龐福振, 彭德煒, 李海超, 田宏業(yè), 單衍賀

(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

柱殼結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶、土建、機(jī)械等工程領(lǐng)域，在其實(shí)際工程應(yīng)用中將不可避免受外界激擾力作用，因此開展柱殼結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫振動特性研究具有重要意義。在此方面，Rayleigh[1]對光圓柱殼的拉伸振動和彎曲振動進(jìn)行了研究，給出了無限長假設(shè)圓柱殼在真空環(huán)境中的自由振動固有頻率計算公式。Christoforou等[2]利用解析法分析了兩端簡支圓柱殼在徑向沖擊載荷的振動響應(yīng)問題。Huang等[3]給出了基于Kirchhoff-Love 假設(shè)的有限長兩端簡支圓柱殼體受橫向沖擊瞬態(tài)響應(yīng)的一個封閉解析解。Leissa[4]采用殼體理論對圓柱殼進(jìn)行了系統(tǒng)深入分析，為解析法求解圓柱殼振動問題奠定了基礎(chǔ)。Qu等[5]提出一種新的方法，即基于區(qū)域分解的方法，研究了力激勵下變截面圓柱殼自由振動及力激勵下響應(yīng)特性。Pang等[6-7]依據(jù)Flügge薄殼理論建立振動分析模型，采用Jacobi-Ritz法分析了均厚度以及變厚度圓柱殼、球殼等組合殼體結(jié)構(gòu)的自由及受迫振動特性。

在現(xiàn)有柱殼結(jié)構(gòu)振動分析中，大多是在經(jīng)典邊界條件下開展的。Yu[8]討論了簡支和固支邊界條件下有限長圓柱殼的振動特性。駱東平[9]采用迭代法求解Flügge方程，以兩端固定、兩端簡支、一端固定另一端自由和兩端自由四種常見的邊界條件為基礎(chǔ)，考察了邊界條件變化對振動頻率的影響，并通過放松或增加某一方向上的約束，討論了不同方向約束的單獨(dú)影響。Caresta等[10]研究了低頻下兩端簡支圓柱殼的自由振動并重點(diǎn)討論了呼吸模態(tài)即n=0的特性，文中列出了固有頻率下圓柱殼的振型，并討論了三個級別波不同特性及其截止頻率。王宇等[11]基于Love殼體理論對固支-自由約束條件下受徑向載荷的薄壁圓柱殼構(gòu)件開展受迫振動響應(yīng)特征分析。汪志強(qiáng)等[12]采用Flügge經(jīng)典薄殼理論和波傳播方法討論了正交各向異性圓柱殼的自由振動問題，且所提出方法可考慮正交各向異性圓柱殼在復(fù)雜和受外力的情況。郭文杰等[13]采用鏡像原理和Graf加法定理得到流體速度勢解析表達(dá)式，結(jié)合能量泛函變分方法推導(dǎo)出計及自由液面影響的殼-液耦合振動方程，求得圓柱殼固有頻率，為圓柱殼結(jié)構(gòu)流固耦合振動分析提供了新思路。龐福振等[14]基于Flügge殼體振動理論，將改進(jìn)精細(xì)傳遞矩陣法應(yīng)用于水下加筋柱殼聲輻射問題，分析了經(jīng)典邊界條件、結(jié)構(gòu)損耗因子、流體介質(zhì)以及殼體厚度對結(jié)構(gòu)聲輻射的影響。然而，在實(shí)際工程應(yīng)用中，柱殼結(jié)構(gòu)的邊界條件往往存在彈性邊界支撐等復(fù)雜邊界條件。因此，本文基于區(qū)域能量分解法，開展圓柱殼結(jié)構(gòu)受迫振動特性分析，旨在提出統(tǒng)一的求解公式，為復(fù)雜邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)受迫振動特性分析提供數(shù)據(jù)積累和方法依據(jù)。

1 柱殼結(jié)構(gòu)區(qū)域能量分析模型

圓柱殼結(jié)構(gòu)如圖1所示，結(jié)構(gòu)長為L，半徑為R，厚度為h，結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 柱殼結(jié)構(gòu)理論模型Fig.1 Theoretical model of cylindrical shell structure

1.1 柱殼結(jié)構(gòu)的能量泛函建立

將圓柱殼體沿軸線方向均勻地截斷成NL段，即每一段的長度Li=L/NL。根據(jù)修正的Hamilton原理，考慮到每一段的能量和相鄰兩段之間的影響，圓柱殼體的總勢能為

(1)

式中：Tl,i，Ul,i,Wl,i分別為圓柱殼體的第i段的動能、應(yīng)變能、外力功和附加能量泛函。相鄰分段i～i+1的附加界面勢能表示為K,L。

當(dāng)忽略圓柱殼體旋轉(zhuǎn)慣性的條件下，圓柱殼體第i段的動能可以表示為

(2)

