盧成嫻 姜浩哲 汪曉勤

摘要：對HPM課例《三角形一邊平行線性質(zhì)定理及推論》中的開放思想、批判思維的自信心、認(rèn)知成熟度與尋找真相、分析能力、系統(tǒng)化能力等批判性思維特質(zhì)的培養(yǎng)進(jìn)行分析。得出結(jié)論：數(shù)學(xué)史對發(fā)展學(xué)生批判性思維具有獨(dú)特作用，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)可以且應(yīng)當(dāng)成為發(fā)展學(xué)生批判性思維的重要路徑之一。

關(guān)鍵詞：HPM批判性思維三角形一邊平行線性質(zhì)定理

蘇格蘭數(shù)學(xué)家阿布斯諾特（J.Arbuthnot，1667—735）在其《論數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的益處》中指出：“數(shù)學(xué)使人獲得清晰的、論證性的、有條理的推理習(xí)慣，為頭腦注入生命力，使其免受偏見、輕信和迷信的影響?！睌?shù)學(xué)的教育價(jià)值之一就在于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維。作為21世紀(jì)技能的核心，批判性思維是一種“理性的、反思性的思維”，“其目的在于決定我們的信念和行動(dòng)”。近年來，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的批判性思維，已經(jīng)成為備受關(guān)注的熱點(diǎn)問題。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值可以分成知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效六類，這六類價(jià)值均與批判性思維有著密切的聯(lián)系。本文試圖通過對一節(jié)典型的初中HPM課例進(jìn)行分析，來回答將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對批判性思維的培養(yǎng)有何作用，從而為后續(xù)的HPM課例研究以及數(shù)學(xué)學(xué)科育人價(jià)值的實(shí)現(xiàn)提供參考。

一、批判性思維分析框架

20世紀(jì)90年代初，美國哲學(xué)協(xié)會(huì)曾組織來自不同領(lǐng)域的46位批判性思維研究專家，制訂和發(fā)布了著名的《德爾菲報(bào)告》，對批判性思維的內(nèi)涵做了具體闡述。在此基礎(chǔ)上，法喬恩（P.A.Facione）等人研制了《加利福尼亞批判性思維傾向測試》（California Critical Thinking Disposition Inventory，簡稱CCTDI），被公認(rèn)為具有較好的信度和效度，在美國的大學(xué)、中學(xué)廣為使用。

CCTDI將批判性思維的特質(zhì)分為七個(gè)方面：（1）求知欲，指對知識充滿好奇，渴望學(xué)習(xí)，即使這些知識的實(shí)用價(jià)值并非直接明顯的;（2）開放思想，指對不同的方法和意見采取包容的態(tài)度，防止個(gè)人偏見的可能;（3）批判思維的自信心，指相信自己的推理過程與分析能力;（4）系統(tǒng)化能力，指有組織、有目標(biāo)地處理問題;（5）認(rèn)知成熟度，指審慎地做出判斷，或暫不做判斷，或修改已有判斷，警覺性地接受多種解決問題的方法;（6）尋找真相，指勇于尋找最佳方案，敢于質(zhì)疑，在尋找知識時(shí)保持真誠和客觀的態(tài)度;（7）分析能力，指能夠鑒定問題所在，預(yù)計(jì)可能出現(xiàn)的結(jié)果，基于證據(jù)、運(yùn)用推理解決問題。

二、HPM課例簡述

這節(jié)課的課題是“三角形一邊平行線性質(zhì)定理及推論”。

課前，教師下發(fā)閱讀材料，讓學(xué)生在閱讀教材的基礎(chǔ)上閱讀，初步了解“三角形一邊的平行線”。閱讀材料介紹了歐幾里得《幾何原本》的命題Ⅵ.2、命題Ⅰ.43以及楊輝的“勾中容橫、股中容直”原理。

《幾何原本》命題Ⅵ.2如果一條直線平行于三角形的一邊，那么它截三角形的兩邊成比例;如果三角形的兩邊被截成比例，那么通過兩個(gè)截點(diǎn)的直線平行于三角形的第三邊（如圖1）。

