王野

摘要：靈活使用“高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)”的ADE設(shè)計(jì)模型和“五環(huán)十步”教學(xué)模式指導(dǎo)“導(dǎo)數(shù)的概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)。前期分析準(zhǔn)備包括知識(shí)產(chǎn)生的背景與固著點(diǎn)、知識(shí)生長(zhǎng)的過(guò)程與階段、知識(shí)建構(gòu)的策略與方法、知識(shí)間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)、知識(shí)的要點(diǎn)與本質(zhì)、知識(shí)的學(xué)科意義與教學(xué)價(jià)值等學(xué)習(xí)內(nèi)容的分析，以及學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)、學(xué)生認(rèn)知障礙、克服障礙的措施等學(xué)生認(rèn)知的分析。教學(xué)過(guò)程包括“呈現(xiàn)背景，提出問(wèn)題”“聯(lián)想激活，尋求方法”“提出猜想，驗(yàn)證猜想”“歸納抽象，建立概念”“運(yùn)用鞏固，內(nèi)化遷移”“回顧反思，拓展深化”等環(huán)節(jié)。

關(guān)鍵詞：研究型教學(xué)ADE設(shè)計(jì)模型“五環(huán)十步”教學(xué)模式導(dǎo)數(shù)的概念

李昌官老師提出的“高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)”，給出了ADE設(shè)計(jì)模型和“五環(huán)十步”教學(xué)模式。ADE設(shè)計(jì)模型把教學(xué)設(shè)計(jì)分為前期分析準(zhǔn)備、中期開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)和后期評(píng)估修正三個(gè)階段。它提醒我們，既應(yīng)加強(qiáng)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知的分析，使教學(xué)設(shè)計(jì)建立在“知己知彼”的基礎(chǔ)上，也應(yīng)對(duì)初步形成的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行反復(fù)論證與修正，使之不斷完善。其中，7張各環(huán)節(jié)的思維導(dǎo)圖更是為教學(xué)設(shè)計(jì)提供了可資借鑒的技術(shù)路徑，使教師能夠思考一些自己平時(shí)想不到的問(wèn)題，完成一些自己獨(dú)立做不好的事情。而“五環(huán)十步”教學(xué)模式則為教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)提供了基本框架和思路，極大地提高了教師“為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)而教”的技術(shù)水平。筆者靈活使用它們指導(dǎo)了“導(dǎo)數(shù)的概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、前期分析準(zhǔn)備

（一）學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

1.知識(shí)產(chǎn)生的背景與固著點(diǎn)分析。

導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生的背景有兩個(gè)：一個(gè)是物理背景，即隨著16世紀(jì)大航海時(shí)代的到來(lái)，實(shí)際生產(chǎn)生活的需求對(duì)數(shù)學(xué)家提出了兩類(lèi)問(wèn)題——已知物體運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)時(shí)如何求物體的速度與加速度，如何求曲線的切線;另一個(gè)則是數(shù)學(xué)背景，即如何精確地刻畫(huà)函數(shù)單調(diào)遞增或遞減的快慢程度。因此，函數(shù)單調(diào)性、平均變化率、瞬時(shí)速度是導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生的固著點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)的概念正是通過(guò)對(duì)瞬時(shí)速度的提煉、抽象、概括與推廣得到的。

2.知識(shí)生長(zhǎng)的過(guò)程與階段分析。

導(dǎo)數(shù)概念的形成經(jīng)歷了以下幾個(gè)階段：（1）認(rèn)識(shí)到精確地刻畫(huà)函數(shù)在某一點(diǎn)處變化快慢的必要性;（2）通過(guò)直覺(jué)獲得求瞬時(shí)速度的基本思想，即無(wú)限逼近;（3）從幾何直觀上得到無(wú)限逼近的具體方法，即以直代曲;（4）通過(guò)數(shù)值計(jì)算、數(shù)值分析、形式化運(yùn)算求得瞬時(shí)速度，在與物理學(xué)中求勻加速運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度的對(duì)比驗(yàn)證中認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)方法的正確性、科學(xué)性與應(yīng)用的廣泛性;（5）通過(guò)不斷地抽象與符號(hào)化提煉導(dǎo)數(shù)的定義;（6）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)與平均變化率的關(guān)系理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

