劉 靜 , 徐子旦， 唐昌柯， 王林峰

(1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室 重慶，400044) (2.重慶大學機械工程學院 重慶，400044)

引 言

軸承-軸承座系統(tǒng)是旋轉(zhuǎn)機械設備的重要基礎部件之一。當其內(nèi)部軸承出現(xiàn)故障時，將嚴重影響機械設備的工作性能、可靠性和安全性。據(jù)統(tǒng)計，30%的旋轉(zhuǎn)機械故障和44%的大型異步電機故障是由軸承故障導致的[1]。為了保證重要關鍵裝備運行的可靠性和安全性，需要開展軸承-軸承座系統(tǒng)內(nèi)部軸承早期局部故障的準確定量診斷方法研究。實際中由于工況復雜、載荷多變及非線性接觸界面等因素的影響，軸承-軸承座系統(tǒng)內(nèi)部軸承早期局部故障的沖擊機理及其振動特征尚待深入研究。

針對軸承-軸承座系統(tǒng)內(nèi)部軸承早期局部故障誘發(fā)的振動特征問題，學者們開展了許多研究工作。目前，主要的建模方法包括集中質(zhì)量建模方法、準靜態(tài)建模方法、準動態(tài)建模方法、動力學建模方法和有限元建模方法等[2]。作為準確的建模方法之一，有限元建模方法被許多學者應用于滾動軸承局部故障誘發(fā)的振動特征仿真分析[3]。李國超等[4]建立了三維滾動軸承外圈裂紋有限元模型，將外圈裂紋故障對軸承接觸應力和振動特征的影響規(guī)律進行了仿真。王華慶等[5]建立了三維滾動軸承局部故障有限元模型，分析了套圈典型局部故障誘發(fā)的軸承的加速度信號振動特征。Liu等[6]建立了二維圓柱滾子軸承有限元模型，研究了局部故障邊緣形貌特征對單個軸承振動特征的影響規(guī)律。Zhang等[7]建立了三維球軸承有限元模型，分析了局部故障誘發(fā)的滾道故障邊緣的應力集中現(xiàn)象。Singh等[8]建立了二維圓柱滾子軸承有限元模型，討論了外圈滾道局部故障對軸承內(nèi)部接觸力及其振動特征的影響規(guī)律。文獻[4-8]主要集中考慮軸承內(nèi)部局部故障誘發(fā)的自身振動特征，然而在實際工程中，傳感器一般布置在軸承座的外表面，軸承內(nèi)部局部故障誘發(fā)的振動波將沿軸承和軸承座傳播衰減，從而導致軸承的振動特征可能出現(xiàn)變化。因此，文獻[4-8]的研究難以描述軸承內(nèi)部局部故障誘發(fā)的軸承座的振動特征。

針對軸承內(nèi)部局部故障誘發(fā)的振動波將沿軸承和軸承座傳播衰減的問題，學者們進行了大量研究。王彬等[9]建立了二維準動態(tài)球軸承有限元模型，分析了局部故障位置分布對軸承振動特征分布形態(tài)的影響規(guī)律以及局部故障的振動信號沿軸承外圈和軸承座的傳遞特性。Yuan等[10]建立了軸承-軸承座系統(tǒng)集中質(zhì)量模型，研究了軸承內(nèi)部局部故障誘發(fā)的系統(tǒng)振動特征。Ahmadi等[11]建立了滾動軸承-軸承座系統(tǒng)動力學模型，分析了軸承內(nèi)部局部故障尺寸對其振動特征的影響規(guī)律。Xiao等[12]建立齒輪-軸-軸承-軸承座系統(tǒng)動力學模型，研究了內(nèi)部沖擊激勵沿齒輪-軸-軸承-軸承座系統(tǒng)的振動傳遞特性。Liu等[13]建立了軸-軸承-軸承座系統(tǒng)動力學模型，分析了軸承內(nèi)部局部故障沖擊激勵對軸承-軸承座系統(tǒng)振動特征的影響規(guī)律。雖然以上研究工作采用有限元法和集中質(zhì)量建模方法討論了軸承內(nèi)部沖擊激勵的沿軸承-軸承座系統(tǒng)的振動傳遞特性，但是文獻[9-13]采用準動態(tài)有限元方法、動態(tài)有限元方法和集中質(zhì)量法，分析了軸承內(nèi)部沖擊激勵誘發(fā)的軸承-軸承座系統(tǒng)的振動特征變化規(guī)律，尚未深入分析局部故障尺寸與軸承-軸承座系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)沖擊力及其振動特征之間的關聯(lián)關系。文獻[11]雖然建立了滾動軸承-軸承座系統(tǒng)有限元模型，將軸承座考慮為簡化結(jié)構(gòu)，但無法準確描述局部故障尺寸與軸承座不同測點的振動特征之間的關聯(lián)關系。

