陳 兵， 莫 威， 許傳磊， 張利杰， 劉 昌

(北京科技大學機械工程學院 北京，100083)

引 言

目前，我國正在建立資源節(jié)約型和環(huán)境友好型社會，機械工業(yè)的發(fā)展模式和生產(chǎn)模式都需要充分考慮到經(jīng)濟效益、環(huán)境效益和社會效益的協(xié)調(diào)發(fā)展。從事機械產(chǎn)品設(shè)計的工程技術(shù)人員應該加強環(huán)保、高效能制造技術(shù)的研究及應用，促進我國機械工業(yè)的可持續(xù)發(fā)展。振動機械是一種廣泛應用于礦業(yè)、冶金、化工及食品等行業(yè)的篩分機械[1]。伴隨著機械制造業(yè)工藝技術(shù)的不斷提升以及對高效能生產(chǎn)能力的需求，具備大處理能力、高篩分效率和安全可靠等特點的振動機械顯得尤為重要，然而目前的振動機械大多功能比較單一，無法適應不同工況對振動方向角的要求[2]。因此，迫切需要一種具有振動方向角在線調(diào)整功能的新型振動機，來滿足振動機械向通用化、智能化和標準化等方向的發(fā)展需求[3]。

振動方向角是橢圓振動機的關(guān)鍵參數(shù)。在實際生產(chǎn)尤其是生產(chǎn)物料屬性差異較大的場合中，為實現(xiàn)不同屬性物料的高效篩分，振動方向角可實現(xiàn)在線調(diào)節(jié)具有重大工程價值。雖然已有學者對振動機械自同步原理進行了深入系統(tǒng)的研究[4-7]，但對目前市場占有率最高的雙機驅(qū)動自同步振動篩而言，一旦確定兩臺激振電機安裝位置和其產(chǎn)生的激振力后，振動方向角便唯一確定，難以實現(xiàn)振動方向角的在線調(diào)節(jié)[8]。因此，研究自同步橢圓振動機不僅可改變其必須依靠強制同步才能達到穩(wěn)定運行的工作模式，為振動機械向節(jié)能環(huán)保方向發(fā)展奠定理論基礎(chǔ)，還可通過實現(xiàn)振動方向角的靈活調(diào)節(jié)，實現(xiàn)振動機械 “一機多用”、“一機多能”和“一機多效”等工程目標。

基于上述事實，筆者通過系統(tǒng)建模和理論推導，計算雙激振電機在不同供電頻率條件下達到穩(wěn)定同步時的同步轉(zhuǎn)速以及相位差，并結(jié)合Matlab/Simulink數(shù)值仿真及實驗研究，分析不同供電頻率對橢圓振動機振動方向角的影響規(guī)律，由理論及實驗結(jié)果提出并證明一種可在線調(diào)整振動方向角的雙軸橢圓振動機設(shè)計概念。

1 雙軸橢圓振動系統(tǒng)動力學模型

圖1為雙軸自同步橢圓振動系統(tǒng)動力學模型。彈簧對稱安裝在兩側(cè)并支撐整個振動系統(tǒng)，兩激振電機以連線夾角與水平方向成45°安裝在篩體上。系統(tǒng)工作時，兩偏心塊作如圖1所示的等速反向旋轉(zhuǎn)，篩體可能產(chǎn)生水平方向x、豎直方向y和扭擺方向Φ的振動。其中：xOy為系統(tǒng)的固定坐標系；x′Oy′為根據(jù)運動軌跡變化而變化的動坐標系[3]。

圖1 雙軸自同步橢圓振動系統(tǒng)動力學模型Fig.1 Dynamic model of self-synchronization elliptical vibrating system driven by two motors

由動力學模型可知，兩激振電機偏心塊的質(zhì)量分別為m1，m2；其轉(zhuǎn)動角頻率分別為ω1，ω2；回轉(zhuǎn)半徑為r；整體參振質(zhì)量M由振動機機體質(zhì)量m以及兩偏心塊質(zhì)量m1和m23部分構(gòu)成。在正常工作時兩激振電機驅(qū)動偏心轉(zhuǎn)子等速反向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動角度分別為φ1，φ2，振動系統(tǒng)在水平方向x和垂直方向y的剛度以及阻尼系數(shù)分別為Kx，Ky，Cx和Cy。

為研究振動系統(tǒng)達到穩(wěn)定同步狀態(tài)時篩體的運動軌跡，利用拉格朗日法對模型進行解析計算，并將系統(tǒng)穩(wěn)定同步時的電機轉(zhuǎn)動角頻率ωm代入ω1和ω2中，得到振動系統(tǒng)的動力學微分方程為