《幾何原本》命題Ⅰ.43在任何平行四邊形中，對角線兩邊的平行四邊形的補(bǔ)形面積相等（如圖2）。

“勾中容橫、股中容直”原理如圖3所示，設(shè)O是矩形ABCD對角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)O分別作一組鄰邊的平行線PQ、RS，則SOPDS=SOQBR。

課上，教師主要從定理“是什么”“如何證”“怎么用”三個(gè)方面展開教學(xué)。

在“理解定理”環(huán)節(jié)，教師帶領(lǐng)學(xué)生分別從文字語言（平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例）、圖形語言（有兩種情形，如圖1和圖4，分別被命名為“A字型”與“8字型”）以及符號語言（因?yàn)镈E∥BC，所以ADDB=AEEC，ADAB=AEAC，DBAB=ECAC）三個(gè)角度，解讀三角形一邊平行線性質(zhì)定理。

在“證明定理”環(huán)節(jié)，教師首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧《幾何原本》中“A字型”的證明方法，引導(dǎo)學(xué)生在“A字型”的基礎(chǔ)上證明“8字型”;然后引導(dǎo)學(xué)生探究三角形一邊平行線性質(zhì)定理的推論，同樣利用三種語言描述，并類比歐氏幾何方法論證;接著進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用“出入相補(bǔ)”原理證明上述定理與推論，由直角三角形推廣到一般三角形;最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歐氏幾何方法與“出入相補(bǔ)”原理的異同，深入體會(huì)東西方數(shù)學(xué)思想。

在“應(yīng)用定理”環(huán)節(jié)，教師通過兩道例題，引導(dǎo)學(xué)生分別從歐氏幾何方法和“出入相補(bǔ)”原理兩個(gè)角度進(jìn)行解答，感受三角形一邊平行線性質(zhì)定理及推論在測量問題中的廣泛應(yīng)用。例1為《九章算術(shù)》“勾股章”第19題，此題屬于一次測望問題;例2為《周髀算經(jīng)》中的日高公式，屬于二次測望問題。

在“課堂小結(jié)”環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識、方法、思想等方面概括本節(jié)課的內(nèi)容，并最后總結(jié)：東西方數(shù)學(xué)方法的殊途同歸體現(xiàn)了海納百川、兼容并包的思想意識，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中會(huì)進(jìn)一步體會(huì)東西方結(jié)合的思想方法。

三、HPM課例中的批判性思維分析

（一）開放思想

在“證明定理”環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方面地證明三角形一邊平行線性質(zhì)定理，通過展現(xiàn)東西方數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的開放思想。以下為證明“A字型”的有關(guān)教學(xué)片段——

師根據(jù)閱讀材料，歐幾里得在《幾何原本》中是如何證明“A字型”的呢？

生（展示圖5）連接BE、CD，設(shè)DE、BC之間的距離為h，則S△DEB=S△DEC=12DE·h。又因?yàn)镾△ADES△DEB=ADDB，S△ADES△DEC=AEEC，所以ADDB=AEEC。

……

師雖然“出入相補(bǔ)”原理可以一圖多含，但是，它的應(yīng)用范圍是在特殊的直角三角形中。那么，這種證明方法可以運(yùn)用在一般的三角形中嗎？

生過A點(diǎn)作BC的垂線。

師為什么想到作垂線呢？

生這樣就將一個(gè)三角形分成了兩個(gè)直角三角形。（展示圖6）左邊補(bǔ)一個(gè)（長方形），可以得到ADDB=AMMH;右邊補(bǔ)一個(gè)（長方形），可以得到AEEC=AMMH。