針對上述問題，筆者采用顯示動力學有限元分析方法，綜合考慮了圓柱滾子軸承-軸承座系統(tǒng)的彈性結(jié)構(gòu)、重力以及軸承內(nèi)部摩擦力的影響，建立了含局部故障的圓柱滾子軸承-軸承座系統(tǒng)有限元模型，研究了軸承外圈滾道表面不同尺寸的局部故障誘發(fā)的軸承-軸承座系統(tǒng)振動特征演變規(guī)律，分析了局部故障尺寸與軸承-軸承座系統(tǒng)振動特征之間的關聯(lián)關系。

1 含局部故障的軸承-軸承座系統(tǒng)模型描述

圖1(a)為含局部故障的軸承-軸承座系統(tǒng)示意圖。該系統(tǒng)由軸承內(nèi)圈、外圈、保持架、滾子和軸承座組成。假設局部故障位于軸承外圈滾道表面。實際中，當滾動體經(jīng)過局部故障區(qū)域時，滾動體將與局部故障始邊和末邊發(fā)生兩次沖擊激勵，誘發(fā)軸承-軸承座系統(tǒng)產(chǎn)生異常振動[14-15]。

圖1 含局部故障的軸承-軸承座系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic of a bearing-housing system with a localized fault

如圖1(b)所示，當局部故障尺寸不同時，滾動體通過局部故障區(qū)域時，滾動體將分別與故障1、故障2和故障3的B，C和D處發(fā)生沖擊碰撞。圖1(b)顯示，3種不同局部故障尺寸情況下，滾動體與局部故障邊緣發(fā)生兩次沖擊激勵的間隔長度分別為AB，AC和AD。可見，3種不同局部故障尺寸情況下，滾動體通過局部故障過程中誘發(fā)的沖擊波形及其沖擊時間也各不相同。針對這一問題，筆者建立含局部故障的軸承-軸承座系統(tǒng)有限元模型，研究不同尺寸的局部故障誘發(fā)的軸承-軸承座系統(tǒng)內(nèi)部沖擊力及其振動特征。

2 顯示動力學有限元分析方法的動力學方程

顯示動力學有限元分析方法的動力學方程[16]為

(1)

其中：M為軸承-軸承座系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；Fi為軸承-軸承座系統(tǒng)內(nèi)部作用力向量；Fc為軸承-軸承座系統(tǒng)的阻尼力向量，其計算表達式為CΔl/Δt；C為黏性阻尼系數(shù)向量;Δl為有限元模型中單元長度的變化量；Δt為有限元模型的計算步長；Fa為軸承-軸承座系統(tǒng)的外載荷向量；s為軸承-軸承座系統(tǒng)的位移向量。

顯示動力學有限元分析方法通常采用中心差分法求解式(1)中的軸承-軸承座系統(tǒng)的動力學方程。該方法運用前一步的速度向量和中間速度向量計算當前計算步的中間速度向量，其表達式為

(2)

其中：t為時間。

同時，該方法利用速度-時間積分法獲取計算步的起始位移向量，求解該計算步結(jié)束時刻的位移向量，其表達式為

(3)

為保證結(jié)果的計算精度和穩(wěn)定性，采用的計算時間步長需滿足Courant-Friedrichs-Levy條件，其表達式為

(4)

其中：Δtc為求解軸承-軸承座系統(tǒng)的有限元動力學模型時的許用計算步長；Le為系統(tǒng)的有限元動力學模型中的最小單元尺寸；E為系統(tǒng)部件材料的彈性模量；ρ為系統(tǒng)部件的材料密度。