式中：ui,vi，wi分別為不同方向位移矢量；ρ為結(jié)構(gòu)質(zhì)量密度；hi為第i段結(jié)構(gòu)厚度；Si為結(jié)構(gòu)中面面積。

根據(jù)Reissner-Naghdi’s線性薄殼理論，i分段的最大結(jié)構(gòu)應(yīng)變能可以表示為

(3)

考慮到z的奇數(shù)次冪和其他相乘在對稱區(qū)間的積分為0，可以得到

(4)

假設(shè)外部載荷全部作用在中面位置處，圓柱殼結(jié)構(gòu)的第i分段分布著沿x方向、θ方向、z方向外力fu,i,fv,i,fw,i，此時結(jié)構(gòu)第i分段的外力作功為

(5)

圓柱殼體的第i段、第i+1段的界面上的附加能量泛函為

(6)

式中：λ,β,?,ψ分別為柱殼結(jié)構(gòu)分段i與i+1交界面處的未知拉格朗日乘子；Θu,Θv,Θw和Θr分別為柱殼結(jié)構(gòu)分段i與i+1交界面處位移協(xié)調(diào)方程，可以表示為

(7)

將式(2)～式(6)代入式(1)，并根據(jù)廣義變分原理，對ui，vi，wi，ui，vi+1，wi+1，?wi/?x，?wi+1/?x，λ，β，?和ψ做變分運(yùn)算，可得到

(8)

(9)

(10)

(11)

將式(8)～式(11)代入式(1)后得到新的能量泛函

(12)

式中：Nx=λ;Nθ=β;Qx=?；-Mx=ψ。

為了保證數(shù)值算法的計算穩(wěn)定性，在式(12)的基礎(chǔ)上添加一項子結(jié)構(gòu)交界面位移連續(xù)方程的最小二乘加權(quán)參數(shù)殘值∏κ,L，此時，結(jié)構(gòu)的完整能量泛函表示為

(13)

(14)

式中：κu,κv,κw和κr為柱殼分段后第i段和第i+1段分區(qū)界面加權(quán)參數(shù)。

在式(14)中引入邊界條件控制參數(shù)?u，?v,?w，?r通過控制參數(shù)的選取來控制邊界條件。此時的能量泛函可以表示為

(15)

表1給出了多種邊界條件下的控制權(quán)參數(shù)，可通過選擇不同權(quán)參數(shù)模擬不同的邊界條件。

表1 不同邊界條件對應(yīng)的控制參數(shù)?t(t=u,v,w,r)

1.2 位移函數(shù)的表達(dá)式

對于柱殼結(jié)構(gòu)，其位移函數(shù)[15]采用Chebyshev行列式[16-17]和傅里葉級數(shù)進(jìn)行展開，系統(tǒng)的位移可以寫成

(16)

(17)

(18)

式中：P和N分別為圓柱殼母線方向上位移分量的Chebyshev多項式截斷值，N為殼體周向位移分量的傅里葉級數(shù)截取階數(shù)；Φp(x)為Chebyshev行列式，表示圓柱殼體軸向階數(shù)；fni(θ)為傅里葉級數(shù)，表示圓柱殼體周向波數(shù)，它們分別表示為

Φ0(x)=1,Φ1(x)=x,
Φi+2(x)=2xΦi+1(x)-Φi(x)

(19)

fn1(θ)=cos(nθ)+sin(nθ)

(20)

fn2(θ)=sin(nθ)+cos(nθ)

(21)

fn3(θ)=cos(nθ)+sin(nθ)

(22)

2 柱殼結(jié)構(gòu)振動求解

2.1 柱殼結(jié)構(gòu)受迫振動特性方程的求解

在上文中建立了柱殼結(jié)構(gòu)的廣義能量泛函，但是并未推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的受迫振動特性求解方程。柱殼結(jié)構(gòu)的整體能量泛函可以表示為

(23)

由前面級數(shù)的位移表達(dá)式可知，柱殼結(jié)構(gòu)分段i的位移容許函數(shù)ui，vi，wi由三角級數(shù)與第一類正交切比雪夫多項式表示，從式(15)～式(18)可以看出，位移表達(dá)式中都存在關(guān)于時間的未知位移系數(shù)式。因此，式(23)對未知位移系數(shù)進(jìn)行變分運(yùn)算，可得到結(jié)構(gòu)的受迫振動特性方程

(24)

(25)

其中，

(26)

(27)

(28)

在本文中，不直接對式(24)進(jìn)行求解，而是提出另外一種求解過程，將求解問題轉(zhuǎn)化到廣義系統(tǒng)坐標(biāo)中，減少了廣義坐標(biāo)以后的運(yùn)動方程表示為

