增多。

從4塊區(qū)域到7塊區(qū)域，隨著區(qū)域數(shù)增多，需要顏色的種數(shù)的確增多了（增加了1種），這似乎驗(yàn)證了學(xué)生的猜想，為學(xué)生進(jìn)行下一步探究增添了信心。

3.驗(yàn)證10塊區(qū)域涂色

當(dāng)區(qū)域數(shù)增加到10塊時(shí)（見圖3），學(xué)生繼續(xù)涂色驗(yàn)證之前的猜想。

學(xué)生通過(guò)繼續(xù)涂色可知，完成這幅圖最少只要四種顏色。

師：剛才我們說(shuō)區(qū)域數(shù)越多，需要的顏色種數(shù)就會(huì)越多，這幅圖卻不是。如此，我們的猜想并不正確。那么區(qū)域數(shù)越多，需要的顏色種數(shù)到底會(huì)發(fā)生什么樣的變化呢？

生5：也許顏色種數(shù)到一定數(shù)量后就會(huì)保持不變？

師：那我們?cè)僭黾訁^(qū)域數(shù)量，看看是否會(huì)得到我們想要的結(jié)果。

4.驗(yàn)證13塊區(qū)域涂色

當(dāng)區(qū)域數(shù)增加到13塊時(shí)（見圖4），學(xué)生繼續(xù)涂色探究。

學(xué)生經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)和他們之間的嘗試、討論發(fā)現(xiàn)，完成這幅區(qū)域圖最少只要四種顏色。

生6：雖然區(qū)域數(shù)量增多了，但最后也只用4種顏色。也就是說(shuō)，區(qū)域數(shù)量再多，4種顏色也足夠?qū)⑵鋮^(qū)別出來(lái)！

師：同學(xué)們似乎發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新秘密，但真的是這樣嗎？我們還得繼續(xù)驗(yàn)證。（出示有30個(gè)區(qū)域的圖形）

5.用多塊區(qū)域圖驗(yàn)證“四色猜想”

通過(guò)師生合作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)完成一幅有30個(gè)區(qū)域的圖形最多只要4種顏色。這就進(jìn)一步證明了學(xué)生的猜想：最多只需要4種顏色就能將圖上的所有區(qū)域區(qū)分開來(lái)。

師：那么如果我們用更多塊區(qū)域的圖還會(huì)得出這個(gè)結(jié)論嗎？

生（齊生）：會(huì)！

歷史上每一個(gè)新發(fā)現(xiàn)都是科學(xué)家經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次實(shí)驗(yàn)，從不斷的失敗與修正中得來(lái)的。所以學(xué)生在面臨數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)也應(yīng)遵循這樣的過(guò)程：提出猜想→驗(yàn)證→修正→繼續(xù)推理與驗(yàn)證……直到一個(gè)“新的”理論產(chǎn)生。更多塊區(qū)域的圖的展示是對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的一種肯定，也是對(duì)“四色猜想”的肯定。他們通過(guò)自己的努力發(fā)現(xiàn)了新知識(shí)，這也是數(shù)學(xué)贈(zèng)與他們的禮物。在教學(xué)的過(guò)程中，教師要時(shí)常讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是有邏輯的，是需要反復(fù)論證的。只有這樣，學(xué)生才能養(yǎng)成思考的習(xí)慣，才可能用數(shù)學(xué)的眼光去看待問(wèn)題、解決問(wèn)題。張奠宙先生提倡，對(duì)待數(shù)學(xué)問(wèn)題“不僅要有冰冷的美麗，還要有火熱的思考”[3]，只有經(jīng)過(guò)反復(fù)的、火熱的思考，才能得出真正的答案。同樣，只有讓學(xué)生養(yǎng)成對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，才能對(duì)今后遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行積極思考。

