張冰 盧成嫻 沈中宇

【摘 要】“復數(shù)的概念”是滬教版高中數(shù)學教材第十三章“復數(shù)”的開篇。在教學實踐中，大部分教師采取的教學設計尚未充分體現(xiàn)“知識之諧”“方法之美”“探究之樂”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”等各類價值?；谝陨峡紤]，文章試圖在問題情境的探索和相關歷史的追溯中引入復數(shù)的必要性，讓學生經(jīng)歷數(shù)系擴充的過程，學習復數(shù)的相關概念，感悟人類的理性思維在數(shù)學發(fā)展和社會發(fā)展中的重要性，從而實現(xiàn)數(shù)學史的多元價值。

【關鍵詞】HPM視角;復數(shù)概念教學;多元價值

“復數(shù)的概念”是滬教版高中數(shù)學教材第十三章“復數(shù)”的開篇。教材采用簡明扼要的引入方式，為解決負數(shù)的開方問題引入虛數(shù)單位，從而給出復數(shù)的概念。因此在教學中，教師既要解決為什么要引入虛數(shù)、如何引入復數(shù)的概念、復數(shù)為什么不能規(guī)定大小等問題，還要解決虛數(shù)除了解方程，還有什么用途的問題[1-3]。

在教學實踐中，教師大致采用了以下幾種教學設計：一是教科書里的引入方式，即直接從一元二次方程的求解問題引入虛數(shù)[4];二是先講解數(shù)系的擴充，然后給出方程求解問題[5-6];三是利用卡爾丹（G. Cardano）或萊布尼茲（G. Leibniz）的二元二次方程組求解問題[3][7-10];四是從三次方程的求根問題引入復數(shù)概念[11-12]。前兩種教學設計遵循復數(shù)概念的邏輯序，而后兩種教學設計則遵循了復數(shù)概念的歷史序。將數(shù)學史融入數(shù)學教學，可以構(gòu)建“知識之諧”、彰顯“方法之美”、營造“探究之樂”、實現(xiàn)“能力之助”、展示“文化之魅”、達成“德育之效”[13]等價值，但已有的教學設計尚未充分體現(xiàn)以上各類價值。此外，學生未接觸過三次方程求根公式，故用三次方程引入復數(shù)概念往往會受到學生的質(zhì)疑，且已有的教學設計不夠自然?；谝陨峡紤]，本節(jié)課試圖在問題情境的探索和相關歷史的追溯中引入復數(shù)的必要性，讓學生經(jīng)歷數(shù)系擴充的過程，學習復數(shù)的相關概念，感悟人類的理性思維在數(shù)學發(fā)展和社會發(fā)展中的重要性，從而實現(xiàn)數(shù)學史的多元價值。

為此，研究者將本節(jié)課的教學目標擬定如下。

（1）通過求解卡爾丹“分十”問題和邦貝利（R.Bombelli）三次方程，了解虛數(shù)產(chǎn)生的歷史原因，體會引入虛數(shù)的必要性，在求解過程中借助幾何畫板直觀感受根的分布，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)。

（2）理解復數(shù)及其相關概念，如虛數(shù)單位、虛數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)的實部和虛部。

（3）感知數(shù)系擴充的過程和基本方法，能正確地對復數(shù)進行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關系。

（4）了解復數(shù)的數(shù)學史及其應用，感悟數(shù)學家不斷探索、勇于創(chuàng)新的理性精神，培養(yǎng)動態(tài)的數(shù)學觀。

復數(shù)概念的起源最早可以追溯到公元3世紀，古希臘數(shù)學家丟番圖（Diophantus）在《算術》中已經(jīng)遇到了“不可約”的一元二次方程，但虛數(shù)概念的真正歷史始于16世紀的意大利。本節(jié)課根據(jù)學生的認知水平，重點選取了復數(shù)發(fā)展史上四個關鍵的時間點。