(29)

(30)

(31)

將其代入式(15)～ 式(17)即可得到在不同頻率下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

2.2 收斂性分析

在結(jié)構(gòu)的受迫振動特性分析展開之前，需要對最小二乘加權(quán)參數(shù)的收斂性進(jìn)行分析，得出最佳的最小二乘加權(quán)參數(shù)。根據(jù)前面所定義的邊界條件，選取F-E邊界條件，即柱殼結(jié)構(gòu)的左端為自由邊界，結(jié)構(gòu)的右端為彈性邊界，彈性參數(shù)取值為ku=kv=2×108N/m，結(jié)構(gòu)參數(shù)為：L=6 m，R=1 m，h/R=0.01，E=210 GPa，ρ=7 800 kg/m3，μ=0.3。位移容許函數(shù)在母線方向上的切比雪夫正交多項式的截斷值為8，結(jié)構(gòu)分段數(shù)NL=2。頻率無量綱化計算公式為

Ω=ωR(ρ(1-μ2)/E)1/2

(32)

表2給出了不同周向波數(shù)下，不同最小加權(quán)參數(shù)對結(jié)構(gòu)前五階無量綱化固有頻率的影響，可以看出，當(dāng)加權(quán)參數(shù)增大時，結(jié)構(gòu)的固有頻率也隨之增大，當(dāng)加權(quán)參數(shù)達(dá)到某一個臨界取值時，結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果趨于穩(wěn)定。在實(shí)際數(shù)值計算中，加權(quán)參數(shù)的取值不可能無窮大，同時為保證計算的絕對數(shù)值穩(wěn)定性，根據(jù)表2中計算結(jié)果，在后續(xù)的計算中，最小二乘殘差加權(quán)系數(shù)取值為κ=1×1014。

表2 最小二乘加權(quán)參數(shù)收斂性分析

在對加權(quán)參數(shù)分析的基礎(chǔ)上，由本文的計算模型可知，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行分段時，殼段數(shù)不可能無限大，只有選取合理的分段數(shù)，才能保證數(shù)值計算的計算效率和精度，因此需對分段數(shù)的收斂性進(jìn)行分析。結(jié)構(gòu)參數(shù)與表2所用計算模型保持一致，并且加權(quán)參數(shù)取值為κ=1×1014。表3給出了不同分段數(shù)下對結(jié)構(gòu)不同階數(shù)的無量綱化固有頻率Ω的影響，無量綱化公式與表2保持一致，為了驗(yàn)證收斂性分析的正確性，有限元計算所得的結(jié)果作為參照值也在表3中列出。

由表3可以看出，當(dāng)NL=8時，其計算結(jié)果與已經(jīng)保持在小數(shù)點(diǎn)后六位保持一致，因此，在后續(xù)的計算中，如不做特別說明，柱殼分段數(shù)取值為NL=8。

表3 區(qū)域分段數(shù)的收斂性分析

3 柱殼結(jié)構(gòu)受迫振動響應(yīng)研究

3.1 模型驗(yàn)證

圖2 C-C邊界條件下受徑向載荷圓柱殼位移響應(yīng)曲線Fig.2 Displacement response of cylindrical shell with radial load under C-C boundary condition

圖3 C-C邊界條件下受軸向載荷圓柱殼位移響應(yīng)曲線Fig.3 Displacement response of cylindrical shell with axial load under C-C boundary conditions

通過圖2與圖3的對比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓柱殼受徑向載荷時，在0～500 Hz內(nèi)，本文所用方法計算得到的振動響應(yīng)值與有限元方法計算得到的振動響應(yīng)值擬合良好；當(dāng)圓柱殼受軸向載荷作用時，在0～350 Hz內(nèi)，本文方法計算得到的振動響應(yīng)值與有限元方法計算得到的振動響應(yīng)值擬合良好，在350～500 Hz內(nèi)，兩種方法計算得到的振動響應(yīng)值在量級上保持一致，峰值產(chǎn)生一定偏移，最大偏移誤差為0.56%，因此可證明本文方法的正確性。從圖中還可以看出，在低頻段波峰較小，在高頻位置處波峰較為密集，并且在眾多波峰值中，在結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率處其響應(yīng)峰值最大，這也是在實(shí)際工程中總是關(guān)注結(jié)構(gòu)基頻的原因。

