孔德鵬

摘要：對《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像》一課，從課題引入背景、知識發(fā)生過程等角度解讀教材，把握整體結(jié)構(gòu)。由此，進行教學思考，體悟育人價值：教學生數(shù)學地發(fā)現(xiàn)和提出問題;滲透“控制變量，分解問題”“從熟悉到陌生、從簡單到復雜”、類比、數(shù)形結(jié)合、歸納、演繹等數(shù)學思想和方法，培養(yǎng)理性思維和精神。

關鍵詞：三角函數(shù)的圖像教材解讀數(shù)學思想方法

近日，南京市高中數(shù)學渠東劍名師工作室“深度研課”活動在南京市第二十七高級中學舉行，課題是蘇教版高中數(shù)學必修4中的“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”，采用同課異構(gòu)的形式。筆者參與其中，認真聽課、評課，與專家交流，加深了對這節(jié)課教材編寫意圖的理解，提升了對這節(jié)課教學目標定位的認識。

一、教材解讀：把握整體結(jié)構(gòu)

數(shù)學知識總是處于一定的結(jié)構(gòu)關聯(lián)中的，具有“前后一致、邏輯連貫”的特點。研讀教材，要厘清課時內(nèi)容在所屬知識體系中所處的地位，把握課題引入和知識發(fā)生的過程;要靈活處理數(shù)學知識結(jié)構(gòu)與學生認知結(jié)構(gòu)的關系，實現(xiàn)二者的有機結(jié)合。

（一）關注課題引入背景

這節(jié)課教材從物理學中的簡諧振動模型引入，給出了位移和時間的函數(shù)關系s=Asin（ωt+φ）（A>0，ω>0），并指明解析式中A、ω、φ的實際意義。這樣的安排便于學生體會到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）具有現(xiàn)實意義和研究價值，在物理學、工程技術(shù)中具有廣泛的應用;并意識到它具有周期性，與函數(shù)y=sinx有類似的性質(zhì)和密切的聯(lián)系，從而產(chǎn)生學習傾向。

接下來，教材提出了本節(jié)課的核心問題：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像有什么關系？要求學生進行邏輯思辨，尋找研究的突破口。事實上，函數(shù)y=sinx是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）“大家族”中的一員，它們是局部與整體的關系。從特例出發(fā)，從原有認知出發(fā)，這也滲透了從特殊到一般、從已知到未知的歸納和轉(zhuǎn)化的思維過程;反過來，也體現(xiàn)了演繹和轉(zhuǎn)化的運用，即在函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中通過賦值A=1、ω=1、φ=0得到函數(shù)y=sinx。

這樣的課題引入注重知識背景的挖掘，貼近學習的實際需求，有利于研究的開展。但是，教材對于物理模型的處理過于簡單，以直接告知的方式會讓人感覺不著邊際：函數(shù)解析式s=Asin（ωt+φ）是怎么來的？如果留下“漏洞”繼續(xù)學習，顯然不利于學生體會學習的必要性和思維的嚴謹性。所以，要補上這個“漏洞”，加入數(shù)學建模的過程，顯化函數(shù)模型的獲得。可以用生活中的摩天輪或物理學中的單擺、潮汐現(xiàn)象等引入課題。如果兼顧學情，最好以摩天輪為載本引入課題，因為學生對單位圓更熟悉。這有利于降低數(shù)學建模的難度，給學生成就感，為本節(jié)課積累平和正向的情緒體驗。

（二）理清知識發(fā)生過程

提出本節(jié)課的核心問題后，教材用問題分解的策略研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像與函數(shù)y=sinx圖像的關系：控制其中兩個參數(shù)，研究剩下一個參數(shù)對函數(shù)圖像的影響;再控制其中一個參數(shù)（主要是A），研究剩下兩個參數(shù)（主要是ω、φ）對函數(shù)圖像的影響。具體地，采用由特殊到一般的策略：

（1）作出y=sin（x+1）和y=sinx的圖像，總結(jié)圖像的關系;作出y=sin（x-1）和y=sinx的圖像，總結(jié)圖像的關系。在此基礎上，歸納一般情況。

（2）作出y=3sinx和y=sinx的圖像，總結(jié)圖像的關系;作出y=13sinx和y=sinx的圖像，總結(jié)圖像的關系。在此基礎上，歸納一般情況。

