劉曉曉 何華 張建

摘要 利用我國1993年1月至2017年10月CPI、GDP、M3的季度同比增長率數(shù)據(jù)，運(yùn)用解析法，選擇出最優(yōu)的三維Copula函數(shù)形式分析了CPI與GDP、M3之間的相關(guān)性以及尾部相關(guān)性特征。研究表明CPI與GDP、M3增長率的變化是一致的，即CPI與GDP、M3存在正向相關(guān)關(guān)系。

關(guān) 鍵 詞 三維Copula；CPI；GDP；M3；相關(guān)性

中圖分類號 F832 文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A

0 引言

CPI作為衡量通貨膨脹的重要指標(biāo)，反映居民消費(fèi)價格的變動情況，對通貨膨脹問題的研究是經(jīng)濟(jì)學(xué)界熱點(diǎn)問題。一般來講，物價全面、持續(xù)上漲就被認(rèn)為發(fā)生了通貨膨脹，對物價產(chǎn)生作用的因素主要有實(shí)際因素與貨幣因素兩個因素。

無論從經(jīng)濟(jì)學(xué)理論或從各個國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展的實(shí)踐來分析，通貨膨脹率與經(jīng)濟(jì)增長率之間均存在密切關(guān)系。從經(jīng)濟(jì)周期理論角度來看，兩者是判斷經(jīng)濟(jì)周期的重要指標(biāo)，將兩者結(jié)合進(jìn)行研究有助于更加全面、深刻地分析宏觀經(jīng)濟(jì)波動的問題。根據(jù)貨幣主義理論，導(dǎo)致物價水平和經(jīng)濟(jì)活動變動最根本的原因是貨幣供應(yīng)量變動。弗里德曼的通貨膨脹理論指出：通貨膨脹隨時隨地都是一種貨幣現(xiàn)象，通貨膨脹發(fā)生在貨幣供應(yīng)量增速超過產(chǎn)量增度的情況下。對通貨膨脹與貨幣供應(yīng)量關(guān)聯(lián)性的研究有利于了解通貨膨脹形成機(jī)制，對制定合理的經(jīng)濟(jì)政策以推動經(jīng)濟(jì)的發(fā)展具有重要意義?？紤]我國經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀況，對于實(shí)際因素，本文用GDP作為衡量經(jīng)濟(jì)發(fā)展程度的指標(biāo)。對于貨幣因素，廣義貨幣供應(yīng)量M3拓寬了貨幣的統(tǒng)計(jì)范疇，將股票、金融衍生品等流動性較高的金融資產(chǎn)納入調(diào)控的范圍，擴(kuò)展了已有的貨幣供應(yīng)層次，故本文用M3作為衡量貨幣政策松緊度的指標(biāo)。

目前，研究通貨膨脹等宏觀經(jīng)濟(jì)的文獻(xiàn)相對較多。周文與趙果慶[1]使用1996—2009年GDP、CPI及M2增長率的季度數(shù)據(jù)，建立了動力系統(tǒng)模型分析了經(jīng)濟(jì)增長與通貨膨脹的關(guān)系，得出兩者之間存在同向變動關(guān)系。李斯特[2]采用SVAR模型對通貨膨脹與貨幣供應(yīng)量之間的關(guān)系進(jìn)行研究，得出兩者之間存在長期均衡關(guān)系。宋建江與胡國運(yùn)[3]用圖示法與模型檢驗(yàn)，分析檢驗(yàn)了各層次的貨幣供應(yīng)量與通貨膨脹的相關(guān)性及因果關(guān)系，得出兩者存在較強(qiáng)相關(guān)性。陳朝旭[4]通過Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)及脈沖響應(yīng)分析對經(jīng)濟(jì)增長與通貨膨脹間的影響效應(yīng)檢驗(yàn)，得出兩者之間存在雙向Granger因果關(guān)系。王童與雷懷英[5]用二維Copula函數(shù)對CPI與GDP的季度同比增長率進(jìn)行研究，得出CPI與GDP之間存在正向相關(guān)關(guān)系。