(1)

2 雙驅(qū)動振動系統(tǒng)的穩(wěn)定同步建模

雙軸橢圓振動系統(tǒng)能否實現(xiàn)同步運行，取決于作用在振動系統(tǒng)兩激振電機上調(diào)節(jié)力矩的調(diào)節(jié)能力，兩電機性能參數(shù)越接近，同步條件越容易滿足。研究表明，對于等質(zhì)徑積(m1r1=m2r2)雙機振動系統(tǒng)，在滿足同步條件下，兩電機不同供電頻率也可實現(xiàn)同步[9-11]。在此結(jié)論基礎(chǔ)上提出假設(shè)：不等質(zhì)徑積(m1r1≠m2r2)雙機振動系統(tǒng)在滿足同步條件下，兩電機在不同供電頻率下也同樣能夠?qū)崿F(xiàn)同步。

研究雙機驅(qū)動振動系統(tǒng)自同步現(xiàn)象的實質(zhì)是研究在機電耦合效應下兩臺激振電機轉(zhuǎn)速趨于相等的過程。假設(shè)振動系統(tǒng)實現(xiàn)穩(wěn)定同步，振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行時兩偏心轉(zhuǎn)子平均相位為φ，角速度為w(t)，則

(2)

其中：φ0為振動機進入穩(wěn)定運行瞬間t=t0時刻兩偏心轉(zhuǎn)子的平均相位。

若設(shè)偏心轉(zhuǎn)子1超前于偏心轉(zhuǎn)子2的相位為Δφ，則偏心轉(zhuǎn)子1和2的相位分別為

(3)

對式(3)兩邊求導并帶入式(2)，得到兩偏心轉(zhuǎn)子的速度為

(4)

雙機驅(qū)動振動系統(tǒng)在滿足同步條件時激振電機轉(zhuǎn)速會逐漸趨于一致，且整個系統(tǒng)作周期性運動，因此兩電機所受的外負載也是周期性變化的。當兩電機所受外負載周期性變化時，轉(zhuǎn)速受到外負載的影響同樣以相同的周期波動，則可以認為轉(zhuǎn)速的同步過程是轉(zhuǎn)速在負載周期性波動的影響下趨于一致。設(shè)電機轉(zhuǎn)子平均角頻率與波動系數(shù)ε分別為

在兩電機轉(zhuǎn)速趨于相同的過程中，振動系統(tǒng)阻礙轉(zhuǎn)速稍快的偏心塊使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速下降，驅(qū)動轉(zhuǎn)速稍慢的偏心塊使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速上升，并且這一調(diào)節(jié)力矩大小與sinΔφ成正比?？梢姡坏荣|(zhì)徑積振動系統(tǒng)是通過調(diào)節(jié)兩偏心轉(zhuǎn)子的相位差Δφ，從而調(diào)節(jié)加在兩激振電機負載轉(zhuǎn)矩來實現(xiàn)轉(zhuǎn)速同步的。因此，定義不等質(zhì)徑積振動系統(tǒng)調(diào)節(jié)力矩ΔT

其中：ΔMg，ΔMf分別為兩電機的驅(qū)動力矩差、摩擦力矩差；W為振動系統(tǒng)穩(wěn)定性指數(shù)。

由理論分析可知：在滿足雙機驅(qū)動振動系統(tǒng)同步條件的前提下，改變激振電機的轉(zhuǎn)動角頻率，從而導致系統(tǒng)穩(wěn)定同步時的同步轉(zhuǎn)速發(fā)生變化，使原有的同步狀態(tài)被破壞。進一步分析可知：經(jīng)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)后，若雙激振電機輸出轉(zhuǎn)速仍滿足同步條件，則可迅速建立新的穩(wěn)定同步運動狀態(tài)，且系統(tǒng)振動方向角發(fā)生改變。

3 振動方向角動態(tài)調(diào)節(jié)仿真

為驗證激振電機輸出轉(zhuǎn)速的變化對系統(tǒng)同步狀態(tài)以及振動方向角的影響，對所建振動系統(tǒng)進行數(shù)值仿真。使用Matlab /Simulink軟件對同步子系統(tǒng)和動力學子系統(tǒng)進行了封裝，繼而對篩機振動系統(tǒng)組態(tài)建模。穩(wěn)定同步子系統(tǒng)及動力學子系統(tǒng)模型如圖2，3所示。用所建模型研究了穩(wěn)定同步狀態(tài)時兩偏心轉(zhuǎn)子的相位差以及同步轉(zhuǎn)速的變化，并將穩(wěn)定同步時相位差及同步轉(zhuǎn)速代入動力學模型進行仿真計算，最終得到振動系統(tǒng)的運動軌跡。仿真模型振動參數(shù)如表1所示。