3 含局部故障的軸承-軸承座系統(tǒng)有限元模型

以圓柱滾子軸承N306為例，建立的含局部故障的軸承-軸承座系統(tǒng)有限元模型包括軸承座、軸承內(nèi)圈、保持架、滾動體和軸承外圈。如圖1所示，在軸承內(nèi)圈中心點處施加沿負y方向的徑向力Fr；軸承內(nèi)圈施加沿逆時針方向轉(zhuǎn)速ωr。同時，模型考慮了重力的影響。為保證計算過程的穩(wěn)定性，徑向力和重力由0 ～0.005 s線性增加至恒定值，再經(jīng)過0.005 s的穩(wěn)定階段后，從0.01～0.015 s線性施加轉(zhuǎn)速至恒定值。施加徑向力和重力是為了消除初始游隙，保證滾動體發(fā)生轉(zhuǎn)動前能夠與軸承套圈處于接觸狀態(tài)，實現(xiàn)軸承的正常運轉(zhuǎn)。其中，徑向力、重力和轉(zhuǎn)速采用線性變化的加載方式，消除了加載過程誘發(fā)的沖擊對系統(tǒng)振動響應的影響，以獲得更可靠的計算結(jié)果。滾動體與保持架兜孔之間的間隙為0.1 mm，軸承徑向游隙為0.02 mm。軸承座的幾何尺寸如圖1所示。軸承內(nèi)圈滾道直徑為40.5 mm，外圈滾道直徑為62.5 mm，滾動體直徑d為11 mm，節(jié)圓直徑dm為51.5mm，滾動體長度為11.4 mm，滾動體個數(shù)Z為12。選取局部故障為貫穿式矩形故障(即故障寬度等于外圈寬度)，其位置位于外圈。根據(jù)文獻[6,8]的研究結(jié)果，為保證計算結(jié)果的準確性，軸承和軸承座的材料模型均可定義為線彈性材料模型，其材料的彈性模型、泊松比和密度分別取為200 GPa，0.3和7 850 kg/m3；滾動體與滾道之間以及滾動體與保持架之間的接觸特性采用庫倫摩擦力模型進行建模，根據(jù)文獻[5-8]的研究結(jié)果，定義動摩擦因數(shù)為0.005，靜摩擦因數(shù)為0.1。軸承-軸承座系統(tǒng)各部件采用二維平面應變單元進行建模。軸承-軸承座系統(tǒng)有限元模型的阻尼定義為2%。

建立的含局部故障的軸承-軸承座系統(tǒng)有限元模型如圖2所示。有限模型的單元總數(shù)為390 835，單元最小尺寸為0.1mm。單元網(wǎng)格的劃分依據(jù)主要包括：a.保證滾動體與滾道之間接觸區(qū)為高質(zhì)量的四邊形網(wǎng)格，在接觸區(qū)以外的部分也盡可能采用四邊形網(wǎng)格，減小模型中三角形單元的數(shù)量，以保證三角形網(wǎng)格數(shù)目占模型單元總數(shù)的比例小于5%；b.結(jié)合式(4)中的計算步長，在保證計算精度的前提下盡可能增大計算步長，減小計算時間和計算資源。

圖2 含局部故障的軸承-軸承座系統(tǒng)有限元模型Fig.2 A finite element model of a bearing-housing system with a localized fault

4 計算結(jié)果與分析

選取徑向外載荷Fy為2kN(沿y負方向)，內(nèi)圈的轉(zhuǎn)速Nin為1 800 r/min(沿逆時針方向)。提取圖1中不同位置的2個測點的振動信號進行對比分析。圖1中，測點1位于內(nèi)圈中心，用于獲取軸承內(nèi)圈的振動信號；測點2位于軸承座頂部中心點，用于獲取軸承座的振動信號。