（3）作出y=sin 2x和y=sinx的圖像，總結(jié)圖像的關系;作出y=sin12x和y=sinx的圖像，總結(jié)圖像的關系。在此基礎上，歸納一般情況。

（4）作出y=sin（2x+1）和y=sin 2x的圖像，總結(jié)圖像的關系;作出y=sin（2x-1）和y=sin 2x的圖像，總結(jié)圖像的關系。在此基礎上，歸納一般情況。

教材分別就單個參數(shù)A、ω、φ對函數(shù)圖像的影響展開探究，體現(xiàn)的正是將復雜的問題分解為幾個簡單的問題分別研究，小步驟、低難度螺旋上升的策略。那么，學生能否自然地想到這個策略呢？有什么已有的知識或經(jīng)驗可以借鑒嗎？事實上，學生在初中就有過這樣的經(jīng)驗：研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，用的就是分解策略：先令b=c=0，只研究參數(shù)a對函數(shù)圖像的影響;再控制a，通過配方研究參數(shù)b、c對函數(shù)圖像的影響。教學中，要注意引導學生前后聯(lián)系，提出問題、解決問題。

教材分別就單個參數(shù)A、ω、φ對函數(shù)圖像的影響展開探究時，是按照φ→A→ω的順序進行的，并沒有討論為什么。實際上，這樣的安排有一定的考量：先研究參數(shù)φ對函數(shù)圖像的影響符合學生已有的認知，因為學生在必修1中已經(jīng)學習了函數(shù)圖像的平移變換;先研究參數(shù)A對函數(shù)圖像的影響再研究參數(shù)ω對函數(shù)圖像的影響符合學生認知發(fā)展的規(guī)律，因為A對縱坐標是正向影響，容易理解，ω對橫坐標是反向影響，較難理解?？偟膩砜?，這樣的安排符合從熟悉到陌生、從簡單到復雜、從角落到中心的順序。如果學生基礎較好，也可以放手讓學生討論這個問題，自主擬訂方案，實施方案，并嘗試評價方案的優(yōu)劣。

二、教學思考：體悟育人價值

知識產(chǎn)生于思維（基于問題），運用于思維（解決問題）。數(shù)學知識只是載體，數(shù)學思維才是更為本質(zhì)、更有價值、更能發(fā)展學生能力（獲得知識、解決問題的探究能力）的東西。解讀教材時，我們著重分析了本節(jié)課的課題引入背景和知識發(fā)生過程。思考教學時，我們應該著重分析本節(jié)課的思維內(nèi)涵，提煉本節(jié)課的數(shù)學思想和方法，從而體悟這節(jié)課的育人價值，抓住這節(jié)課的育人契機。

（一）教學生數(shù)學地發(fā)現(xiàn)和提出問題

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“《2017版課標》”）提出“四能”的總目標，要提高學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。在教學中，教師要特別重視讓學生學會數(shù)學地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，形成問題意識。而數(shù)學地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題需要學生“用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界”，這離不開教學情境的創(chuàng)設和問題的引導。

本節(jié)課中，教師可以選取摩天輪的典型例子——倫敦眼，讓學生感受數(shù)學之美，然后設置問題：如圖1，摩天輪半徑為A（單位長度），逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動ω弧度，如果從摩天輪上的點P位于圖中的點P1處開始計算時間，∠P0OP1=φ，請在如圖所示的坐標系中，確定時刻t min時點P的縱坐標y。學生經(jīng)過思考，可以獲得結(jié)果：y=Asin（ωt+φ）。這樣也讓學生經(jīng)歷了實際問題的數(shù)學建模過程，感受了函數(shù)模型的價值與意義。

接下來，教師要利用“啟發(fā)性提示語”啟發(fā)學生思考：（1）獲得函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ）后，接下來研究什么？——學生回答：研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)。（2）如何研究？——學生回答：從特例開始，從簡單的開始。（3）你們最熟悉什么函數(shù)？——學生回答：正弦函數(shù)y=sinx。這樣就引導學生將整個研究思路自然地過渡，提出了本節(jié)課的核心問題：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像有什么關系？

（二）滲透數(shù)學思想和方法，培養(yǎng)理性思維和精神

分析和解決數(shù)學問題的過程中，處處滲透著數(shù)學思想和方法，能培養(yǎng)理性思維和精神。這些是數(shù)學育人價值的集中體現(xiàn)，《2017版課標》將它們提煉為六大數(shù)學核心素養(yǎng)。本節(jié)課除了在課題引入環(huán)節(jié)滲透數(shù)學抽象、數(shù)學建模思想（素養(yǎng)）外，還要注意在知識發(fā)生環(huán)節(jié)滲透以下數(shù)學思想和方法：