圖2 穩(wěn)定同步子系統(tǒng)Fig.2 Subsystem of stable synchronization

圖3 動力學模型子系統(tǒng)Fig.3 Subsystem of dynamic model

表1 振動系統(tǒng)仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters of the vibration system

首先，保證兩激振電機性能參數(shù)相同且供電頻率均為33.33 Hz，得到振動篩穩(wěn)定同步時的軌跡如圖4所示。可以看出，當兩臺電機45°布置時，得到的穩(wěn)定同步時振動方向角為45°，并將此角度作為后續(xù)其他工況的參考值進行對比分析。

圖4 兩激振電機供電頻率均為33.33 HzFig.4 Power supply frequencies of two exciting motor with 33.33 Hz

圖5 改變2號激振電機供電頻率時質(zhì)心運動軌跡Fig.5 Trajectory of center mass when changing the No.2 power supply frequency

如圖5所示，維持小激振電機(1號激振電機)供電頻率不變而調(diào)節(jié)大激振電機(2號激振電機)供電頻率分別為33.50，33.70，34.00和34.16 Hz時橢圓軌跡的變化。可以看出，即使激振電機供電頻率不相等，振動系統(tǒng)仍然能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定同步運動且振動系統(tǒng)橢圓軌跡的方向角的逐漸減小，隨著兩激振電機供電頻率差距越來越大，振動方向角變化也愈來愈快。

維持大激振電機供電頻率不變而調(diào)整小激振電機供電頻率分別為33.43，33.63，34.83和34.02 Hz時橢圓軌跡的變化如圖6所示。即使激振電機供電頻率不相等，振動系統(tǒng)仍然能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定同步運動且隨著兩激振電機供電頻率差距越來越大，振動方向角的變化也愈來愈快。值得注意的是，調(diào)節(jié)不同電機供電頻率，其振動方向角的變化趨勢正好相反。

圖6 改變1號激振電機供電頻率時質(zhì)心運動軌跡Fig.6 Trajectory of center mass when changing No.1 power supply frequency

由圖5，6對比得出，雙軸橢圓振動機在改變兩激振電機供電頻率時，橢圓長短軸大小基本不發(fā)生變化，而橢圓方向角會產(chǎn)生較大變化。具體地，當小激振電機供電頻率不變時，振動方向角隨著大激振電機供電頻率增大而減小；當大激振電機供電頻率不變時，振動方向角隨著小激振電機供電頻率增大而增大，即單獨調(diào)節(jié)大、小激振電機供電頻率對振動方向角的影響規(guī)律相反。這表明調(diào)節(jié)激振電機供電頻率能夠有效改變橢圓振動機振動方向角，從而使得橢圓振動機振動方向角調(diào)整更加靈活。

4 振動方向角調(diào)節(jié)的實驗分析

為研究雙激振電機激振頻率對振動方向角的影響，專門搭建了原理樣機實驗臺。實驗系統(tǒng)包括380 V電源、變頻器、兩臺4極激振電機、振動機實驗臺、加速度傳感器和東方所INV3060s振動測試分析系統(tǒng)。實驗在保證兩振動電機等速反向旋轉(zhuǎn)的前提下，通過改變兩激振電機的供電頻率大小，研究不同激振頻率對振動機振動方向角的影響。

4.1 雙機同速標定實驗

由于雙機振動系統(tǒng)的自同步過程實質(zhì)上是兩激振電機轉(zhuǎn)速趨于同步轉(zhuǎn)速的過程，因此首先設(shè)置實驗工況為兩激振電機輸出轉(zhuǎn)速均為1 000 r/min作為參考工況。

圖7為實驗臺裝置示意圖。兩臺激振電機分別由1#，2#兩個同型號的變頻器分別控制，兩臺電機沿篩體長度方向關(guān)于篩體中心對稱布置，且兩激振電機軸心連線與水平方向夾角為45°。大小激振電機偏心塊質(zhì)量比m1∶m2=1∶2。