4.1 模型驗證

為了驗證所建立的有限元模型的有效性，將有限元模型獲得的正常軸承的保持架轉(zhuǎn)速與文獻[17]獲得的理論值進行對比分析，如圖3所示。圖3中軸承保持架轉(zhuǎn)速ωc的中間值約為73.89 rad/s。根據(jù)文獻[17]的計算方法，保持架轉(zhuǎn)速的理論計算值為74.12 rad/s(ωc=0.5(πNin/60)(1-d/dm))。結(jié)果顯示，有限元模型的仿真結(jié)果與理論計算方法之間的差異為0.31%，表明所建立的有限元模型的有效性。

為了進一步驗證模型計算結(jié)果的正確性，將有限元模型獲得的正常軸承測點1的加速度響應頻譜特征與利用文獻[17]的方法獲得的結(jié)果進行對比分析，如圖4所示。圖4中，測點1的加速度響應頻譜中存在特征頻率30.53，140.4和219.7 Hz。該特征頻率分別與運用文獻[17]的方法計算獲得的內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)頻率30 Hz(Nin/60)、外圈通過頻率141.55 Hz((ZNin/(2×60))(1-d/dm))和內(nèi)圈通過頻率218.45 Hz((ZNin/(2×60))(1+d/dm))接近，表明所建立有限元模型的正確性。

圖3 正常軸承保持架角速度Fig.3 Rotation velocity of the cage of the healthy bearing

圖4 測點1的加速度響應頻譜Fig.4 Spectra of the acceleration of point #1

4.2 故障長度對滾子與滾道接觸力的影響

選取故障長度L分別為1，3和5mm，深度H為0.2 mm。圖5為故障長度對滾子#1與滾道之間接觸力的影響。圖5(a)顯示，滾子進入和退出載荷區(qū)的過程中，滾子與滾道之間的接觸力先逐漸增大再逐漸減小；當滾子位于如圖1所示的軸承載荷區(qū)的中間位置時，滾子與滾道之間的接觸力達到最大值；故障對滾子與外圈滾道之間接觸力的幅值和波形均有較大影響；滾子與滾道之間的接觸力存在周期性波動，該波動主要由其余滾子進入或退出載荷區(qū)以及軸承振動引起。

圖5 故障對滾子#1與滾道之間接觸力的影響Fig.5 Effect of defect on contact force between the roller and race

圖5(b)顯示了滾子#1通過故障區(qū)域時，滾子#1與外圈滾道之間接觸力的局部放大圖。圖5(b)表明，滾子#1進入故障區(qū)域時，滾子#1與外圈滾道之間的接觸力將逐漸變??；當滾子#1位于故障中心位置時，滾子#1與外圈滾道之間的接觸力達到最小值，當滾子#1與故障的末邊接觸時，滾子#1與外圈滾道之間的接觸力逐漸增大；當故障長度L=1 mm時，滾子#1通過故障區(qū)域時的接觸力沖擊波形為連續(xù)時變波形，其形態(tài)與正弦函數(shù)波形較為接近，如圖5(b)所示的區(qū)域A；當故障長度L=3 mm和5 mm時，滾子#1通過故障區(qū)域時的接觸力沖擊波形包括連續(xù)時變沖擊波形和連續(xù)時不變沖擊波形，分別如圖5(b)中的區(qū)域B和C所示。圖5(b)中，L=3 mm時，對于滾子#1與外圈滾道之間接觸力中的沖擊波形區(qū)域B，當滾子#1進入故障區(qū)域時，接觸力逐漸減小，該過程的接觸力沖擊波形為連續(xù)時變沖擊波形；當滾子#1完全進入故障區(qū)域時，接觸力的值變化至約為0 kN，直至滾子#1與故障區(qū)域的末邊發(fā)生接觸，該過程的接觸力沖擊波形為連續(xù)時不變沖擊波形；滾子#1與外圈滾道之間的接觸力降至約為0 kN，其原因為故障的尺寸較大導致滾子進入故障區(qū)域的幾何深度大于其余滾子與滾道之間的接觸變形，使得滾子#1與內(nèi)圈之間出現(xiàn)了未接觸的情況；當滾子#1接觸故障末邊直至離開故障區(qū)域時，該過程的接觸力沖擊波形為連續(xù)時變沖擊波形。圖5(b)中，L= 5 mm時，滾子#1與外圈滾道之間的接觸力中的沖擊波形區(qū)域C與區(qū)域B的變化情況相似，均由連續(xù)時變沖擊波形和連續(xù)時不變沖擊波形部分組成。圖5(b)中，當故障長度L=3 mm和5 mm時，滾子#1通過故障區(qū)域產(chǎn)生的時變接觸力沖擊波形區(qū)域B和C的形態(tài)可以認為是由正弦函數(shù)和矩形函數(shù)組成的復合函數(shù)波形。同時，圖5(b)顯示，滾子#1退出故障區(qū)域誘發(fā)的接觸力的沖擊波形變化明顯大于滾子#1進入故障局域?qū)е碌慕佑|力的變化。該現(xiàn)象說明，滾子退出故障區(qū)域誘發(fā)的滾子與滾道之間的沖擊力大于滾子進入故障區(qū)域時導致的沖擊力；滾子進入故障區(qū)域引起的軸承振動水平小于滾子退出故障區(qū)域誘發(fā)的軸承振動水平。