對于通貨膨脹的研究多數(shù)文獻(xiàn)利用的是相關(guān)計(jì)量方法，然而，傳統(tǒng)的線性相關(guān)性檢驗(yàn)對非線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行度量時有一定的局限性，度量結(jié)果可能不準(zhǔn)確。Copula理論的提出為描述各個變量之間的相關(guān)性提供了新途徑。Copula作為各個變量邊緣分布間的連接函數(shù)，幾乎包含變量間所有的相關(guān)性信息，可用于描述變量間的非線性相關(guān)關(guān)系。Copula具有許多優(yōu)越性質(zhì)如：可構(gòu)造多種類型的多元分布，函數(shù)形式多樣化等。對于通貨膨脹的研究本文在二維Copula函數(shù)的基礎(chǔ)上，用三維Copula函數(shù)對CPI與GDP、M3之間的相關(guān)性進(jìn)行分析，從影響通貨膨脹最重要、最根本的角度出發(fā)，研究所得結(jié)論更容易轉(zhuǎn)化為切實(shí)可行的經(jīng)濟(jì)政策。

1 基本概念

1.1 阿基米德Coupula函數(shù)

定義1 設(shè)[φ]是[0，1→0，∞]上的嚴(yán)格、連續(xù)減函數(shù)，滿足[φ1=0]，[φ]的偽逆函數(shù)[φ-1：0，∞→0，1]，定義如下

[φ-1=φ-1t，0≤t≤φ00，φ0≤t≤∞]， （1）

則稱[Cu，v=φ-1φu+φv]為阿基米德Copula，[φt]稱其生成元[6]。

在Copula函數(shù)類中，因阿基米德Copula構(gòu)造簡單，且具有很多良好的性質(zhì)，因此得到廣泛應(yīng)用。阿基米德Copula函數(shù)族中Gumbel Copula，Clayton Copula，No.12 Copula因具有厚尾分布特征，在金融領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

1.1.1 Gumbel Copula

Gumbel Copula函數(shù)形式為[Cu，v，α=exp--lnuα+-lnvα1α]，其中[α]為參數(shù)，且[α∈1，∞）]，生成元為[φt=-lntα]。Gumbel Copula對變量間在分布上尾處的變化較為敏感，因此可用于描述具有上尾相關(guān)特征變量間的相關(guān)關(guān)系。

1.1.2 Clayton Copula

Clayton Copula函數(shù)形式為[Cu，v，α=maxu-α+v-α-1-1α，0]，其中[α]為參數(shù)，且[α∈-1，0?0，∞]，生成元為[φt=1αt-α-1]。Clayton Copula對變量間在分布下尾處的變化較為敏感，因此可用于描述具有下尾相關(guān)特征變量之間的相關(guān)關(guān)系。

1.1.3 No.12 Copula

No.12 Copula函數(shù)形式為[Cu，v，α=1+u-1-1α+v-1-1α1α-1]，其中[α]為參數(shù)，且[α∈1，∞]，生成元為[φt=1t-1α]。

1.2 尾部相關(guān)系數(shù)

尾部相關(guān)系數(shù)被廣泛應(yīng)用極值理論，常用于說明當(dāng)其中一個隨機(jī)變量為極值時，另外一個隨機(jī)變量也出現(xiàn)極值的概率[7]。尾部相關(guān)性對于研究金融資產(chǎn)的波動溢出極為重要。本文中考慮的尾部相關(guān)性是當(dāng)GDP，M3發(fā)生大幅度增加或者減少時，CPI也發(fā)生大幅度增加或者減少的概率。由Copula的定義和性質(zhì)，可以推出三維Copula函數(shù)的尾部相關(guān)性的表達(dá)式。

正尾部相關(guān)性：

[λup=P（Z>u|X>u，Y>u）=P（X>u，Y>u，Z>u）P（X>u，Y>u）=1-3u+C（u，u，α1）+C（u，u，α2）+C（u，u，α3）-C（u，u，u）1-2u+C（u，u，α1）]， （2）

式中：[u]為概率；[α1]為隨機(jī)變量[X，Y]對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)；[α2]為隨機(jī)變量[Y，Z]對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)；[α3]為隨機(jī)變量[X，Z]對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)。

負(fù)尾部相關(guān)性：

[λlo=P（Z>u|X

式中：[u]為概率；[α1]為Copula中隨機(jī)變量[X，Y]對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)。

2 Copula函數(shù)形式的選擇

目前Copula在實(shí)際應(yīng)用中一個重要的問題是函數(shù)形式的選取。不同形式的Copula函數(shù)可能導(dǎo)致不同的分析結(jié)果，選擇合理的Copula函數(shù)尤為重要。

2.1 Copula函數(shù)模型參數(shù)的估計(jì)

2.1.1 三維Copula分布函數(shù)的確定

命題1 設(shè)[U，V，W]是服從[0，1]均勻分布的隨機(jī)變量，且[U，V，W]具有阿基米德Copula函數(shù)[Cu，v，w]，[φt]為[Cu，v，w]的生成元，設(shè)[M=2φuφu+φv+φw]，[N=2φvφu+φv+φw]，[T=Cu，v，w]，則可驗(yàn)證[M，N，T]是相互獨(dú)立的，并且[M，N]均服從[0，1]均勻分布[6]。