3.知識(shí)建構(gòu)的策略與方法分析。

導(dǎo)數(shù)概念建構(gòu)的主要策略與方法有三個(gè)：一是以直代曲，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)是一種特殊的極限，因此構(gòu)建導(dǎo)數(shù)概念的基本策略是無(wú)限逼近，而逼近的具體方法是以直代曲;二是數(shù)學(xué)抽象，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)概念是從瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度、瞬時(shí)反應(yīng)速率等具體概念中抽象出來(lái)并通過(guò)形式化獲得的理想結(jié)果，這是一個(gè)不斷地從特殊到一般、歸納概括的過(guò)程;三是數(shù)形結(jié)合，因?yàn)闊o(wú)論導(dǎo)數(shù)概念的建立還是其幾何意義的獲得，都離不開(kāi)幾何圖形提供的直觀感知。

4.知識(shí)間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)分析。

導(dǎo)數(shù)與平均變化率、極限的關(guān)系：導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限，求平均變化率、取極限是求導(dǎo)的兩個(gè)步驟。導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系：?jiǎn)握{(diào)性是對(duì)函數(shù)變化趨勢(shì)的定性刻畫(huà)，導(dǎo)數(shù)是對(duì)函數(shù)在某一點(diǎn)處或某一個(gè)小范圍內(nèi)變化快慢的定量刻畫(huà)，單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的萌芽。導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖像切線斜率的代數(shù)表征，函數(shù)圖像切線斜率是導(dǎo)數(shù)的幾何表現(xiàn)。導(dǎo)數(shù)與瞬時(shí)速度的關(guān)系：瞬時(shí)速度是一種特殊的導(dǎo)數(shù)，是導(dǎo)數(shù)的一種具體表現(xiàn)，而導(dǎo)數(shù)則是瞬時(shí)速度的抽象化和一般化。

5.知識(shí)的要點(diǎn)與本質(zhì)分析。

一方面，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的瞬時(shí)變化率，是精確地刻畫(huà)函數(shù)在某一點(diǎn)處或某一個(gè)小范圍內(nèi)變化快慢的數(shù)量。另一方面，導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限運(yùn)算，是求函數(shù)的瞬時(shí)變化率，即求函數(shù)在任意一點(diǎn)或一個(gè)小范圍內(nèi)變化快慢情況的算法，是求曲線切線斜率的一般性數(shù)學(xué)方法。

6.知識(shí)的學(xué)科意義與教學(xué)價(jià)值分析。

微積分的創(chuàng)立標(biāo)志著數(shù)學(xué)研究從常量關(guān)系進(jìn)入變量關(guān)系，而導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一。導(dǎo)數(shù)概念的構(gòu)建過(guò)程中蘊(yùn)含的直覺(jué)感知與想象、數(shù)形結(jié)合、無(wú)限逼近（以直代曲）、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、形式化運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象（從特殊到一般）等數(shù)學(xué)思想方法是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思維沃土，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要材料。特別是無(wú)限逼近思想，它是微積分中的核心思想方法，蘊(yùn)含著運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，能更好地促進(jìn)學(xué)生個(gè)性品質(zhì)的發(fā)展。

（二）學(xué)生認(rèn)知分析

1.學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)分析。

學(xué)生已有的知識(shí)和能力包括：知道平均速度和瞬時(shí)速度的概念，會(huì)求平均速度和一些特殊運(yùn)動(dòng)（如勻加速運(yùn)動(dòng)）的瞬時(shí)速度;理解單調(diào)性的概念，掌握幾個(gè)具體函數(shù)模型的增減快慢情況，會(huì)根據(jù)圖像的傾斜程度判斷函數(shù)的增減快慢情況;有用逐步逼近的方法求高次和超越函數(shù)零點(diǎn)的近似值，以及用無(wú)限逼近（實(shí)際上就是以直代曲）的方法探究圓的面積的經(jīng)驗(yàn)。

