史承灼 魏大付

摘要：理解數(shù)學(xué)，有助于整體把握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確確定教學(xué)目標(biāo);理解學(xué)生，才能關(guān)注學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，選擇合適的教學(xué)方法;理解技術(shù)，掌握并運(yùn)用信息技術(shù)輔助教學(xué)，為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)插翅添翼;理解教學(xué)，才能科學(xué)合理地處理怎樣教和為什么這樣教，有助于處理好教師的教與學(xué)生的學(xué)的統(tǒng)一，從而使學(xué)生獲得最大的學(xué)習(xí)效益?！袄斫鈹?shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)”共同構(gòu)成了理解數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，使學(xué)生真正可以獲得良好的數(shù)學(xué)教育。

關(guān)鍵詞：理解數(shù)學(xué)?理解學(xué)生?理解技術(shù)?理解教學(xué)

章建躍先生早在2010年“第五屆全國(guó)高中數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)”的大會(huì)報(bào)告中，就提出了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的“三個(gè)理解”——理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。2017年4月的“以‘核心素養(yǎng)為綱的數(shù)學(xué)教學(xué)改革’全國(guó)初中數(shù)學(xué)教學(xué)研討會(huì)”上，章建躍先生在報(bào)告《核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革》中，將其發(fā)展為“四個(gè)理解”——理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)。“四個(gè)理解”是基于“互聯(lián)網(wǎng)+”新時(shí)代下對(duì)“三個(gè)理解”的豐富和發(fā)展，是數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的基礎(chǔ)，是在課堂教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。本文以工作室成員魏大付老師執(zhí)教的滬科版義務(wù)教育實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)，第21章第5節(jié)“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)”為例，談?wù)勅绾污`行“四個(gè)理解”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、理解數(shù)學(xué)，整體把握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

理解數(shù)學(xué)是備好課的前提，備好課是上好課的前提，而備好課的條件之一是理解教材。理解數(shù)學(xué)，就是要準(zhǔn)確把握知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生的背景，在教材中的地位和前后聯(lián)系，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的重要作用，從整體上把握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法及這些數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)習(xí)其他知識(shí)時(shí)能否類(lèi)比、推廣等。理解數(shù)學(xué)，不僅要“知其然”，還要“知其所以然”，作為教師更要“知何由以知其所以然”。否則，以師昏昏，又怎能使學(xué)生昭昭呢？

函數(shù)是揭示運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)概念，是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型?！胺幢壤瘮?shù)的圖像和性質(zhì)”是在平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、二次函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究的內(nèi)容，教科書(shū)首先給出三個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：某村有耕地200 km2，人口數(shù)量x逐年發(fā)生變化，該村人均耕地面積y與人口數(shù)量x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

問(wèn)題2：某市距省城248 km，汽車(chē)行駛?cè)趟钑r(shí)間t與平均速度v之間的函數(shù)關(guān)系？

問(wèn)題3：在一個(gè)電路中，當(dāng)電壓U一定時(shí)，通過(guò)電路的電流I的大小與該電路的電阻R之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

顯然，這三個(gè)問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系分別是：y=200x，t=248v，I=UR，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)，從而得到反比例函數(shù)的概念：形如y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫作反比例函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍;接著研究反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì);然后是利用反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。這一過(guò)程充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的價(jià)值和意義。在研究反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)時(shí)，要體現(xiàn)用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖像的一般規(guī)律：在自變量x的取值范圍內(nèi)給出x一些具體的數(shù)值，根據(jù)x、y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到相應(yīng)的函數(shù)值y，在坐標(biāo)系中描出這些以（x，y）為坐標(biāo)的點(diǎn)，再將這一系列的點(diǎn)依次連接起來(lái)，得到函數(shù)的圖像。其間蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化、模型等重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)還滲透抽象、類(lèi)比、歸納等數(shù)學(xué)方法，充分揭示和利用這些思想方法是領(lǐng)會(huì)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵。

通過(guò)對(duì)反比例函數(shù)及其圖像的分析和研究，明確其性質(zhì)，其中的核心是反比例函數(shù)圖像的特征，反比例函數(shù)的特性，以及它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。首先用列表、描點(diǎn)的方式，畫(huà)出圖像;其次根據(jù)圖像進(jìn)行觀察、分析、歸納，從不同的角度（列表法、解析法和圖像法）進(jìn)行探究和概括，得出反比例函數(shù)的性質(zhì);然后辨認(rèn)和識(shí)別反比例函數(shù)特性與其圖像特征之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)將反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)融入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中。