1.卡爾丹與“分十”問題

1545年，意大利數(shù)學家卡爾丹在《大術》中提出一個著名問題：將10分為兩部分，使它們的乘積等于40。在這個問題的解決過程中，他承受著良心的譴責，找到了x=5±-15這兩個當時并不被人們所接受的數(shù)，也因此成為數(shù)學史上第一個寫下負數(shù)平方根的人。他稱這樣的數(shù)為“詭辯式的數(shù)”，由此可見他并未完全理解和接受復數(shù)[14]。

2.邦貝利與三次方程求解

1572年，意大利數(shù)學家邦貝利在《代數(shù)》一書中，討論了三次方程的解。對于方程x3=15x+4，邦貝利發(fā)現(xiàn)它有三個實數(shù)解4和-2±3，如果利用三次方程x3+px=q的求根公式x=3q2+q22+p33+3q2-q22+p33求解，卻得到含負數(shù)開平方形式的解x=32+-121+32--121。面對這一問題，邦貝利產(chǎn)生了一個“瘋狂”的想法：既然2+-121與2--121只相差一個符號，那么設32+-121=a+-b，32--121=a--b，便可解出a=2，b=1，得到x=32+-121+32--121=（2+-1）+（2--1）=4，從而解決了矛盾。這項工作標志著復數(shù)的產(chǎn)生。邦貝利還規(guī)定了復數(shù)的運算法則，為復數(shù)理論奠定了基石[15]。

3.吉拉德與代數(shù)基本定理

1629年，荷蘭數(shù)學家吉拉德（A. Girard）在其著作《代數(shù)新發(fā)明》中提出了代數(shù)基本定理——每個n次方程都有n個根，并給出了方程根與系數(shù)之間的關系。為保證根的個數(shù)，吉拉德表示我們應該接受虛根，至少可以將它作為方程的形式解。

對此，法國數(shù)學家笛卡兒（R. Descartes）則認為，雖然可以想象n次方程都有n個根，但是這些“虛”根是不能對應到任何數(shù)的。于是笛卡兒給它們?nèi)×艘粋€名字——“虛數(shù)”（imaginary number），意思是“想象中的數(shù)”[16]。

4.歐拉與虛數(shù)單位的引入

1777年，瑞士數(shù)學家歐拉（L. Euler）在一篇論文中第一次引入i=-1。從18世紀開始，虛數(shù)被廣泛地用于解決各種函數(shù)問題。在此之后，高斯（C. F. Gauss）、哈密爾頓（W. Hamilton）等數(shù)學家逐步完善了復數(shù)的相關理論[17]。

5.復數(shù)在科技領域的應用

除了數(shù)學學科內(nèi)部的應用之外，復數(shù)也在其他科技領域扮演著重要的角色。如電工學用復數(shù)表示交流電，量子力學用復數(shù)表示波函數(shù)，在空氣動力學、流體動力學、彈性理論、位勢理論、熱流、靜電通量、周期現(xiàn)象等方面都用到復數(shù)。復數(shù)還在航空、航海和機翼理論中發(fā)揮作用[16]。

1.問題驅(qū)動，情境引入

問題1 1545年意大利數(shù)學家卡爾丹在《大術》中提到這樣一個問題——將10分為兩個部分，使它們的乘積等于40，這兩個數(shù)分別是多少？

生1：設其中一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為10-x。列方程x（10-x）=40，即x2-10x+40=0，但因為Δ=-60<0，所以方程無解。

師：這個方程無解，說明卡爾丹要找的兩個數(shù)根本不存在。當年，卡爾丹也是這樣認為的，但后來他承受著良心的譴責，竟然找出了兩個數(shù)，分別是（5+-15）和（5--15）。先拋開這兩個數(shù)的合理性，我們來檢驗一下它們是否符合方程條件。把這兩個數(shù)（5+-15）和（5--15）加起來等于多少？