2.學(xué)生認(rèn)知障礙分析。

學(xué)生很容易通過(guò)直覺(jué)和幾何直觀感受到無(wú)限逼近思想，但很難根據(jù)這個(gè)思想建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造算法。具體的困難表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：（1）不知道如何將“逼近”這個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程用數(shù)學(xué)運(yùn)算的定量方式來(lái)表示;（2）不理解不同“逼近”方向之間的關(guān)系以及如何選擇。逼近的方向有三種情況：左側(cè)逼近、右側(cè)逼近、左右兩側(cè)同時(shí)逼近。從實(shí)際教學(xué)情況來(lái)看，選擇三種逼近方向的學(xué)生都有，但大部分學(xué)生都只選擇了一種逼近方向。這說(shuō)明，學(xué)生潛意識(shí)里認(rèn)為不管根據(jù)哪種逼近方向都能求得瞬時(shí)速度，但沒(méi)認(rèn)識(shí)到根據(jù)三種逼近方向獲得的瞬時(shí)速度是一樣的（高中數(shù)學(xué)中只考慮連續(xù)可導(dǎo)的情況），即只考慮到瞬時(shí)速度的存在性問(wèn)題，卻沒(méi)認(rèn)識(shí)到它的唯一性問(wèn)題。這個(gè)認(rèn)知障礙是由學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)程度不足導(dǎo)致的。另外，從左側(cè)或右側(cè)逼近，可以比較容易地歸納出導(dǎo)數(shù)的定義;而從左右兩側(cè)同時(shí)逼近時(shí)，所列的式子和導(dǎo)數(shù)的定義在形式上存在差異。

學(xué)生的另一個(gè)認(rèn)知障礙是對(duì)極限表達(dá)式limΔt→0f（t0+Δt）-f（t0）Δt的理解，原因在于極限表達(dá)式的高度抽象性。因此，要引導(dǎo)學(xué)生將其看成一種特殊的數(shù)學(xué)運(yùn)算。當(dāng)然，這個(gè)教學(xué)過(guò)程是對(duì)之前的數(shù)值分析和形式化運(yùn)算分析的再次提煉和抽象。

3.克服障礙的措施分析。

針對(duì)學(xué)生不會(huì)將無(wú)限逼近用數(shù)學(xué)運(yùn)算的形式表達(dá)，通過(guò)取不同的Δt值，求對(duì)應(yīng)的平均速度，再求平均速度的一般表達(dá)式，使學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)運(yùn)算無(wú)限逼近的過(guò)程，從而獲得相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)，積累相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

針對(duì)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性弱，先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到從左側(cè)和右側(cè)逼近時(shí)平均速度會(huì)趨向于同一個(gè)值，再引導(dǎo)學(xué)生證明從左右兩側(cè)同時(shí)逼近時(shí)仍會(huì)趨向于同一個(gè)值，從而認(rèn)識(shí)到極限存在的唯一性。這里，將從左右兩側(cè)同時(shí)逼近的情況后置，可以避免對(duì)概括極限概念的干擾。

針對(duì)學(xué)生對(duì)極限表達(dá)式理解的困難，一是讓學(xué)生經(jīng)歷極限表達(dá)式從文字語(yǔ)言到半符號(hào)化語(yǔ)言，再到符號(hào)語(yǔ)言的抽象過(guò)程，二是讓學(xué)生經(jīng)歷無(wú)限逼近從幾何直觀到數(shù)值分析，再到表達(dá)式分析的過(guò)程，從而認(rèn)識(shí)到：Δt不是一個(gè)定量，而是一個(gè)可以任意變小的量，即Δt→0表示一個(gè)變化趨勢(shì)，Δt與0的差要多小有多小，但始終不等于0，而limΔt→0f（t0+Δt）-f（t0）Δt=v0表示在該變化過(guò)程中，f（t0+Δt）-f（t0）Δt與v0的差要多小有多小。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