首先，這節(jié)課要教學生控制變量，分解問題的策略。對于本節(jié)課的核心問題，要提問學生怎么研究，是否有過類似的經(jīng)歷，引導學生回顧反思，發(fā)現(xiàn)初中研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像的策略：控制變量，分解問題。由此得到本節(jié)課研究的思路：分別研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）解析式中三個參數(shù)A、ω、φ對圖像的影響。這里，要放慢過程，讓學生體會到這是研究多變量（參數(shù)）問題的一般思路，具有方法論的意義。這是理性思維的體現(xiàn)。

其次，這節(jié)課要突出從熟悉到陌生、從簡單到復雜的策略。對于研究參數(shù)的順序問題，可引導學生展開討論，設計方案并進行比較，從而認識到φ的問題比較熟悉，應該最先研究;ω的問題比較困難，應該最后研究。這是理性精神的體現(xiàn)。

再次，這節(jié)課要突出類比思想。分別研究三個參數(shù)對函數(shù)圖像的影響，不管按照什么順序，如果一個一個地展開詳細研究，那么課堂容量大，重點不突出。其實，這三個參數(shù)的研究中，φ是基礎，ω是關鍵。教師可以帶領學生一起解決φ的問題，然后讓學生類比研究方法，經(jīng)歷相似過程，研究剩下的參數(shù);在學生分組合作、集中匯報的基礎上，教師可以再強調(diào)一下ω的問題，然后讓學生研究ω、φ合起來的問題。這是邏輯推理素養(yǎng)的體現(xiàn)。

接著，這節(jié)課要體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想：最終規(guī)律的獲得（核心問題的解決）要從形入手，以數(shù)析形，即畫出函數(shù)圖像，分析變換關系。這里，需要指出的是，教材沒有說明畫出函數(shù)圖像的方法，只呈現(xiàn)了函數(shù)圖像的結(jié)果，讓學生歸納概括，獲得規(guī)律，這是符合課標要求“能借助函數(shù)圖像理解參數(shù)A、ω、φ的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖像的影響”的。但是，很多教師會在課上要求學生作出函數(shù)圖像，而很多學生會直接采用“五點法”。這樣做，一方面浪費了寶貴的時間，不利于這節(jié)課教學重難點，即尋找圖像之間關系的凸顯與突破;另一方面有循環(huán)論證的嫌疑，即在不清楚y=Asin（ωx+φ）圖像的大致樣子（周期性和單調(diào)性等）的情況下，使用了“五點法”。實際上，這里應該引入幾何畫板、圖形計算器等信息技術(shù)手段畫出函數(shù)圖像，從而直觀地得到平移變換、伸縮變換的結(jié)論。這是直觀想象素養(yǎng)的體現(xiàn)。

最后，這節(jié)課還要注重歸納、演繹等邏輯推理的運用。研究每一個參數(shù)時，畫出多組具體圖像、得到特殊結(jié)論后，要變數(shù)字為字母進行抽象，歸納一般情況的規(guī)律。在這個過程中，無論是對特殊情況，還是對一般情況，都要多問學生、多讓學生思考，引導學生注重邏輯推理，從圖形的直觀上回到代數(shù)的推理上。比如，y=sinωx的圖像為什么就是將y=sinx圖像上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω得到的？設y=sinx圖像上任一點的坐標為（x0，y0），要使y=sinωx圖像上點的縱坐標是y0，必須有ωx=x0，所以這個點的坐標就是1ωx0，y0，和原來的坐標相比，橫坐標變成了1ω。這是嚴謹?shù)耐评磉^程，也是邏輯推理素養(yǎng)的體現(xiàn)。

最后，需要指出的是，上述育人價值除了在課題引入和知識發(fā)生環(huán)節(jié)凸顯，還應該在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)引導學生回顧、反思、總結(jié)、提煉。比如，教師啟發(fā)學生：這節(jié)課臨近結(jié)束，我們還要干什么？如何總結(jié)這節(jié)課？學習了什么？是怎樣開展研究的？你提出的問題解決了嗎？你還能研究什么問題？這樣，才能讓學生有更深切的體會和領悟。

參考文獻：

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