生（齊答）：10。

師：這兩個數(shù)（5+-15）和（5--15）的乘積是多少？

生（有些遲疑）：40。

師：這兩個數(shù)似乎完全符合卡爾丹問題的兩個條件！那么卡爾丹是怎么找出這兩個數(shù)的？

生2：應該是通過求根公式找出來的。由求根公式得x=10±-602，化簡可以得到x=5±-15。

師：有道理！但這其中有一個問題，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？

生3：將-60開平方了。

師：可以這樣操作嗎？

生（齊答）：不可以，負數(shù)不能開平方。

師：的確如此，所以當年卡爾丹雖然找出了這樣的兩個數(shù)，但他也承認，這是他的“癲狂”之舉，因為這樣的兩個數(shù)是不存在的。

問題2 27年之后，意大利另一個數(shù)學家邦貝利研究了一個三次方程x3=15x+4。這個方程有解嗎？

生（齊答）：這個方程我們不會解。

師：既然二次方程有求根公式，那么三次方程也有。意大利的數(shù)學家塔塔格里亞（N. Tartaglia）研究出了三次方程x3+px=q的求根公式，即x=3q2+q22+p33+3q2-q22+p33。

生4：對照公式將p=-15，q=4代入，就可得出這個方程的解：x=32+-121+32--121。

師：這個解有什么問題嗎？

生（齊答）：有，又出現(xiàn)了負數(shù)開平方。

師：這個三次方程的解，重現(xiàn)了卡爾丹解題中負數(shù)開平方的問題。既然卡爾丹方式無解，那么邦貝利的三次方程也無解，這個觀點你們同意嗎？

生（大部分）：同意。

生（小部分）：不同意，這個方程有解的。

師：有解？你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生5：計算器上的計算結(jié)果顯示，這個方程有解。

師：這個方程有幾個解？

生5：三個。

師：分別是哪三個解？

生5：一個是4，另外兩個分別是-0.27和-3.73。

（教室里一片嘩然）

師：我們利用作圖軟件GeoGebra，一起來看看三次函數(shù)f（x）=x3-15x-4的圖像（見圖1）！

師：通過觀察圖像，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生（恍然大悟）：函數(shù)圖像與x軸有三個交點，說明這個三次方程真的有三個實根！

師：是的，當年邦貝利不僅發(fā)現(xiàn)了三個實根，而且還寫出了它們的精確形式——4，-2±3。今天我們的同學用計算器計算也發(fā)現(xiàn)了這三個實根，老師也通過作圖軟件更加清晰地呈現(xiàn)了這三個實根。也就是說，邦貝利的這個三次方程的確存在三個實根！如果說當年卡爾丹拒絕承認那樣的兩個數(shù)的存在尚屬情理之中，那么在邦貝利這個三次方程中，面對確實存在的三個實根，我們就必須認真對待負實數(shù)開平方這件事了！

2.溫故知新，擴充數(shù)系

問題3 讓我們繼續(xù)回到卡爾丹的那個二次方程。同學們?nèi)绾卫斫狻胺匠虩o解”？

生6：“方程無解”就是方程沒有實根的意思。

師：是的。確切地說，是那個方程無“ 實數(shù)”解。

師：從這幾個方程的求解過程中，我們意識到一個問題——所謂的方程無解，是指在某一個數(shù)集內(nèi)無解，一旦這個數(shù)集擴充了，原來無解的方程可能就變得有解了，原來沒有辦法進行運算的方程可能進行運算了。

問題4 每一次數(shù)系擴充，都有哪些特點？

師：下面幾個方程的解（見表1）讓我們看到了數(shù)集的一次次擴充，但如果僅僅因為解方程的需要而對數(shù)集進行擴充，那未免太狹隘了。事實上，歷史上每一次數(shù)集的擴充，也都來自社會發(fā)展的需要。遠古人類為了計數(shù)，用繩子、樹枝、石頭等表示個數(shù)，創(chuàng)造了自然數(shù)，

又把表示“ 什么也沒有”的“ 零”也歸入自然數(shù)，于是形成了自然數(shù)集;打獵歸來，為了分配的需要，如何用數(shù)表示每一份，于是創(chuàng)造了分數(shù);后來人們發(fā)現(xiàn)在描述一些相反意義的量時，如海平面以上或海平面以下，原來有的數(shù)又不夠用了，于是負數(shù)誕生了。至此，數(shù)集就擴充到了有理數(shù)集。再后來，人們又發(fā)現(xiàn)有些正方形的對角線，或者說是直角三角形的斜邊，既不能用整數(shù)表示，也不能用分數(shù)表示，就開始猜想在有理數(shù)之外，是否還存在著別的數(shù)。幾百年之后，無理數(shù)終于得以見天日，形成了我們迄今為止學到的最大數(shù)集——實數(shù)集。這讓我們清晰地看到了，數(shù)集的擴充不僅僅是數(shù)學內(nèi)部的需要，也是社會發(fā)展的需要。