1.了解導(dǎo)數(shù)概念引入的背景及必要性。

2.理解導(dǎo)數(shù)的代數(shù)表達(dá)形式與幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是精確地刻畫(huà)函數(shù)在某一點(diǎn)處變化快慢的數(shù)學(xué)模型。

3.通過(guò)跳水運(yùn)動(dòng)的案例分析，經(jīng)歷從平均速度到瞬時(shí)速度的過(guò)程，并在運(yùn)用以直代曲方法的過(guò)程中，感受無(wú)限逼近思想、數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)。

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）呈現(xiàn)背景，提出問(wèn)題

背景很多時(shí)候，我們都假定變化是均勻的。事實(shí)上，并非如此。航天飛船和空間站在太空中飛行時(shí)，速度都是急劇變化的。為了使它們能夠成功對(duì)接，就必須準(zhǔn)確掌握它們每時(shí)每刻的飛行速度。我們把物體在某一時(shí)刻的速度叫作瞬時(shí)速度。

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：直接從函數(shù)的變化快慢入手，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)太過(guò)抽象。而速度是位移關(guān)于時(shí)間變化快慢的物理量，從速度開(kāi)始學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)更熟悉，也易于接受和理解。]

問(wèn)題1我們知道世界是變化的。凡是變化的地方，就有變化的快慢問(wèn)題。你能說(shuō)明函數(shù)y=x和y=x3增大的快慢情況嗎？進(jìn)一步地，你能用兩個(gè)數(shù)量表示這兩個(gè)函數(shù)增大的快慢程度嗎？

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：學(xué)生可以通過(guò)圖像發(fā)現(xiàn)y=x是均勻增大的，y=x3從-∞到0增大得越來(lái)越慢，從0到+∞增大得越來(lái)越快。由此，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)單調(diào)性只能刻畫(huà)函數(shù)的變化趨勢(shì)，卻無(wú)法定量刻畫(huà)變化的快慢程度。]

問(wèn)題2在實(shí)際生活中，我們也有必要了解瞬時(shí)速度，如奧運(yùn)會(huì)上百米賽跑運(yùn)動(dòng)員到達(dá)終點(diǎn)那一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。假設(shè)某個(gè)運(yùn)動(dòng)員百米賽跑的成績(jī)是10秒，則他撞線的瞬時(shí)速度應(yīng)該比平均速度還要快，那我們能否知道他撞線時(shí)的速度？

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：提出核心問(wèn)題——如何求瞬時(shí)速度？]

（二）聯(lián)想激活，尋求方法

方法1無(wú)限逼近，以直代曲。由于瞬時(shí)速度存在但不可測(cè)，因此，只能用可測(cè)的平均速度近似地代替。相應(yīng)的時(shí)間段越短，瞬時(shí)速度就越精確;當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，平均速度就成了瞬時(shí)速度。

方法2以退為進(jìn)，迂回前行，從一般到特殊，再?gòu)奶厥獾揭话?。一開(kāi)始就討論求瞬時(shí)速度的具體方法是比較困難的，不妨先研究我們熟悉的具體函數(shù)，從求具體函數(shù)的某個(gè)特殊時(shí)間點(diǎn)的瞬時(shí)速度入手。將具體函數(shù)的特殊時(shí)間點(diǎn)的瞬時(shí)速度研究清楚，再推廣到特殊函數(shù)的一般點(diǎn)，最后是一般函數(shù)的一般點(diǎn)。

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：方法1從直覺(jué)上提出了可行的方法，方法2提供了操作性較強(qiáng)的探究路徑。]