圖7 雙機振動系統(tǒng)實驗臺示意圖Fig.7 Test bed of double driving vibration system

初始時，小激振電機作圖示方向逆時針旋轉(zhuǎn)，大激振電機作順時針旋轉(zhuǎn)，兩激振電機等速反向，初始轉(zhuǎn)速均為1 000 r/min，此時兩變頻器輸出頻率均為33.33 Hz。系統(tǒng)穩(wěn)定運行后，兩臺激振電機實現(xiàn)同步運轉(zhuǎn)，振動機實驗臺質(zhì)心的振動軌跡如圖8所示。

圖8 初始穩(wěn)定時實驗臺振動軌跡Fig.8 Trajectory at initial stability status on test bed

可以看出，當兩臺電機沿振動機長度方向關(guān)于機體中心對稱且兩激振電機軸心連線與水平方向夾角為45°布置時，得到的穩(wěn)定同步運動軌跡振動方向角為45°。

4.2 大激振電機調(diào)速對振動方向角的影響

為了研究大激振電機調(diào)速對振動方向角的影響，采用如下實驗方案：系統(tǒng)穩(wěn)定同步運轉(zhuǎn)后，小激振電機維持轉(zhuǎn)速1 000 r/min(1#變頻器輸出頻率為33.33 Hz)，增大2#變頻器的輸出頻率f2，對應2#變頻器輸出轉(zhuǎn)速n2(n2=60f2/2)，即大激振電機理論轉(zhuǎn)速隨之增加。

當2#變頻器輸出頻率f2由33.33 Hz增大至34.16 Hz時，系統(tǒng)依然能夠保持自同步穩(wěn)定運行，振動機實驗臺質(zhì)心處軌跡為橢圓，但不同變頻器輸出頻率下，振動方向角發(fā)生較大改變。當2#變頻器輸出頻率f2超過34.16 Hz后，同步失穩(wěn)，振動軌跡不再是穩(wěn)定的橢圓軌跡。

圖9為2#變頻器輸出頻率f2分別為33.33，33.90和34.16 Hz 3個不同頻率下振動機實驗臺質(zhì)心處的運動軌跡。

圖9 2#變頻器輸出頻率f2對應振動軌跡Fig.9 Trajectory when controlling the No.2 motor frequency

由實驗可知，當控制大激振電機轉(zhuǎn)速的2#變頻器輸出頻率f2在有限區(qū)間內(nèi)增大時，振動篩實驗臺振動方向角減小。為驗證假設(shè)的正確性，設(shè)計了多組試驗，工況如表2所示。

表2 大激振電機變頻調(diào)節(jié)

Tab.2 Frequency control of highly motivated motor

變頻器輸出頻率/Hz變頻器輸出轉(zhuǎn)速/(r·min-1)大激振電機實測轉(zhuǎn)速/(r·min-1)小激振電機實測轉(zhuǎn)速/(r·min-1)振動方向角/(°)33.331 000.0998.6998.64533.401 002.0999.5999.54333.501 005.01 000.01 000.04033.601 008.01 001.01 001.03933.701 011.01 003.01 003.03733.801 014.01 003.01 003.03633.901 017.01 002.01 002.03234.001 020.01 004.01 004.02734.101 023.01 004.01 004.02234.161 024.81 005.01 005.013

通過對比2#變頻器輸出轉(zhuǎn)速n2和大激振電機實測轉(zhuǎn)速n3可知，大激振電機的實際轉(zhuǎn)速n3與該電機理論轉(zhuǎn)速(2#變頻器輸出轉(zhuǎn)速n2)并不相等。當2#變頻器輸出頻率f2從33.33 Hz增大至34.16 Hz時，大激振電機轉(zhuǎn)速n3隨2#變頻器輸出頻率f2增大而增大，且即使小激振電機沒有進行變頻調(diào)速，小激振電機轉(zhuǎn)速仍然隨大激振電機轉(zhuǎn)速增大而增大并保持反向等速旋轉(zhuǎn)。

為了驗證振動系統(tǒng)振動方向角隨激振電機轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律，根據(jù)表2中各離散點擬合了振動方向角變化曲線。圖10為對大激振電機進行變頻調(diào)速實驗測得振動篩實驗臺質(zhì)心處振動方向角隨2#變頻器輸出頻率f2的變化關(guān)系。可以看出，2#變頻器輸出頻率f2由33.33 Hz增大至34.16 Hz，振動方向角由45°減小至13°，且振動方向角的變化率隨兩電機輸出頻率差值增大而增大。