師：從運算的角度來看，在數(shù)集的一次次擴充過程中運算也發(fā)生著變化。引入負整數(shù)之后，原來自然數(shù)集中已有的加法、乘法運算還能成立嗎？

生（齊答）：成立。

師：數(shù)系擴充之后，還能完成原來數(shù)集中所不能完成的某些運算嗎？比如說？

生（齊答）：可以，比如減法運算。

師：引入分數(shù)之后，原來整數(shù)集中的那些加法、減法、乘法運算，繼續(xù)成立;同時又能完成原來整數(shù)集中不能完成的什么運算？

生7：除法運算。

師：是的。引入無理數(shù)之后，在原有的加、減、乘、除運算基礎上，還可以增添什么運算？

生7：開方運算。

師：從這些可以看出，數(shù)系一次次的擴充都有一些共同的原則。那么，什么叫擴充？數(shù)系的每一次擴充，都發(fā)生了什么變化？

生（齊答）：有新的數(shù)產(chǎn)生。

師：對，引入新數(shù)是第一條原則，但引入的新數(shù)應具備某些要求？從剛才的分析中，你們看出來了嗎？

生8：原來不能進行的運算，在引入新數(shù)之后，就可以進行了。

師：好的，這樣我們就總結(jié)出了數(shù)系擴充的又一個原則，即原有的運算及性質(zhì)仍然適用，同時能解決原數(shù)集中不能實施的某些運算。這是每一次數(shù)系擴充都要遵循的原則。

問題5 今天我們課堂上研究了卡爾丹的二次方程和邦貝利的三次方程。在求解過程中，我們遭遇了什么困難？又碰到了什么運算障礙？

生9（思索片刻后）：負數(shù)開平方。

師：負數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)不能進行開平方運算，也就是說負數(shù)開平方已經(jīng)超越了實數(shù)集的范圍。你們能給出一個解決問題的方案嗎？

生（齊答）：引入新數(shù)！

師：同學們有這樣的想法，很好！事實上，歷史上很多數(shù)學家為了解決這個問題，早就付出了不懈的努力！

3.以時為經(jīng)，追溯歷史

教師按照幾個重要的時間點，通過微視頻的形式（如圖2），讓學生重溫那段漫長的歲月。微視頻主要介紹了復數(shù)的發(fā)展歷史，從卡爾丹第一次寫下“負數(shù)平方根”到邦貝利通過“構(gòu)造數(shù)”解決32+-121+32--121=4的矛盾，再到吉拉德從代數(shù)基本定理角度認為我們應該接受虛根，接著笛卡兒將“虛”根取名為“虛數(shù)”，歐拉引入記號i=-1，最后高斯和哈密爾頓完善了復數(shù)的相關理論。

至此，關于復數(shù)的意義及其合法性的懷疑已經(jīng)延續(xù)將近250年。從這漫長的過程中，我們發(fā)現(xiàn)：對負數(shù)開平方，這不是某個人的“癲狂”之舉，而是數(shù)學發(fā)展的必然！

4.定義生成，概念辨析

師：為了解決負數(shù)開平方問題，人們引入了一個新數(shù)i，并規(guī)定i2=-1。作為一個引入的新數(shù)，它遵循數(shù)系擴充的一般原則，即原來數(shù)系中已有的運算和性質(zhì)仍然成立，并且能解決原來數(shù)系中不能解決的某些運算。這個新數(shù)i和實數(shù)一樣可以進行四則運算，原來的加法和乘法運算律仍然成立。這樣卡爾丹方程兩個根中出現(xiàn)的-15可以用什么來表示？