師作出垂線AH，以它作為橋梁，將一般的三角形轉(zhuǎn)化成特殊的直角三角形。那么，除了這種方法，還有其他方法嗎？

生（展示圖7）把△ABC補(bǔ)成平行四邊形：過點(diǎn)A作BC的平行線，過點(diǎn)B作AC的平行線。

師補(bǔ)出來的這張圖就是《幾何原本》里的圖了！根據(jù)預(yù)習(xí)，我們已經(jīng)知道什么式子？

生ac=bd。

師而我們要證明的是什么？

生da=ADDB。

師剛剛我們說可以將直角三角形補(bǔ)成矩形，那么，對一般的三角形，我們是否可以把它補(bǔ)成平行四邊形？大家嘗試一下。

（學(xué)生思考討論，約3分鐘。）

生（展示圖8）可以在△ABC左側(cè)再補(bǔ)一個(gè)平行四邊形：過點(diǎn)M作AB的平行線，過點(diǎn)B作AM的平行線。

師這樣，在原來的基礎(chǔ)上又做了一次“出入相補(bǔ)”。在平行四邊形MACB中，QDDP=EDDF;在平行四邊形MABK中，HFFI=JFFD=EDDF。因此HFFI=QDDP，即ADDB=AEEC。（稍停）那么，除了這種補(bǔ)法，還有其他的方法嗎？

（學(xué)生遲疑。）

師（展示圖9）剛剛我們是在左邊補(bǔ)了一個(gè)平行四邊形，我們還可以在右邊補(bǔ)一個(gè)平行四邊形。

圖5的歐氏幾何方法與圖6的“出入相補(bǔ)”方法分別代表了東西方數(shù)學(xué)思想，是同一個(gè)定理在不同視角下的探索，有助于開拓學(xué)生的思維;圖8與圖9的證法則更進(jìn)一步，將歐氏幾何方法與“出入相補(bǔ)”原理融合，展現(xiàn)了兩種文化的水乳交融，有助于培養(yǎng)學(xué)生兼容并包的開放思想。

（二）批判思維的自信心

在“證明定理”環(huán)節(jié)，教師還引導(dǎo)學(xué)生以《幾何原本》中的“A字型”為媒介，探索“8字型”的多樣證明方法，完善定理的證明過程。

師《幾何原本》中只給出了“A字型”，那么用歐氏幾何的面積方法，能否證明“8字型”呢？

生（展示圖10）聯(lián)結(jié)BE、CD，因?yàn)椤鰾ED與△CDE面積相等，所以△ABE與△ACD面積相等，所以ADAB=S△EADS△EAB=S△DAES△DAC=AEAC。

師非常棒！還有其他方法嗎？

生（展示圖11）可以將“8字型”轉(zhuǎn)化成“A字型”。只要在AB上截取AD′=AD，在AC上截取AE′=AE，連接D′E′，證明△ADE與△AD′E′全等，就可以將△ADE轉(zhuǎn)化為△AD′E′。

師將“A字型”變成已知的條件，這就是歐幾里得《幾何原本》非常漂亮的地方，將結(jié)論作為條件應(yīng)用。那么，這種轉(zhuǎn)化還有其他的方式嗎？

生（展示圖12）過點(diǎn)D作EC的平行線，交BC的延長線于C′。

師你是怎么想到這種方法的呢？

生本來BD與CE是交叉的，平移以后就可以轉(zhuǎn)化成“A字型”了。

師非常棒！通過這種思路把“8字型”也轉(zhuǎn)化為了“A字型”。

在這一探索過程中，學(xué)生能夠站在古代數(shù)學(xué)家的肩膀上思考問題，彌補(bǔ)他們的不足，無形中提高了學(xué)生批判思維的自信心。

（三）認(rèn)知成熟度與尋找真相

在“證明定理”環(huán)節(jié)，討論“利用‘出入相補(bǔ)’原理是否能證明三角形一邊平行線性質(zhì)定理”時(shí)，起初部分學(xué)生的答案是否定的，但是，在交流中他們發(fā)現(xiàn)能夠證明直角三角形一邊平行線性質(zhì)定理，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)結(jié)合等比性質(zhì)還能優(yōu)化證明過程。

師在閱讀材料中，我們給出了由“出入相補(bǔ)”原理得到的“勾中容橫、股中容直”原理。我們既然要走東西方結(jié)合的道路，那么能夠通過“出入相補(bǔ)”原理證明上述定理與推論嗎？我們先一起來說一說根據(jù)“出入相補(bǔ)”原理可以得到什么？