圖5(c)為故障深度對滾子#1與外圈滾道之間接觸力的影響。選取故障長度L為3mm。圖5(c)顯示，故障的深度對滾子與外圈滾道之間的接觸力幅值和波形也存在較大影響；其中，故障深度對滾子進入故障區(qū)域時接觸力的影響小于其對滾子退出故障區(qū)域時接觸力的影響。

圖6為載荷和內(nèi)圈轉(zhuǎn)速對滾子#1與滾道之間接觸力的影響。圖6(a)顯示，滾子#1和外圈滾道之間接觸力的幅值隨徑向外載荷的增大而增大，然而徑向外載荷對滾子#1和外圈滾道之間接觸力的波形影響較?。粷L子#1與故障末邊接觸力的波動幅值隨載荷增大而有所減小。圖6(b)和(c)顯示，滾子#1和外圈滾道之間接觸力的幅值隨內(nèi)圈轉(zhuǎn)速的增大而增大；然而，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速對滾子#1和外圈滾道之間接觸力的波形影響較?。粷L子#1與故障之間接觸力的持續(xù)時間隨內(nèi)圈轉(zhuǎn)速增大而減小。

表1為不同故障條件下滾子#1通過故障區(qū)域的時間對比情況。表1中，滾子通過故障區(qū)域的時間td等于故障外圈滾道圓周方向的圓周角除以滾子通過外圈滾道表面的角速度。從表1可知，采用有限元模型所獲得的滾子#1通過故障區(qū)域時間的仿真值與利用理論計算方法獲取的理論值之間存在一定差異，且隨著故障長度L的增大而呈現(xiàn)增大的趨勢。其原因是有限元模型中滾子與故障邊緣之間存在彈性接觸變形，而理論計算方法未考慮該因素的影響。上述計算結(jié)果表明，滾子與故障邊緣之間的彈性接觸變形對滾子通過故障區(qū)域的時間會產(chǎn)生一定影響，因此采用滾子通過故障區(qū)域時間為指標的軸承故障定量診斷方法需要考慮該因素的影響，以提高軸承故障診斷方法的準確性。

圖6 載荷和內(nèi)圈轉(zhuǎn)速對滾子#1與滾道之間接觸力的影響Fig.6 Effects of load and rotational velocity of inner race on contact force between the roller and race

Tab.1 Comparisons of time during the processing of the roller passing over the defect