生（齊答）：-15=15×-1=15i，卡爾丹方程的兩個根為x=5±15i。

師：至此，我們正式解決了卡爾丹的問題。不僅如此，我們把所有形如a+bi（a、b∈R）的數(shù)稱為復數(shù)。其中，a叫作實部，b叫作虛部，i叫作虛數(shù)單位。1813年高斯首次將這種實數(shù)與虛數(shù)“復合”而來的數(shù)定義為復數(shù)（complex number），a+bi（a、b∈R）稱為復數(shù)的代數(shù)形式。所有像這樣的數(shù)組成的集合，稱之為復數(shù)集，用大寫字母C表示。一個新的數(shù)集又誕生啦！

問題6 大家想一想，這個嶄新的復數(shù)集與以前學的實數(shù)集，有什么聯(lián)系？又有什么不同？

生1：多了一個數(shù)i。

師：只是多了一個數(shù)i嗎？

生1：多了bi，它包含了很多的數(shù)。

師：復數(shù)集從實數(shù)集擴充而來，它一定包含了全部的實數(shù)，在什么時它表示實數(shù)？

生2：當b=0時，表示實數(shù)。

師：當b=0時，z=a+bi（a、b∈R）表示的就是z=a（a∈R），它是一個實數(shù);當b≠0時，復數(shù)z=a+bi（a、b∈R）表示的一定不是實數(shù)，我們稱這樣的數(shù)為虛數(shù)。在所有的虛數(shù)中，有一類很特別，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？

生（齊答）：當a=0時。

師：當a=0，b≠0時，這個復數(shù)是不是虛數(shù)？

生（齊答）：是虛數(shù)。

師：這樣的數(shù)也是虛數(shù)。當a=0時，我們稱它為純虛數(shù)。此外，還有一種很特殊的情況，你們想到了嗎？

生3：當a=0，b=0時，復數(shù)z表示的是實數(shù)0。

師：按照剛才的討論，我們可以將復數(shù)進行分類：z=a+bi（a、b∈R）b=0，實數(shù)（a=0，實數(shù)0），b≠0，虛數(shù)a=0，純虛數(shù)，a≠0，非純虛數(shù).從中，我們清楚地看到實數(shù)集和復數(shù)集之間的關系，即復數(shù)集中包含了所有的實數(shù)。那么實數(shù)集是復數(shù)集的什么？

生（齊答）：子集。

師：確切地講，應該是什么？

生（齊答）：真子集。

師：引入虛數(shù)后，實數(shù)集和虛數(shù)集就合并為復數(shù)集，數(shù)系就從實數(shù)集擴充為復數(shù)集了。

5.講解例題，理解概念

例1 如圖3所示，請說出下列集合之間的關系。

例2 指出下列復數(shù)是實數(shù)還是虛數(shù)，并說出它們的實部和虛部：-1+2i，5-2i，π，6i，4，-1+3，0。

例3 實數(shù)m為何值時，復數(shù)z=（m-1）（m+2）+（m-1）（m+1）i分別是：（1）實數(shù);（2）虛數(shù);（3）純虛數(shù);（4）零。

設計例2和例3旨在讓學生熟悉復數(shù)的分類標準，在解決問題的過程中內(nèi)化復數(shù)的相關概念。

6.提煉知識，課堂小結(jié)

師：通過本節(jié)課的學習，你們有哪些深刻的體會和收獲？

生1：了解了數(shù)集的發(fā)展歷程。

生2：學會了數(shù)系擴充的原則。

生3：知道了虛數(shù)單位i的引入。

生4：知道了復數(shù)的有關概念。

師：除此之外，其實復數(shù)在我們的生活中還有很多應用。比如，在電工學，復數(shù)表示交流電;在量子力學，復數(shù)表示波函數(shù)，能更加清晰地反映微觀粒子的本質(zhì)屬性。另外，復數(shù)在空氣動力學、流體動力學、航空、航海等領域也有廣泛的應用。今天只是復數(shù)開篇的第一課，在以后的高等數(shù)學學習中，我們還將會進一步學習復數(shù)。