生（展示圖3）將OR、OP、OQ、OS分別標(biāo)為a、b、c、d，根據(jù)SOPDS=SOQBR可以得到OP·OS=OQ·OR，也就是da=cb。

師但我們現(xiàn)在的問題是可否證明三角形一邊平行線性質(zhì)定理與推論。我們先找一個(gè)“A字型”。在這個(gè)圖形中，我們需要證明OCOA=da=cb。這個(gè)結(jié)論與剛剛的“容橫、容直”結(jié)論并不一樣，是否可以下定論：利用“出入相補(bǔ)”原理無法證明三角形一邊平行線性質(zhì)定理？

（學(xué)生思考，有人說不可以，有人說可以。）

師有同學(xué)一開始說無法證明，后來又說可以證明。我們就請他來說說看。

生根據(jù)勾股定理可知，OC2OA2=c2+d2a2+b2，而a=bdc，d=acb，將它們中的一個(gè)帶進(jìn)去消元，化簡后就可以得到。

師是能夠算出來的，只是有點(diǎn)復(fù)雜。有沒有同學(xué)有其他方法？如果沒有，我們就把上面的式子代進(jìn)去計(jì)算。

生由da=cb可得d2a2=c2b2，直接利用等比性質(zhì)c2+d2a2+b2=d2a2=c2b2，就可以證出OC2OA2=d2a2=c2b2，開方后可得OCOA=da=cb。

在這一探究過程中，“勾中容橫、股中容直”原理與三角形一邊平行線性質(zhì)定理的不一致引發(fā)了學(xué)生的深度思考，讓他們始終積極地進(jìn)行探索，從而用嚴(yán)密的邏輯推理證明了定理，并結(jié)合等比性質(zhì)找到了最佳證明方法。這培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索的求真精神。同時(shí)，這一探究過程也啟示學(xué)生：面對問題要有自己的思考，不可輕易做出判斷。這有助于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)論證的理性精神，提高學(xué)生的認(rèn)知成熟度。

（四）分析能力

在“證明定理”環(huán)節(jié)，利用歐氏幾何方法和“出入相補(bǔ)”原理證明定理及推論后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生比較這兩種方法之間的異同，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而提升分析能力。

師我們用歐氏幾何方法和“出入相補(bǔ)”原理分別證明了三角形一邊平行線性質(zhì)定理及推論，你覺得它們之間有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？

生所有的證法都用到了面積。

師通過面積從什么證什么？

生通過面積從平行線證比例式。

師非常好！它們的共性是將平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為比例式以及借助了面積。在這個(gè)過程中還包括了從特殊到一般、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，體現(xiàn)了類比、化歸、分類討論和一題多解等思想方法。那么，它們之間的不同點(diǎn)在哪里呢？

生利用歐氏幾何方法只研究了“A字型”，而利用“出入相補(bǔ)”原理不僅研究了“A字型”，而且研究了“8字型”，可以直接得出定理和推論。

生“出入相補(bǔ)”原理更加完整，但是歐氏幾何方法更加簡單。

師我們總結(jié)一下：歐氏幾何方法是完美的演繹推理，由一個(gè)推到另一個(gè)，可將已經(jīng)證明的結(jié)論作為解題的條件，是結(jié)論性方法;而“出入相補(bǔ)”原理不同，它一個(gè)圖包含多個(gè)內(nèi)容，一個(gè)結(jié)論出來另一個(gè)也就出來了，在求解的過程中就包含了解題的方法，是過程性方法。（稍停）那我們進(jìn)一步來探討：你覺得為什么東西方數(shù)學(xué)家都想到用面積來證明三角形一邊平行線性質(zhì)定理？這與想到用面積來證明勾股定理有必然聯(lián)系嗎？

生比例式可以化成乘積式，乘積式就表示面積。

生兩條邊相乘是兩維的，最常見的兩維表示是面積。

生在勾股定理中，a2、b2都可以看作正方形的面積。在這個(gè)定理中，乘積式與面積也有一定的聯(lián)系。

師大家都說得很好！實(shí)際上，面積在平面幾何中有“帝王不變量”之稱。古今中外很多數(shù)學(xué)家都很重視面積方法。紀(jì)伯倫曾說：“人性是一條光河，從無始流到永恒?！笨赡芫褪菙?shù)學(xué)家的這種人性之美發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的理性之美，使他們共同發(fā)現(xiàn)，原來路可以往這里。我們同學(xué)也可以繼續(xù)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。