由命題1的已知條件可得到隨機(jī)變量[M，N，T]聯(lián)合分布函數(shù)表達(dá)式，假設(shè)[H（m，n，t）]表示聯(lián)合分布函數(shù)，則[H（m，n，t）=mn0tφ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt]，又因隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的，且[M，N]均服從[0，1]均勻分布，故可得[FM（m）=m]，[FN（n）=n]，則[FT（t）=0tφ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt]。令[K（t）]為[C（u，v，w）]的分布函數(shù)，則[K（t）=0tφ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt]。多維阿基米德Copula分布函數(shù)的給出，為多維隨機(jī)變量間Copula模型的選擇提供了途徑。

2.1.2 三維Copula函數(shù)Kendall秩相關(guān)系數(shù)的確定

命題2 設(shè)[x1，y1，z1]和[x2，y2，z2]為具有聯(lián)合分布函數(shù)[H（x，y，z）]的兩個獨(dú)立向量，假設(shè)[x1，x2]的邊緣分布均為[F]，[y1，y2]的邊緣分布均為[G]，[z1，z2]的邊緣分布均為[W]，設(shè)[Cu，v，w]是與[H（x，y，z）]相對應(yīng)的阿基米德Copula函數(shù)，且[φt]為生成元，[Q]表示和諧概率與不和諧概率之差，考慮等概率抽樣，則

[Q=401t?φ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt-2301（φt，α1φ′t，α1+φt，α2φ′t，α2+φt，α2φ′t，α2）dt-1]。 （4）

證明：

[Q=P（X1X2，Y1>Y2，Z1>Z2）-13（P（X1>X2，Y1

[P（X1Y2，Z1Z2）+P（X1Y2，Z1>Z2）+P（X1>X2，Y1Z2）+] [P（X1>X2，Y1>Y2，Z1X2，Y1>Y2，Z1>Z2）-13（P（X1

[P（X1>X2，Y1>Y2）+P（Y1Y2，Z1>Z2）+P（X1X2，Z1>Z2））]。 （5）

首先

[P（X1

[R3C（F（x），G（y），W（z））dC（F（x），G（y），W（z））]， （6）

令[u=F（x），v=G（y），w=W（z）]，則

[P（X1

[P（X1

利用同樣方法可得

[P（X1>X2，Y1>Y2，Z1>Z2）=I3C（u，v，w）dC（u，v，w）]， （9）

[P（X1>X2，Y1>Y2）=I2C（u，v）dC（u，v）]。 （10）

故可得

[Q=4I3C（u，v，w）dC（u，v，w）-23（I2C（u，v）dC（u，v）+I2C（v，w）dC（v，w）+I2C（u，w）dC（u，w））=]

[4E（C（u，v，w））-23（E（C（u，v））+E（C（v，w））+E（C（u，w）））]。 （11）

由命題1可知[C（u，v，w）]的分布函數(shù)為

[K（t）=0tφ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt]。 （12）

由二維Copula函數(shù)的性質(zhì)可得[C（u，v）]的分布函數(shù)為

[KC（u，v）（t）=t-φ（t）φ′（t）]。 （13）

故得

[Q=401t?φ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt-2301（φt，α1φ′t，α1+φt，α2φ′t，α2+φt，α2φ′t，α2）dt-1]， （14）

式中：[α1]為隨機(jī)變量[u，v]對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)；[α2]為隨機(jī)變量[v，w]對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)；[α3]為隨機(jī)變量[u，w]對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)。

命題2中[Q]就是[X，Y，Z]的總體Kendall秩相關(guān)系數(shù)，即

[τ=401t?φ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt-2301（φt，α1φ′t，α1+φt，α2φ′t，α2+φt，α2φ′t，α2）dt-1]。 （15）

2.2 最優(yōu)Copula函數(shù)形式選擇

1）假定設(shè)[x1，y1，z1]和[x2，y2，z2]為具有聯(lián)合分布函數(shù)[H（x，y，z）]的2個獨(dú)立向量，對應(yīng)的Copula為[Cu，v，w]，則樣本[X，Y，Z]的Kendall秩相關(guān)系數(shù)為