課后，研究者收集了全班45名學生對本節(jié)課的反饋信息。約95.5的學生喜歡將數(shù)學史融入課堂;約97.8的學生表示聽懂了這節(jié)課。由此可見，本節(jié)課建立在讓學生理解的情況下融入數(shù)學史，從而讓學生喜歡歷史，并體會到其對學習數(shù)學的幫助。

其中，對于題目“設集合S=瘙綂SA=B”，約91的學生能正確回答。對于“當你看到‘復數(shù)’時，你會想到什么？”的問題，學生給出了159個回答，主要有：從代數(shù)形式的角度認識復數(shù)（28個），認為復數(shù)是a+bi;認為復數(shù)是一個符號（47個），如i2=-1，i=-1等;認為復數(shù)是數(shù)系擴充的結(jié)果（60個），如RC、新的數(shù)集C等;從歷史和情感角度認識復數(shù)（24個），如數(shù)學史以前從來沒學過等。對于“這節(jié)課你印象最深的是什么？為什么它會讓你印象深刻？”的問題，學生的回答主要有：復數(shù)的定義（18個），如i2=-1等;負數(shù)能開平方（11個），如“從未想過一個數(shù)的平方可以為負數(shù)”“ 負數(shù)竟然可以開方”等;數(shù)系的擴充（8個），如“我知道了實數(shù)集不是最大的數(shù)集”“實數(shù)和虛數(shù)可組成更大的數(shù)集—復數(shù)集”等;數(shù)學史（18個），如“虛數(shù)發(fā)現(xiàn)的歷史讓我了解到了發(fā)現(xiàn)虛數(shù)的過程坎坷”“歷史上數(shù)學家的故事展示了創(chuàng)新思維，令人腦洞大開”“數(shù)學的歷史十分有趣”等。

課后訪談表明，學生對在數(shù)學教學中所接觸的數(shù)學史知識感到很新鮮，通過對數(shù)學發(fā)展的了解，知道了概念的來源，而數(shù)學史的融入也活躍了課堂氣氛，激發(fā)了他們的求知欲。作為“復數(shù)”一章的開端，這是一個好的開始。

在本節(jié)課中，數(shù)學史的融入體現(xiàn)了多元的教育價值。在概念引入的設計上，教師重構(gòu)復數(shù)的歷史，由卡爾丹“分十”問題到邦貝利三次方程問題，引導學生經(jīng)歷知識發(fā)生的過程，體會引入虛數(shù)的必要性。特別是在求解三次方程的過程中，一部分學生利用求根公式，算出含負數(shù)開方形式的根，認為三次方程無解;但也有部分學生利用計算器，快速找到三次方程的三個根。在學生陷入無解與有解的矛盾之中時，教師借助作圖軟件從圖像角度讓學生看到三個真實存在的根，進而引發(fā)學生強烈的認知沖突，激發(fā)他們解決負數(shù)開方問題的強烈動機，使數(shù)系的擴充顯得自然而迫切;再從不同方程的求解入手，揭示數(shù)系擴充所遵循的原則。本課例較成功地實現(xiàn)了虛數(shù)概念的歷史序、邏輯序和學生心理序的有機統(tǒng)一，從而構(gòu)建了“知識之諧”。

微視頻“復數(shù)的歷史”向?qū)W生展示了不同時空數(shù)學家對虛數(shù)的探索以及虛數(shù)概念緩慢而艱辛的產(chǎn)生和發(fā)展過程。這既有助于學生樹立動態(tài)的數(shù)學觀，又揭示了虛數(shù)概念背后所蘊含的數(shù)學家的理性精神，因而展示了“文化之魅”，達成了“德育之效”。

但是，與許多HPM課例類似，本課例也還有很大的完善空間，如小結(jié)環(huán)節(jié)處理得還比較粗糙。如果教師能進一步引導學生對復數(shù)概念的歷史進行深入反思，充分挖掘復數(shù)產(chǎn)生的育人價值，而不是僅僅強調(diào)復數(shù)的應用，那么數(shù)學史的教育價值，特別是德育價值，將能夠得到更有效的體現(xiàn)。

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