這里，教師由歷史上的定理證明出發(fā)，一步一步引導(dǎo)學(xué)生挖掘證明方法之間本質(zhì)的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)比例的基本性質(zhì)是東西方數(shù)學(xué)家都用面積證明定理的關(guān)鍵。這一過程有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

（五）系統(tǒng)化能力

在“應(yīng)用定理”環(huán)節(jié)，教師借鑒古人的測量方法，以《九章算術(shù)》與《周髀算經(jīng)》中的測量題為例，從“一次測望”到“重差術(shù)”，系統(tǒng)地介紹了各類測量問題的求解方法。

例1《九章算術(shù)》“勾股章”第19題：今有邑方不知大小，各開中門。出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問邑方幾何？

例2我國西漢時(shí)期天文學(xué)家提出了著名的“重差術(shù)”：如圖13，為了測量太陽離大地（當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為大地是平的）的高度H，立高為a的兩表，測得影長分別為s1和s2，兩表之間相距d，則日高為H=a+ads2-s1。請用楊輝的“勾中容橫、股中容直”原理加以證明。

解后歸納：例1只需要一次測望即可;例2則需要用到二次測望。二次測望稱為“重差術(shù)”，劉徽曾在《海島算經(jīng)》中闡述這種方法：“凡望極高，測絕深而兼知其遠(yuǎn)者，必用重差?！薄逗u算經(jīng)》中還記載了三次測望、四次測望，課后同學(xué)們可以進(jìn)一步去探究。

四、小結(jié)

綜上所述，在《三角形一邊平行線性質(zhì)定理及推論》課例中，將數(shù)學(xué)史通過多種方式融入數(shù)學(xué)教學(xué)，培養(yǎng)了學(xué)生的批判性思維，總結(jié)起來如表1所示。

五、反思

雖然在不同的HPM課例中，數(shù)學(xué)史的融入內(nèi)容和方式會(huì)有不同，批判性思維的特質(zhì)體現(xiàn)也會(huì)有不同，但是，我們有理由相信，數(shù)學(xué)史對發(fā)展學(xué)生批判性思維具有獨(dú)特作用，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)可以且應(yīng)當(dāng)成為發(fā)展學(xué)生批判性思維的重要路徑之一。

對此，本節(jié)課還有一些需要進(jìn)一步完善的地方。在課堂引入部分，教師可以結(jié)合數(shù)學(xué)史料闡述學(xué)習(xí)定理的必要性，激發(fā)學(xué)生的求知欲;對于學(xué)生的證明方法，教師可以從數(shù)學(xué)史角度給予肯定，將學(xué)生的方法與數(shù)學(xué)家的方法進(jìn)行比較，倡導(dǎo)古今對話，激發(fā)學(xué)生的自信心;在比較東西方數(shù)學(xué)方法的異同時(shí)，可以進(jìn)一步揭示東西方文化的共同之處，使學(xué)生感受到東西方文化的殊途同歸，提高學(xué)生的分析能力。

從這個(gè)意義上說，HPM教學(xué)具有揭示學(xué)習(xí)必要性、倡導(dǎo)古今對話等價(jià)值，同樣對發(fā)展學(xué)生的批判性思維有著重要的作用。這給未來數(shù)學(xué)史料的選材與加工、課堂教學(xué)的預(yù)設(shè)與生成乃至HPM課例的開發(fā)與應(yīng)用提供了啟示。

*本文系上海高校“立德樹人”人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的研究”（編號：A8）和華東師范大學(xué)教育學(xué)部2018年度大學(xué)生科研基金項(xiàng)目“初中生數(shù)學(xué)批判性思維測評工具開發(fā)與培養(yǎng)路徑探析”（編號：ECNUFOE2018KY021）的階段性研究成果。

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