蔡逸

摘要：解析幾何問題中，常常需要求解弦長，特別是需要求解多條弦長的關(guān)系，這種題型使用直線的參數(shù)方程可大大的簡化思維和運(yùn)算，值得推廣。

關(guān)鍵詞：參數(shù)方程；弦長問題；定點(diǎn)問題

解析幾何是高中數(shù)學(xué)知識中十分重要的部分，由于其能夠有效地考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)算能力，分類討論，思維深度以及在考場上的應(yīng)變能力和心理素質(zhì)等，在歷屆高考數(shù)學(xué)試卷中當(dāng)仁不讓的成為了重點(diǎn)和難點(diǎn)。

在解析幾何的學(xué)習(xí)中，我們主要學(xué)習(xí)了橢圓，雙曲線及拋物線為主的圓錐曲線，并且養(yǎng)成了對解析幾何大題的一般答題思路：找到共性，設(shè)出坐標(biāo)，將直線方程與曲線方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)題設(shè)進(jìn)行解答，這種做法雖具有一定的普遍性，但在計算解答的過程中，往往涉及復(fù)雜的化簡與代換，而在高考緊張的氣氛中，一旦算錯，很容易滿盤皆輸，因此在解決直線與曲線之間關(guān)系的問題中，找到特殊的解決辦法來盡量減少我們的計算量并且提高準(zhǔn)確度，對于我們攻克高考壓軸題是大有裨益的，同時也可讓我們保持良好的心態(tài)收獲更好的成績。

一、題型分析：

高考中，解析幾何題一般位于倒數(shù)第二題的位置，第一問一般是要求曲線方程，離心率或定點(diǎn)坐標(biāo)等，此問的結(jié)論一般作為后面解決問題的依據(jù)，難度較小。而在難度加深的第二問中，直線與曲線相結(jié)合的問題有，求某點(diǎn)的軌跡，定值問題，最大值最小值等。

下面通過示例來討論在解析幾何運(yùn)算時，利用直線參數(shù)方程來巧解問題并減少計算量。

二、直線參數(shù)方程

1、直線參數(shù)方程的引入

我們知道直線的點(diǎn)斜式為：

此處 所代表的意義為直線與 軸正半軸夾角的正切值即

不妨改寫為 ， 引進(jìn)參數(shù) 而在實(shí)際運(yùn)算中，我們?nèi)绾我M(jìn)參數(shù) 呢？

實(shí)際運(yùn)算中，常常會出現(xiàn) 三點(diǎn)之間的線段運(yùn)算，此時不妨將 直線看作數(shù)軸， 方向?yàn)檎较颍?為原點(diǎn)，則設(shè) 處參數(shù)為 ，則

利用這種思路，我們可以更好的解決線段長之間的計算

[數(shù)軸 → “原點(diǎn)”→ 正負(fù) → 線段長]

2、嘗試用直線參數(shù)方程解決下列問題

例1：平面上動點(diǎn) 到動點(diǎn) 的距離比它到直線 的距離小1

（1）求動點(diǎn) 的軌跡 的方程

（2）過點(diǎn) 作直線與曲線 交于兩點(diǎn) ，與直線 交于點(diǎn) ，求 的最小值

解析：這里只對第②問進(jìn)行兩種方法的對比，由①得：

方法一：[常規(guī)解法]

方法二：參數(shù)方程

如圖，以 所在直線建立數(shù)軸， 為原點(diǎn)， 方向?yàn)檎较?，?shù)軸與 軸正方向夾角為 ，設(shè)數(shù)軸上的點(diǎn)參數(shù)為 ， 處參數(shù)為 ，聯(lián)立

三、小結(jié)

由以上的方法對比可以很明顯的看出，在解答一些相對較復(fù)雜的解析幾何問題時，運(yùn)用參數(shù)方程解題，不僅可以減少我們的計算量，還可以簡化我們的解題步驟，讓我們在做題時達(dá)到事半功倍的效果。

當(dāng)然，除了參數(shù)方程外，還有其他比如斜率問題，共切線問題，二次曲線系等就不一一列舉了。