反比例函數(shù)作為一種基本的初等函數(shù)，研究一次函數(shù)、二次函數(shù)所運(yùn)用的思想方法（從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等）在這里也都是適用的。研究反比例函數(shù)，能進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)函數(shù)一般規(guī)律和方法的學(xué)習(xí)。學(xué)生理解和掌握這種研究模式和學(xué)習(xí)方法，對(duì)于明確學(xué)習(xí)目的，學(xué)習(xí)后續(xù)相關(guān)知識(shí)，以及建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)大有裨益。

二、理解學(xué)生，關(guān)注思維最近發(fā)展區(qū)

備好課、上好課的另外一個(gè)重要前提是理解學(xué)生，也就是說(shuō)，好的教學(xué)必須建立在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)、能力基礎(chǔ)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。要想使學(xué)生掌握新的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的能力，我們應(yīng)借助學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備，幫助學(xué)生建立新知識(shí)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相應(yīng)知識(shí)之間的聯(lián)系。

在學(xué)習(xí)函數(shù)的初始階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖像的步驟——列表、描點(diǎn)、連線，但學(xué)生對(duì)每一步要求的理解可能并不深刻。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中可以從分析反比例函數(shù)表達(dá)式入手，引導(dǎo)學(xué)生先分析“數(shù)對(duì)（x，y）”和“解析式y(tǒng)=kx（k≠0）”中x、y的關(guān)系，再過(guò)渡到對(duì)“形”（圖像）的認(rèn)識(shí)。我們可利用幾何畫(huà)板畫(huà)出某一具體反比例函數(shù)如y=6x的圖像，并利用其動(dòng)態(tài)演示功能，形象地展示當(dāng)自變量取值變化時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化規(guī)律。學(xué)生在直觀感知的同時(shí)，經(jīng)歷由特殊到一般、由具體到抽象的過(guò)程，加深了從圖像特征歸納得出函數(shù)特性的認(rèn)識(shí)。整個(gè)過(guò)程學(xué)生始終處于一種自然生成的狀態(tài)，遵從于一般的認(rèn)知規(guī)律，符合學(xué)生思考問(wèn)題的習(xí)慣。教師從學(xué)生的角度思考問(wèn)題，有助于教師對(duì)課堂教學(xué)預(yù)設(shè)與生成的把握。

三、理解技術(shù)，幾何畫(huà)板輔助教學(xué)

幾何畫(huà)板為數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中體現(xiàn)，創(chuàng)造了一條便捷的通道，是目前階段實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的有效的輔助教學(xué)工具，它可以畫(huà)出學(xué)生難以畫(huà)出的圖形，便于從變化的圖形中尋求問(wèn)題解決的方法和依據(jù)，認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)。

對(duì)于函數(shù)及其圖像，學(xué)生理解起來(lái)是困難的，特別是反比例函數(shù)的圖像的特點(diǎn)，即雙曲線與兩條坐標(biāo)軸無(wú)限接近，但永不相交。利用幾何畫(huà)板可以有效突破這一難點(diǎn)，以反比例函數(shù)y=6x為例：建立坐標(biāo)系，在x軸上取點(diǎn)A，度量其橫坐標(biāo)，利用“度量”菜單中的“計(jì)算”功能計(jì)算出6x的值，在“度量”菜單下的“繪制點(diǎn)”繪出點(diǎn)Bx，6x，依次選中A、B兩點(diǎn)，選擇“構(gòu)造”菜單中的“軌跡”，完成雙曲線的繪制。結(jié)合圖像和繪制過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x>0時(shí)，x的值越大，6x的值越小但永不為0。隨著x的增大，點(diǎn)x，6x向右運(yùn)動(dòng)，圖像與x軸的距離越來(lái)越小但永不相交。雙曲線與y軸的關(guān)系亦然。

傳統(tǒng)的教學(xué)方法中，用描點(diǎn)法畫(huà)反比例函數(shù)圖像時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)如下問(wèn)題：取點(diǎn)太少或缺乏一般性性，畫(huà)出的圖形不能反映全貌;描點(diǎn)不準(zhǔn)確或不能用平滑曲線連接，致使圖形不正確而不能反映其本質(zhì)特征;很難想象和理解函數(shù)圖像上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)和無(wú)限延伸的變化趨勢(shì)等。利用幾何畫(huà)板畫(huà)反比例函數(shù)圖像，可以讓學(xué)生清晰地看到點(diǎn)動(dòng)成線的形成過(guò)程， 能夠化抽象為具體， 化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，便于學(xué)生觀察、比較、分析，起到啟迪思維、高效獲取知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、形成數(shù)學(xué)能力的作用。