在小學(xué)二年級(jí)的學(xué)生中進(jìn)行了“四色猜想”的拓展課初嘗試后，筆者有了一些發(fā)現(xiàn)。

1.學(xué)生喜歡并且能夠以探索的方式處理數(shù)學(xué)問(wèn)題。在拓展課上，二年級(jí)學(xué)生表示非常喜歡這種涂色的數(shù)學(xué)課，并認(rèn)為“四色猜想”的探索過(guò)程充滿了樂(lè)趣。從猜想“區(qū)域數(shù)越多，需要的顏色種數(shù)越多”，到“區(qū)域數(shù)增多，需要的顏色種數(shù)沒(méi)有增多”，再到確認(rèn)“區(qū)域數(shù)再多，需要的顏色種數(shù)只要4種即可”，最后得出“四色猜想”。學(xué)生的每一步猜想都是他們主動(dòng)探索出來(lái)的。

2.區(qū)域數(shù)增多后學(xué)生涂色的正確率下降，但大部分學(xué)生仍能正確涂色。從涂色結(jié)果來(lái)看（見表1），學(xué)生完成4塊、7塊、10塊區(qū)域涂色的正確率分別是92.5、72.5、65，正確率依次下降。但從整體來(lái)看，大部分學(xué)生能夠理解“四色猜想”的內(nèi)涵，并且能夠做出正確的涂色。

3.學(xué)生的主要問(wèn)題在于“多涂”和“相鄰區(qū)域涂同種顏色”。

從學(xué)生的錯(cuò)誤涂色情況可知（見表2），隨著區(qū)域數(shù)增多，學(xué)生的主要問(wèn)題在于“多涂”。

從4塊區(qū)域的涂錯(cuò)情況來(lái)看，學(xué)生主要錯(cuò)在沒(méi)有滿足“相鄰區(qū)域不能涂同種顏色”這一條件上。從7塊區(qū)域的涂錯(cuò)情況來(lái)看，“相鄰區(qū)域涂同種顏色”與“多涂”的犯錯(cuò)人數(shù)同樣多。從10塊區(qū)域的涂錯(cuò)情況來(lái)看，“多涂”的人數(shù)超過(guò)了“相鄰區(qū)域涂同種顏色”的人數(shù)。

1.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的探索過(guò)程充滿自信并且樂(lè)于探索。從學(xué)生的行動(dòng)與討論中可知，學(xué)生對(duì)這類探索課是感興趣的。雖然最開始的猜想是錯(cuò)的，但經(jīng)過(guò)后期的驗(yàn)證活動(dòng)讓學(xué)生對(duì)自己產(chǎn)生了更多的自信。研究表明，此階段的學(xué)生正處于直觀層次到描述、分析層次的過(guò)渡階段，他們能夠簡(jiǎn)單地進(jìn)行分析與比較，但還不會(huì)做嚴(yán)格的推導(dǎo)、論證[4]，所以錯(cuò)誤猜想的產(chǎn)生也符合該階段學(xué)生的認(rèn)知。

整節(jié)課下來(lái)，所有的猜想與結(jié)論（包括正確的、不正確的結(jié)論）都是學(xué)生主動(dòng)提出并探索的，教師只起到引導(dǎo)作用。從課堂整體氛圍來(lái)看，他們對(duì)數(shù)學(xué)探索與發(fā)現(xiàn)過(guò)程充滿了樂(lè)趣與自信。

2.“四色猜想”對(duì)二年級(jí)學(xué)生的教學(xué)是可行的。從涂色的結(jié)果來(lái)看，大部分學(xué)生都能夠正確完成涂色任務(wù)，說(shuō)明本次“四色猜想”在二年級(jí)的數(shù)學(xué)嘗試是成功的，在同年級(jí)進(jìn)行推廣也具有可行性。

3.多區(qū)域的涂色需要教師進(jìn)一步引導(dǎo)及團(tuán)隊(duì)合作。多區(qū)域圖建議采用團(tuán)隊(duì)合作的方式，也可以由師生共同完成。因?yàn)楫?dāng)涉及的區(qū)域較多時(shí)，學(xué)生涂色的正確率會(huì)降低，所耗時(shí)間也會(huì)較長(zhǎng)，所以通過(guò)團(tuán)隊(duì)合作或師生共同合作，是一種比較高效的辦法。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱立明，馬玉鵬.基于新課標(biāo)的學(xué)生數(shù)學(xué)價(jià)值感悟研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014（5）：33-35.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[4]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M].上海：上海教育出版社，2009.