3.2 邊界條件對柱殼結(jié)構(gòu)受迫振動響應(yīng)的影響

給出不同彈性邊界條件下在相同的單位激勵下P點(diǎn)與Q點(diǎn)的位移響應(yīng)曲線，定義彈性邊界E1(u=v=w=0,?w/?v≠0)。

由圖4可知，當(dāng)圓柱殼的邊界條件發(fā)生改變時，相同激勵載荷作用下其位移響應(yīng)曲線會發(fā)生相應(yīng)變化，共振波峰的數(shù)目以及共振幅值都會發(fā)生變化。在相同的掃頻范圍內(nèi)，SS-SD邊界下的波峰數(shù)目最多，其次為C-F，最小為C-C；當(dāng)約束剛度變大時，結(jié)構(gòu)固有頻率的波峰會發(fā)生右移，但結(jié)構(gòu)的一階固有頻率幾乎不發(fā)生變化。

圖4 不同邊界條件下受徑向載荷作用的圓柱殼位移響應(yīng)曲線Fig.4 Displacement response of cylindrical shell with radial load under different boundary

圖5 不同彈性邊界下受徑向載荷作用的圓柱殼位移響應(yīng)曲線Fig.5 Displacement response curve of cylindrical shell with radial load under different elastic boundary

從圖5可以看出，當(dāng)彈性邊界彈簧剛度值逐漸增大時，結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線的總體趨勢向著高頻方向發(fā)生小范圍的移動，共振波峰處頻率值逐漸增大，位移響應(yīng)的整體幅值也隨著波峰移動發(fā)生變化。此外，當(dāng)K的剛度值從1×104增加至1×106時，結(jié)構(gòu)的共振峰值幾乎不發(fā)生變化，說明此剛度范圍對結(jié)構(gòu)的受迫振動影響較小，隨剛度值進(jìn)一步增加，曲線發(fā)生了明顯的移動，表明圓柱殼結(jié)構(gòu)對1×106以后的剛度值變化較為敏感。

3.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)對柱殼結(jié)構(gòu)受迫振動響應(yīng)的影響

圖6 在C-C邊界條件下受徑向載荷時不同厚度圓柱殼的位移響應(yīng)曲線Fig.6 Displacement response curves of cylindrical shells with different thickness under radial load under C-C boundary conditions

圖8 在C-C邊界條件下受徑向載荷時不同阻尼系數(shù)圓柱殼位移響應(yīng)曲線Fig.8 Displacement response curves of cylindrical shells with different damping coefficients under the radial load under the C-C boundary condition

圖7 在E2-E3邊界條件下受徑向載荷時不同厚度圓柱殼的位移響應(yīng)曲線Fig.7 Displacement response curves of cylindrical shells with different thickness under radial load under E2-E3 boundary conditions

圖9 在E2-E3邊界條件下受徑向載荷時不同阻尼系數(shù)圓柱殼位移響應(yīng)曲線Fig.9 Displacement response curves of cylindrical shells with different damping coefficients under the radial load under the E2-E3 boundary condition

從圖6與圖7可以看出，殼結(jié)構(gòu)厚度發(fā)生變化時，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)曲線發(fā)生了較大的變化，在相同的頻率范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)的厚度越小，其波峰的數(shù)量越多，且響應(yīng)值越大，由此可知，結(jié)構(gòu)殼體的厚度可使結(jié)構(gòu)振動特性發(fā)生較大改變。從圖8與圖9可以看出，結(jié)構(gòu)損耗因子增大時，結(jié)構(gòu)的共振峰頻率幾乎不發(fā)生改變，而共振峰處的響應(yīng)幅值明顯降低很多，這是由于損耗因子的增大，使得結(jié)構(gòu)自身對外界能量吸收更多，導(dǎo)致其響應(yīng)值下降，由此可知，損耗因子的改變，不影響結(jié)構(gòu)的固有頻率，僅對其響應(yīng)產(chǎn)生一定的影響。

4 結(jié) 論

本文基于區(qū)域能量分解法，建立了結(jié)構(gòu)受迫振動計算分析模型，研究了邊界條件和結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)的影響，并通過與有限元方法的計算結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文方法的正確性，通過本文研究，可得如下主要結(jié)論：

(1) 通過與有限元的仿真計算結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，本文方法的柱殼分段數(shù)在NL=8時區(qū)域收斂，最小二乘殘差加權(quán)系數(shù)取值達(dá)到κ=1×1014時結(jié)構(gòu)的數(shù)值計算具有良好的穩(wěn)定性。

(2) 除第一階固有頻率外，經(jīng)典邊界約束剛度的不同對于結(jié)構(gòu)的固有振動特性的影響較大；而在彈性邊界條件下，邊界彈簧剛度值的選取對結(jié)構(gòu)的固有振動特性有較大的影響，且存在一個較為敏感的區(qū)域，使得結(jié)構(gòu)的固有振動特性發(fā)生較大的變化。

(3) 相同頻率范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)厚度越小，共振峰值就越多，響應(yīng)值也越大；而對于結(jié)構(gòu)損耗因子來說，其只影響結(jié)構(gòu)的共振峰值，對于共振頻率點(diǎn)的位置影響較小。