（三）提出猜想，驗(yàn)證猜想

問(wèn)題3在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h（t）=-4.9 t2+6.5t +10。如何求t=2時(shí)的瞬時(shí)速度？能否借助幾何圖形說(shuō)明方法的合理性？

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：（1）將逼近思想進(jìn)一步具體化，即在t=2附近用平均速度代替瞬時(shí)速度，然后不斷縮小時(shí)間間隔，用平均速度逼近瞬時(shí)速度;（2）放大h（t）在t=2附近的圖像，發(fā)現(xiàn)隨著曲線段長(zhǎng)度的不斷縮小，曲線段越來(lái)越直，從幾何直觀上感受“以直代曲”的合理性，為后續(xù)切線斜率的引入做鋪墊。]

問(wèn)題4剛才，我們從直覺(jué)和幾何直觀兩個(gè)層面討論了用平均速度逼近瞬時(shí)速度的可行性。接下來(lái)，你能不能根據(jù)平均速度的定義設(shè)計(jì)一個(gè)用平均速度逼近瞬時(shí)速度的方案？根據(jù)方案的執(zhí)行結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：將具體化后的逼近思想可操作化，即取|Δt|=0.1，0.01，0.001，0.0001，…，考察h（t）在區(qū)間[2+Δt，2]（Δt<0）和[2，2+Δt]（Δt>0）上平均速度的大小及其變化趨勢(shì)。通過(guò)列表（見(jiàn)表1）使學(xué)生親身經(jīng)歷逐步逼近的過(guò)程。]

問(wèn)題5當(dāng)Δt按0.2，0.02，0.002，…的取值規(guī)律趨向于0時(shí)，是否仍有這樣的規(guī)律？當(dāng)Δt按0.2，-0.02，0.002、-0.0002，…的取值規(guī)律趨向于0時(shí)，是否仍有這樣的規(guī)律？當(dāng)Δt以任意方式趨向于0時(shí)，是否都有這樣的變化趨勢(shì)？如何證明？

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)平均變化率的表達(dá)式，先分析當(dāng)Δt從2的一側(cè)逼近0時(shí)，平均變化率會(huì)趨向于-13.1;再分析當(dāng)Δt從2的兩側(cè)同時(shí)逼近0時(shí)，平均變化率仍會(huì)趨向于-13.1，即證明當(dāng)Δt1、Δt2同時(shí)逼近0時(shí)，v-=h（2+Δt1）-h（2+Δt2）（2+Δt1）-（2+Δt2）=-4.9（Δt1+Δt2）-13.1→-13.1。目的是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這個(gè)結(jié)果和逼近方式（即逼近的速度和方向）無(wú)關(guān)，只和函數(shù)h（t）本身以及2這個(gè)具體的點(diǎn)有關(guān)，最終使學(xué)生經(jīng)歷完整的無(wú)限逼近過(guò)程。]

（四）歸納抽象，建立概念

問(wèn)題6對(duì)t=2時(shí)的瞬時(shí)速度如何理解？能否用數(shù)學(xué)符號(hào)表示“當(dāng)t=2，Δt趨近于0時(shí)，平均速度趨近于確定值-13.1”？

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：使學(xué)生認(rèn)識(shí)到當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，平均速度v-=h（2+Δt）-h（2）Δt無(wú)限趨近于確定的值-13.1，我們就稱(chēng)-13.1是t=2時(shí)的瞬時(shí)速度。然后，先將文字語(yǔ)言表述的無(wú)限逼近過(guò)程半符號(hào)化，即當(dāng)Δt→0時(shí)，h（2+Δt）-h（2）（2+Δt）-2→-13.1;再引入極限運(yùn)算表達(dá)式limΔt→0=h（2+Δt）-h（2）（2+Δt）-2=-13.1，將半符號(hào)化的無(wú)限逼近過(guò)程完全符號(hào)化。一方面使學(xué)生經(jīng)歷從文字語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，另一方面也通過(guò)徹底的符號(hào)化，將這個(gè)無(wú)限逼近過(guò)程抽象為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算。]表1