四、理解教學(xué)，問(wèn)題引領(lǐng)系統(tǒng)思維

教師理解了課堂教學(xué)中的載體“數(shù)學(xué)”，理解了教學(xué)對(duì)象“學(xué)生”，也理解輔助教學(xué)的信息技術(shù)，然后就是理解教學(xué)，即理解“怎樣教”以及“為什么這樣教”，才能使課堂教學(xué)效益最大化。在考慮“反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與相關(guān)內(nèi)容的展開(kāi)時(shí)，我們要先考慮教學(xué)問(wèn)題設(shè)置的“梯度”及設(shè)計(jì)的科學(xué)性，同時(shí)，特別關(guān)注學(xué)生的實(shí)際情況。根據(jù)美國(guó)教育家杜威的教學(xué)思想，依據(jù)問(wèn)題引導(dǎo)的原則，本節(jié)課可以按如下環(huán)節(jié)設(shè)置問(wèn)題展開(kāi)教學(xué)。

環(huán)節(jié)1：回顧正比例函數(shù)相關(guān)內(nèi)容和研究方法。

環(huán)節(jié)2：根據(jù)實(shí)際情境，分析所列的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)它們共同點(diǎn)，歸納反比例函數(shù)的概念。

環(huán)節(jié)3：畫(huà)反比例函數(shù)y=6x的圖像，并觀察圖像有哪些特征。

環(huán)節(jié)4：探究所有的反比例函數(shù)的圖像都具有的一般特征。

環(huán)節(jié)5：探究反比例函數(shù)y=6x與y=-6x的圖像，它們有什么共同特征？有什么不同點(diǎn)？是由什么決定的？

環(huán)節(jié)6：探究對(duì)于y=kx（k≠0），當(dāng)k取不同值時(shí)，前面環(huán)節(jié)得到的結(jié)論是否適用。

環(huán)節(jié)7：總結(jié)反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像特征和性質(zhì)。

環(huán)節(jié)8：歸納研究函數(shù)的一般策略。

這樣的設(shè)計(jì)，層層遞進(jìn)，自然順暢，使課堂真正回歸數(shù)學(xué)知識(shí)生成、學(xué)生思維發(fā)生的“原生態(tài)”?；久}絡(luò)是：環(huán)節(jié)1復(fù)習(xí)正比例函數(shù)的內(nèi)容以及研究方法;環(huán)節(jié)2通過(guò)實(shí)際情境引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)關(guān)系y=200x，t=248v，I=UR的共同點(diǎn)，類(lèi)比歸納反比例函數(shù)概念;環(huán)節(jié)3以反比例函數(shù)y=6x為例，讓學(xué)生經(jīng)歷“列表、描點(diǎn)、連線”的過(guò)程，畫(huà)出該函數(shù)的圖像，為“反比例函數(shù)的圖像是什么樣的”積累認(rèn)知素材，思考、概括反比例函數(shù)的圖像“特征”;環(huán)節(jié)4進(jìn)一步提出假設(shè)：是不是所有的反比例函數(shù)的圖像都具有這樣的“特征”？將問(wèn)題拓廣;環(huán)節(jié)5以討論反比例函數(shù)y=-6x為例，關(guān)注反比例系數(shù)“k”的作用，獲得“特殊的”反比例函數(shù)的“特性”;環(huán)節(jié)6推廣至一般情況，探討k取不同的值的情形，引導(dǎo)學(xué)生歸納“變化中的規(guī)律性”，分析結(jié)論的合理因素;環(huán)節(jié)7使學(xué)生歸納反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖像的特征和性質(zhì);環(huán)節(jié)8讓學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)的收獲，使學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)有一個(gè)整體、全面的認(rèn)識(shí)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

教師理解數(shù)學(xué)，有助于準(zhǔn)確確定教學(xué)目標(biāo);教師理解學(xué)生，有助于選擇合適的教學(xué)方法;教師理解技術(shù)，有助于掌握并運(yùn)用信息技術(shù)輔助教學(xué);教師理解教學(xué)，有助于處理好教師的教與學(xué)生的學(xué)的統(tǒng)一。“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)”共同構(gòu)成了理解數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，使學(xué)生真正可以獲得良好的數(shù)學(xué)教育。

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