圖10 振動方向角隨2#變頻器輸出頻率f2變化圖Fig.10 Vibration angle changes with adjusting frequency in No.2 motor

4.3 小激振電機調(diào)速對振動方向角的影響

為了研究小激振電機調(diào)速對振動方向角的影響，采用如下實驗方案：系統(tǒng)穩(wěn)定同步運轉(zhuǎn)后，大激振電機維持轉(zhuǎn)速1 000 r/min(2#變頻器輸出頻率33.33 Hz)，增大1#變頻器的輸出頻率f1，對應1#變頻器輸出轉(zhuǎn)速n1(n1=60f1/2)，即大激振電機理論轉(zhuǎn)速隨之增加。

當1#變頻器輸出頻率f1由33.33 Hz增大至34.02 Hz時，系統(tǒng)依然能夠保持穩(wěn)定同步，振動篩實驗臺質(zhì)心處軌跡為橢圓，但不同變頻器輸出頻率下，振動方向角發(fā)生較大改變。當1#變頻器輸出頻率f1超過34.02 Hz后，同步失穩(wěn)，振動軌跡不再是穩(wěn)定的橢圓軌跡。由實驗可知，當控制小激振電機轉(zhuǎn)速的1#變頻器輸出頻率f1在有限區(qū)間內(nèi)增大時，振動機實驗臺振動方向角增大。為了驗證推測的正確性，進行了如表3所示的多組實驗。

圖11為對小激振電機進行變頻調(diào)速實驗測得振動篩實驗臺質(zhì)心處振動方向角隨1#變頻器輸出頻率f1的變化關(guān)系?？梢钥闯?，1#變頻器輸出頻率f1由33.33 Hz增大至34.02 Hz，振動方向角由45°增大至78°，振動方向角的變化率也隨兩電機輸出頻率差值增大而增大。

表3 小激振電機變頻調(diào)節(jié)Tab.3 Frequency control of slightly motivated motor

圖11 振動方向角隨1#變頻器輸出頻率f1變化圖Fig.11 Vibration angle changes with adjusting frequency in No.1 motor

通過上述分析可知：在振動系統(tǒng)保持同步運轉(zhuǎn)下改變其中任一電機的供電頻率，原有的同步狀態(tài)將會被破壞，新的同步狀態(tài)將被建立。隨著兩電機之間差異性變大，振動系統(tǒng)越來越不穩(wěn)定，并且導致系統(tǒng)振動方向角變化率逐漸增大。

在上述實驗中，選取各振動參數(shù)與仿真模型參數(shù)一致，所得實驗及仿真結(jié)果對比如表4所示，可以看出，雖然振動方向角的實驗結(jié)果與仿真結(jié)果存在±3°的誤差，但系統(tǒng)振動方向角隨電機供電頻率的變化規(guī)律仍然能夠充分證明仿真結(jié)果的正確性。經(jīng)分析可知，造成誤差的主要原因是實驗臺質(zhì)心位置無法精確測量，且兩激振電機性能參數(shù)不可能完全相同，導致了實驗得到的橢圓軌跡和理想軌跡存在一定差異。

通過搭建實驗臺以及對大、小激振電機的變頻調(diào)速，得到振動機相應橢圓運動軌跡。分析可知：對于不等質(zhì)徑積雙機振動系統(tǒng)，在兩電機存在一定供電頻率差時也可保持同步，并且振動方向角較相同供電頻率情況下發(fā)生改變。

表4 振動方向角仿真與實驗結(jié)果對比Tab.4 Vibration angle comparison between simulation and experiment

5 結(jié) 論

1) 對于不等質(zhì)徑積雙機反向回轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)，兩激振電機存在一定供電頻率差時，系統(tǒng)依然可以保持同步穩(wěn)定運行。

2) 兩激振電機在相同供電頻率下實現(xiàn)同步穩(wěn)定運轉(zhuǎn)后，在系統(tǒng)保持同步運轉(zhuǎn)下改變?nèi)我庖慌_電機的供電頻率，振動系統(tǒng)原有的同步狀態(tài)被破壞，新的穩(wěn)定同步狀態(tài)建立并且振動方向角實現(xiàn)大幅度(0～90°)有效調(diào)節(jié)。

3) 兩激振電機供電頻率變化對振動方向角的調(diào)節(jié)規(guī)律相反，其中振動方向角隨大激振電機轉(zhuǎn)速增加而減小，隨小激振電機轉(zhuǎn)速增加而增大。

4) 等質(zhì)徑積雙機反向回轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)性質(zhì)相同。