劉客

【摘要】 ?方程的根與函數(shù)的零點是高中課程標準新增的內(nèi)容，表面上看，這一內(nèi)容的教學并不困難，有的學生認為也沒什么可學的，有的老師也在議論這節(jié)怎么教，怎么考…今天，兩堂新授課后，與部分學生進行了交流，都認為能聽懂，但是，通過作業(yè)檢測，效果明顯不好?？偟膩碚f，教學效果都不甚理想，暴露出了一些共同的問題，看來具有一定的代表性。下面就兩堂課共同存在的問題，談一談需要妥善處理其中的一些問題。

【關鍵詞】 ?方程 函數(shù) 教學反思

【中圖分類號】 ?G633.6 ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】 ?A ? 【文章編號】 ?1992-7711（2019）19-165-01

一、如何引導學生將復雜的問題簡單化，并學會從已有認知結構出發(fā)由特殊到一般地思考問題

教材設置函數(shù)的零點這一內(nèi)容的目的，就是為了體現(xiàn)函數(shù)的應用，為用二分法求方程的近似解奠定基礎。所以，教學一開始就應該從學生用已學方法不能求解的方程出發(fā)展開討論，然后引導學生體會其中的思想方法。例如，可以像前面一樣先提出：方程lnx+2x-6=0是否有實根？為什么？

二、怎樣突出數(shù)形結合的思想方法

數(shù)形結合的思想方法幾乎貫穿于“基本初等函數(shù)I”一章的始終，學生通過前面的學習，已基本形成數(shù)形結合的思想方法，所以本節(jié)教學應該以培養(yǎng)學生主動運用數(shù)形結合的思想方法去分析問題為目的。但是，在兩堂課中，教師卻沒有留給學生主動運用數(shù)形結合思想方法的空間。

在建立方程的根與函數(shù)的零點的關系時，函數(shù)圖象起到了關鍵的橋梁作用，充分體現(xiàn)了它與方程的根以及函數(shù)零點之間的數(shù)形結合的關系。在這種能夠體現(xiàn)思想方法的關鍵地方，教師要舍得花時間，要讓學生由方程自覺地聯(lián)想到相應的函數(shù)，主動地建立方程的根與函數(shù)圖象間的關系，提升數(shù)形結合思想方法的層次，增強函數(shù)應用的意識。

三、如何從直觀到抽象

教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)有零點的一種條件。如何讓學生從直觀自然地到抽象，有下面幾個教學難點需要處理：

1.如何引導學生用f（a）*f（b）<0來說明函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)有零點

教材是先從函數(shù)圖象出發(fā)，讓學生通過觀察函數(shù)f（x）的圖象在（a，b）內(nèi)是否與x軸有交點，來認識函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)是否有零點。這是一個直觀認識的過程，對學生來說并不困難。然后再讓學生認識，f（a）*f（b）<0則函數(shù)f（x）的圖象在（a，b）內(nèi)與x軸有交點。不過，這卻是一個由直觀到抽象的飛躍，對學生來說是有困難的。教學的關鍵在于，如何引導學生由函數(shù)f（x）的圖象穿過x軸在（a，b）的部分，聯(lián)想到f（a）*f（b）<0。為此，我們不妨可以通過下列問題來啟發(fā)學生：

（1）我們看到，當函數(shù)f（x）的圖象穿過x軸時，函數(shù)f（x）的圖象就與x軸產(chǎn)生了交點。如果不作出函數(shù)f（x）的圖象，你又如何判斷函數(shù)f（x）的圖象與x軸有交點？

（2）函數(shù)f（x）的圖象穿過x軸這是幾何現(xiàn)象，那么如何用代數(shù)形式來描述呢？

（3）函數(shù)f（x）的圖象穿過x軸其實就是穿過與x軸的交點周圍的部分，比如（a，b）。在區(qū)間（a，b）內(nèi)，如何用代數(shù)形式來描述呢？

（4）如果函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點為（c，0），那么函數(shù)f（x）分別在區(qū)間（a，c）和區(qū)間（c，b）上的值各有什么特點？這對我們用代數(shù)形式進行描述有何幫助？

（5）函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有f（a）f（b）<0，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上是否一定存在零點，請舉例說明。

函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有f（a）f（b）<0，且有零點，那么一定只有一個嗎？請舉例說明。

（7）函數(shù)值在區(qū)間（a，b）上連續(xù)且存在零點，則它在區(qū)間（a，b）端點的函數(shù)值一定有f（a）f（b）<0嗎？

通過這些問題的解決，就能獲得函數(shù)零點存在條件：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點。即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c就是方程f（c）=0的根。還要明確定理只能判定零點的存在性，不能判斷零點的個數(shù)。

2.如何引導學生判斷函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)的零點個數(shù)

要判斷函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)的零點個數(shù)，可先觀察函數(shù)f（x）的圖象在（a，b）內(nèi)與x軸有幾個交點，再進行證明。這同樣是一個從直觀到抽象的過程，教學需要處理好下列兩個問題：

（1）如何引導學生說明函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)只有一個零點

當觀察到函數(shù)f（x）的圖象在（a，b）內(nèi)與x軸的交點個數(shù)后，可以在（a，b）內(nèi)分別選取每個交點周圍的一個區(qū)間，然后說明函數(shù)分別在各個區(qū)間只有一個零點。這樣，就將判斷函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)的零點個數(shù)轉化為判斷函數(shù)在各個區(qū)間內(nèi)分別只有一個零點。

（2）要證明函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)只有一個零點需要一個循序漸進的過程

證明函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)只有一個零點，是一個從圖象的直觀到抽象的代數(shù)證明的理性思維過程。從學生現(xiàn)有的知識積累來看，目前教學應立足從圖象直觀來認識，對于易于用函數(shù)單調性定義證明函數(shù)單調性的函數(shù)，可要求學生進行代數(shù)證明。待學生學習了函數(shù)的導數(shù)之后，再統(tǒng)一要求學生對所有的函數(shù)都進行代數(shù)證明。

方程的根與函數(shù)的零點是高中課程標準新增的內(nèi)容，第一次教學就要取得成功的確不易?？磥恚襁@些中學新增內(nèi)容的教學，需要一個不斷實踐以及實踐后的反思的過程，在實踐與反思的過程中，不僅要妥善解決上述問題，還要不斷地發(fā)現(xiàn)和解決新的問題，這樣，教學效果才會逐步得到改善。