故障長度/mm滾子通過故障區(qū)域的時間/ms仿真值理論值差異10.450.430.0231.451.300.1552.322.160.16

4.3 故障長度對軸承-軸承座系統(tǒng)振動響應的影響

選取故障長度L分別為0, 1，3和5mm，深度H為0.2 mm。其中，L=0 mm，為無故障軸承。圖7為無故障軸承與外圈滾道含故障的軸承的滾子#1沿y方向的時域振動加速度響應(ar)對比分析圖。圖7顯示，故障軸承滾子#1的振動加速度的幅值大于無故障軸承滾子#1的振動加速度的幅值；滾子#1通過故障區(qū)域時，滾子的振動加速度存在明顯的沖擊激勵，且該沖擊激勵的幅值隨故障長度L的增大而增大，如圖7中區(qū)域A，B和C所示。圖6(b)顯示，當故障長度L=1 mm時，滾子#1的振動加速度響應中存在沖擊激勵S1(區(qū)域A)，該沖擊激勵的波形為連續(xù)時變波形，與圖5(b)的區(qū)域A的結(jié)果類似，其形態(tài)也與正弦函數(shù)波形較為接近；結(jié)果表明，該故障工況誘發(fā)的滾子振動加速度響應的沖擊激勵可認為是呈正弦函數(shù)形態(tài)的連續(xù)沖擊波形。圖7(c)顯示，當故障長度L=3 mm時，滾子#1的振動加速度響應在區(qū)域B存在兩處沖擊激勵S2和S3。沖擊激勵S2和S3分別是由滾子#1進入和退出故障區(qū)域引起的。其中，沖擊激勵S3的幅值和持續(xù)時間均大于沖擊激勵S2的幅值和持續(xù)時間，其原因是故障末邊誘發(fā)的沖擊力大于故障起始邊(圖5(b)所示)。從圖7(d)可知，當故障長度L=5 mm時，滾子#1的振動加速度響應在區(qū)域C同樣存在兩處沖擊激勵S4和S5。其中，沖擊激勵S5的幅值和持續(xù)時間均大于沖擊激勵S4的幅值和持續(xù)時間，其原因與圖7(c)中敘述的原因一致。上述振動加速響應中沖擊激勵形態(tài)特征可為軸承故障的準確定量診斷提供有益的參考。

圖8為故障尺寸對軸承-軸承座系統(tǒng)中測點1(軸承內(nèi)圈選取點)和測點2(軸承座選取點)處振動加速響應的均方根值的影響規(guī)律。圖8顯示，測點1和測點2的振動加速度響應的均方根值值均隨故障長度和深度尺寸增大而增大，測點2的均方根值大于測點1。上述結(jié)果表明，軸承內(nèi)部的振動波傳遞到軸承座時，其振動能量將出現(xiàn)衰減現(xiàn)象。

圖7 故障長度對滾子#1加速度響應的影響Fig.7 Effect of defect on acceleration of the first roller

圖8 故障尺寸對軸承-軸承座系統(tǒng)加速響應的均方根值影響Fig.8 Effect of defect size on the root mean value of accelerations of the bearing-housing system

5 結(jié) 論

1) 以圓柱滾子軸承-軸承座系統(tǒng)為研究對象，綜合考慮其各部件的彈性變形、重力和軸承元件之間的接觸與摩擦的影響，建立含局部故障的軸承-軸承座系統(tǒng)有限元動力學模型，研究不同尺寸的局部故障誘發(fā)的軸承-軸承座系統(tǒng)的振動特征；分析局部故障尺寸變化對系統(tǒng)振動特征的影響規(guī)律。

2) 滾子進入和退出載荷區(qū)的過程中，滾子與滾道之間的接觸力先逐漸增大再逐漸減小；當滾子位于軸承載荷區(qū)的中間位置時，滾子與滾道之間的接觸力達到最大值。

3) 局部故障對滾子與外圈滾道之間接觸力的幅值和波形均有較大影響。當局部故障尺寸較小時，故障誘發(fā)的時變接觸力可認為是呈正弦函數(shù)形態(tài)的連續(xù)沖擊波形；當局部故障尺寸較大時，故障誘發(fā)的時變接觸力形態(tài)可以認為是由正弦函數(shù)和矩形函數(shù)組成的復合函數(shù)波形；滾子退出局部故障區(qū)域誘發(fā)的滾子與滾道之間的沖擊力大于滾子進入局部故障區(qū)域時導致的沖擊力。

4) 當局部故障尺寸較小時，故障誘發(fā)的滾子振動加速度響應的沖擊激勵呈正弦函數(shù)形態(tài)的連續(xù)沖擊波形；當局部故障尺寸較大時，故障誘發(fā)的振動加速度形態(tài)在滾子進入和退出故障區(qū)域時存在雙峰現(xiàn)象；滾子退出局部故障區(qū)域誘發(fā)的滾子與滾道之間的振動加速度大于滾子進入局部故障區(qū)域時導致的振動加速度。