激之洸茫

有些時候，那些僅從理論角度看上去有意思的數(shù)學公式可以揭示與某些應用問題的意想不到的聯(lián)系，

以三角學中“和差化積”公式為例

這個公式在解釋“差拍”這個聲學現(xiàn)象時會有直接的應用，讓我們看看這到底是怎么一回事，

差拍

當你同時彈奏兩個頻率很接近的音時，合成出來的音聽上去時有時無，好像某人在以一個固定的頻率調大和調小音量，這種現(xiàn)象就叫做差拍.三角函數(shù)公式會幫助我們解釋它.

f1（t） =sin（ω1t）

f2 （t）=sir（ω2t）

彈奏的這兩個音可以用具有頻率ω1，ω2的兩個三角函數(shù)表示（準確地說這兩個是角頻率，但簡單起見，在這里就把它們稱為頻率）.

作為一個非常好的近似，我們可以認為聲學現(xiàn)象是線性的.如此一來，同時彈奏兩個音符產生的聲音就等于這兩個單音的疊加.

S（t）=sin（ω1t）+sin（ω2t）

借助和差化積公式，我們可以將這個“聲音”函數(shù)表示為

如果這兩個頻率ω1，ω2很接近，我們可以認為ω（ω1，ω2的平均值）和這兩個頻率也是很接近的.同時δ（ω1，ω2的差值的一半）在與ω相比時是一個非常小的量.

當δ遠遠小于ω時，我們可以認為它是一個對音符sin（ωt）的周期性放縮，放縮倍數(shù)為A（t） =2cos（δt）.

S （t） =A （t）sin（ωt）

我們可以看出，A（t）扮演了一個周期性調節(jié)聲音sin（ωt）的音量的角色.兩個初始頻率越接近，那么差拍頻率δ就越慢（譯者注：δ越小，周期就會越大）.

在圖2中，你可以看到一個例子，上圖是兩個函數(shù)f1和f2，下圖是它們合成后的函數(shù)S.

樂器校音

差拍現(xiàn)象可以用于為樂器校音，讓我們看看這是怎么進行的.

假設你現(xiàn)在需要借助一個音叉來為吉他校音，如果吉他的弦被調到與音叉的音相近的地方時，同時彈響它們就會產生差拍.通常地說，要通過提高或降低弦的張力來完美校音是很難的.通過反復試錯則比較容易.

我們假設你試圖提高弦的張力（也就是提高音的頻率），你撥動了這根弦并敲擊了音叉，于是聽到差拍的頻率增加了.這就說明提高弦的張力這法子是走反方向了.此時你應該慢慢減小弦的張力，直到差拍頻率小到幾乎不會引起注意.現(xiàn)在恭喜你，你的吉他弦與音叉產生的是同一個音（對于實際演奏而言，已經足夠了）.

剩下的5根弦呢，過程是一樣的，只不過你借助的不再是音叉而是你所調好的那根弦的其他音.（譯者注：吉他不同弦上可能會有同一個音，以調好的弦上的音為基準，找它在另一弦同樣的音，進而校準這根弦）

當然，你可以借助電腦程序為樂器調音.但假設你現(xiàn)在在海灘或者路邊上演奏吉他，周圍是你的一群粉絲，而你正好沒有電腦、手機沒電.你最好知道怎么用傳統(tǒng)的方法校準吉他，要不然你會瞬間掉粉的！