Δt的取值h（t）在[2+Δt，2]上的

平均速度（Δt<0）h（t）在[2，2+Δt]上的

平均速度（Δt>0）當(dāng)|Δt|=0.1時(shí)-12.61-13.59當(dāng)|Δt|=0.01時(shí)-13.051-13.149當(dāng)|Δt|=0.001時(shí)-13.0951-13.1049當(dāng)|Δt|=0.0001時(shí)-13.09951-13.10049當(dāng)|Δt|=0.00001時(shí)-13.099951-13.100049當(dāng)|Δt|=0.000001時(shí)-13.0999951-13.1000049………………當(dāng)Δt→0時(shí)v-=h（2）-h（2+Δt）2-（2+Δt）

=-4.9Δt-13.1v-=h（2+Δt）-h（2）（2+Δt）-2

=-4.9Δt-13.1問(wèn)題7運(yùn)動(dòng)員在t =1時(shí)的瞬時(shí)速度怎樣表示？更一般地，在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度怎樣表示？你會(huì)求t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度嗎？結(jié)合所學(xué)的物理知識(shí)，你覺(jué)得這樣所求的瞬時(shí)速度正確嗎？

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：先將從特殊點(diǎn)得到的方法推廣到一般點(diǎn)，理解并會(huì)應(yīng)用極限表達(dá)式limΔt→0h（1+Δt）-h（1）Δt和limΔt→0h（t0+Δt）-h（t0）Δt，認(rèn)識(shí)到這個(gè)方法對(duì)函數(shù)上的所有點(diǎn)都適用。再與物理學(xué)中求勻加速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩者所求的結(jié)果是一致的，說(shuō)明新方法和原有知識(shí)體系并不矛盾，體會(huì)到新方法的正確性、科學(xué)性以及應(yīng)用的廣泛性。]

問(wèn)題8能否再舉一些表示變化快慢的量？這些量的共同特征是什么？通過(guò)歸納、概括、抽象，能否表示函數(shù)y=f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率？

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)舉例，回憶加速度、化學(xué)反應(yīng)速率等概念，概括出它們與瞬時(shí)速度的共同特征，抽象出函數(shù)y=f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率，即導(dǎo)數(shù)的概念。]

（五）運(yùn)用鞏固，內(nèi)化遷移

問(wèn)題9將原油精煉為汽油、柴油、瀝青等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果時(shí)間（單位：h）為x時(shí)，原油的溫度（單位：℃）為f（x） =x2-7x+15（0≤x≤8）。計(jì)算2 h和6 h時(shí)原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義。

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：解決新的問(wèn)題，進(jìn)一步了解導(dǎo)數(shù)在實(shí)際情境中的物理意義，更深入地理解導(dǎo)數(shù)的概念。]

（六）回顧反思，拓展深化

問(wèn)題10為什么要求瞬時(shí)變化率？如何求瞬時(shí)變化率？導(dǎo)數(shù)概念的建立經(jīng)歷了哪些過(guò)程？其中滲透了哪些數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)方法？導(dǎo)數(shù)還能應(yīng)用在哪些方面？

問(wèn)題11平均變化率是函數(shù)圖像割線的斜率，結(jié)合函數(shù)圖像的割線與無(wú)限逼近的過(guò)程，能否猜測(cè)導(dǎo)數(shù)的幾何意義？

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：在回顧反思的基礎(chǔ)，拓展視野，借助幾何畫(huà)板，將Δx→0的過(guò)程中割線的變化趨勢(shì)展現(xiàn)出來(lái)，在幾何直觀的基礎(chǔ)上明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率。]

參考文獻(xiàn)：

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[2] 李昌官.“五管齊下”育數(shù)學(xué)素養(yǎng)實(shí)踐探索——以“導(dǎo)數(shù)概念”研究型單元教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（16）.