[τX，Y，Z=τX，Y+τY，Z+τX，Z3]， （16）

式中，[τX，Y=2nn-11≤i≤j≤nsignxj-xiyj-yi]，類似可定義[τY，Z]與[τX，Z]，這里[sign]為符號函數(shù)[6]。

由命題2可得[X，Y，Z]的總體Kendall秩相關(guān)系數(shù)[τX，Y，Z]，利用樣本Kendall秩相關(guān)系數(shù)作為總體Kendall秩相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值，從而得到Copula函數(shù)中參數(shù)估計(jì)值[α]，即令[τX，Y，Z=τX，Y，Z]。

2）求出相應(yīng)Copula函數(shù)表達(dá)式，通過比較與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)的平方歐式距離，從而選擇最優(yōu)Copula函數(shù)。

3）為驗(yàn)證所得結(jié)果，對其進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。

3 實(shí)例分析

本文采用季度數(shù)據(jù)進(jìn)行度量，選取1993年1月到2017年10月CPI、GDP、M3的季度同比增長率數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)均來源于國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站及中經(jīng)網(wǎng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫。因CPI、GDP、M3分布的具體形式并不能確定，故本文首先用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)來估計(jì)三者的邊際分布，從而降低因?yàn)檫呺H分布的假設(shè)不恰當(dāng)所帶來的誤差。

第1步，利用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，將CPI、GDP、M3的季度增長率序列[（xt，yt，zt）]轉(zhuǎn)化為新的系列[（ut，vt，wt）]，其中[ut=Fx（xt），][vt=Fy（yt），][wt=Fz（zt），][t=1，…，T]分別為[X，Y，Z]的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，選擇Gumbel Copula，Clayton Copula，以及阿基米德族中的No.12 Copula [8]。

第2步，利用MATLAB編程計(jì)算出[τ]與[τ]，并以[τ]作為[τ]的非參數(shù)估計(jì)，得到表1中3種Copula函數(shù)中的參數(shù)[α]。

第3步，求出相應(yīng)的Copula函數(shù)的表達(dá)式，計(jì)算3種Copula函數(shù)的平方歐式距離，如表2所示。

由表2可得出，[C1]相對于[C2]、[C3]對數(shù)據(jù)的擬合效果較好，因此[C1]（Gumbel Copula）既是最優(yōu)的Copula函數(shù)。下面進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。

第4步，利用[Q-Q]散點(diǎn)圖思想，若某個Copula函數(shù)能夠較好的擬合觀測數(shù)據(jù)，則圖像應(yīng)更接近直線[y=x]。圖1至圖3分別為 C1（Gumbel Copula）、C2（Clayton Copula）、C3（No.12 Copula）與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的Q-Q圖。

由[Q-Q]圖可得出，[C1]（Gumbel Copula）擬合效果較好，與第3步所得出的結(jié)論一致。

4 結(jié)論

文中選出了最優(yōu)Copula函數(shù)以對CPI與GDP、M3的季度同比增長率數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性研究，最后用選出的最優(yōu)Copula函數(shù)Gumbel Copula函數(shù)分析尾部相關(guān)性特征，考慮當(dāng)GDP與M3超過[q0.925，][q0.95]，[q0.975，][q0.995]時，CPI超過對應(yīng)分位數(shù)的概率，即考慮當(dāng)[u=0.925，][u=0.95，u=0.975，u=0.995]時的正尾部相關(guān)性，由二維Copula函數(shù)可得CPI與GDP對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)[α1=2.608 7]，CPI與M3對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)[α2=1.477 4]，GDP與M3對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)[α3=1.667 7]。結(jié)果見表3。

由表3可知當(dāng)GDP與M3超過[q0.925，q0.95，q0.975，q0.995]時，CPI超過對應(yīng)分位數(shù)的概率分別為[0.842 0，] [0.845 2，][0.838 7， 0.833 3]。

本文基于三維Copula函數(shù)對CPI與GDP、M3的相關(guān)性進(jìn)行分析?？梢缘贸鯟PI與GDP、M3具有正相關(guān)關(guān)系。研究三者之間的相關(guān)關(guān)系對于提高人民的生活水平，維持物價穩(wěn)定實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)的增長，也為建設(shè)和諧社會的需要，起著積極的作用。國家應(yīng)采取相應(yīng)的措施穩(wěn)定CPI的走勢，真正的挑戰(zhàn)不是能夠控制通過通貨膨脹，而是將其控制在可以接受的水平，同時盡可能維持經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定增長。為了實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)要將貨幣政策、財(cái)政政策及行政手段相結(jié)合，控制貨幣供應(yīng)量的增長速度，同時，還應(yīng)該以財(cái)政政策與行政手段相配合，合理控制經(jīng)濟(jì)增長，穩(wěn)定物價。

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[責(zé)任編輯 田 豐]