楊曉榮 王瓊 葉唐進 土登次仁

1)(西藏大學理學院,拉薩 850000)

2)(西藏大學工學院,拉薩 850000)

1 引 言

近年來,反常輸運的研究受到了極大的關注.人們發(fā)現在很多地質和生物系統(tǒng)中廣泛存在反常輸運現象并提出了相應的研究模型[1?9].與經典的正常輸運過程不同,反常輸運通常表現出1)非高斯的傳播子,以及可能帶來的2)粒子均方位移與時間的非線性標度關系.比如,一系列研究孔隙介質中示蹤劑粒子輸運過程的實驗和數值模擬結果[10?13]表明: 當Péclet數(Pe)較大時,即對流相比于擴散對粒子輸運行為的影響重要得多時,上述兩種反常性質其實是“正?！钡?它們是一般孔隙介質輸運過程的“典型”特征.近期的研究表明這種反常輸運的典型性是流體動力學與孔隙結構耦合的結果[14?17].由于邊界層的影響,孔隙介質的壁面附近存在較大的速度梯度,引起了非均勻的空間速度分布,而孔隙空間的結構復雜性加劇了速度分布的異質性.當流場對輸運過程起主要影響,并且流場的速度分布具有強烈的異質性時,粒子的輸運行為將嚴重偏離經典的對流擴散方程所做出的預測,出現反常行為.反之,當Pe變小,即擴散的作用變得大于對流的作用時,上述的反?，F象逐漸消失,粒子的輸運行為表現為正常的,可以由達西尺度的對流擴散方程描述,同時傳播子為高斯型,且粒子的均方位移與時間呈線性標度關系[18?20].

由此可以看出: 當孔隙介質結構給定時,對流與擴散作用的相對重要性變化可以引起輸運性質的定性改變[13,17].本文的目的即是對這種改變進行初步探索,提出理論上的定性和半定量(如均方位移與時間的標度指數)理解.本文的結果對于地下水污染物運移行為的認識、模擬以及預測具有一定的理論和現實意義.

2 考慮對流和擴散兩種動力學起源的連續(xù)時間隨機行走模型

2.1 建模原則

采取經典的連續(xù)時間隨機行走模型對孔隙介質中的輸運過程進行建模.之前的工作表明該模型可以成功描述一系列反常輸運過程,包括有機大分子在細胞內的擴散過程,以及溶質分子在孔隙介質中的輸運等.對于我們感興趣的巖土介質中的輸運過程,近年來發(fā)展起一種新的技術,即對巖土孔隙介質進行掃描,并對掃描圖像進行處理得到相應的孔隙空間.在孔隙空間上,人們可以進行流體動力學模擬,直接求解Navier-Stokes方程和對流擴散方程來考察輸運過程[13,17]; 或者可以進一步對孔隙空間進行簡化抽象,將其看成一個網絡,這樣可以利用復雜網絡研究的一些結果考察網絡結構對輸運性質的影響[21].對于前者,人們發(fā)現連續(xù)時間隨機行走模型可以成功解釋觀察到的輸運現象; 對于后者,孔隙網絡提供了一個天然的框架,把經典的建立在規(guī)則晶格上的連續(xù)時間隨機行走模型推廣到網絡上.孔隙網絡中的節(jié)點為較大的“孔”,而連邊為相對狹長的“喉道”.孔隙空間的結構,特別是孔和喉道的形成與具體的物理過程相關.比如對于典型的沉積巖,孔喉的形成是顆粒物質沉降后在長期的地質作用下形成的,不同類型巖石的孔隙結構也有不同的特征.圖1給出了取自拉薩周圍地區(qū)的一塊巖心樣本的CT掃描圖像,以及相應的孔隙空間.通過這些圖像信息,可以建立相應的孔隙網絡.我們發(fā)現連續(xù)時間隨機行走理論仍然可以對網絡上的輸運性質進行解釋.關于這方面的具體數值模擬結果我們將在另外的工作中報道,本文主要討論與此相關的理論建模方面的問題.

圖1 拉薩周邊地區(qū)某巖心樣本的CT掃描圖像(左)及其對應的孔隙空間(右)Fig.1.Left: Micro-CT image of a rock sample from Lhasa;Right: the corresponding pore space extracted from the left image.

在孔隙網絡上,粒子從一個節(jié)點向另一個相鄰節(jié)點進行跳躍,相鄰兩次跳躍的空間位移矢量為相應的連邊,而時間間隔物理上等于粒子通過該連邊所需要的時間.統(tǒng)計上看,粒子的躍遷過程是隨機的,由兩個概率密度分布函數決定: 一個為位移矢量的分布,包括位移大小和方向,另一個為等待時間分布w(t).本文不考慮前者可能帶來的反常結果,如Lévy飛行[6,7],因為當孔隙介質不存在宏觀天然裂縫的時候,不會出現長距離的輸運.因此只考慮后者可能帶來的影響.眾所周知,理論上當等待時間的一階矩發(fā)散,或者一階矩有限而二階矩發(fā)散時,會出現反常輸運現象[4,18].生物大分子在細胞內的反常擴散是第一種情況的典型代表; 而在存在對流的情況下孔隙介質中的溶質輸運過程是后者的典型代表.在此過程中,粒子的輸運過程明顯受到對流和擴散的共同影響,具有雙重的動力學起源,但是在傳統(tǒng)的連續(xù)時間隨機行走模型中,等待時間分布并未區(qū)分這兩者分別的影響,從而物理意義不是特別明確,無法用于考察對流和擴散兩種機制對輸運過程影響的區(qū)別.

基于此,本文發(fā)展了經典的連續(xù)時間隨機行走模型[3,4],在等待時間分布中明確引入了對流和擴散對粒子躍遷過程的影響.為了引入等待時間分布,我們先考慮復雜孔隙介質中的流速場分布.假設孔隙介質的復雜結構可以使得流速場足夠“隨機”(通常是可以接受的),并且我們主要關注的是宏觀壓力降方向的輸運過程,那么可以考慮速度絕對大小的分布f(v).對于一個局域特征長度lc,粒子躍遷該長度所需要的時間是不失一般性,令lc=1,以此定義粒子的等待時間,則有注意該公式實際上考慮的是Pe為無窮大的情況下等待時間的分布,即只考慮對流,并沒有考慮擴散的影響.然而數值計算的結果表明,當Pe增加到一定程度時,即對流相對于擴散的作用強到一定程度時,該冪律分布即可以達到很好的近似[17].文獻中一般以此時的w(t)分布來分析反常輸運的均方位移隨時間變化的冪律指數.但粒子實際上同時受到對流和擴散作用的影響,一般來說,速度大小的概率分布式是比較復雜的,并且顯式依賴于流場的邊界條件、孔隙結構、溫度、流體黏度等.但在此并不關注其可能的精確表達式,而是研究在一階近似下這些可能的分布函數的共性特征.為此,作為對經典模型的一個直接推廣,本文把f(v)寫成一個混合模型的形式:

其中a1≥ 0,a2≥ 0,且a1+a2=1,f1為對流引起的粒子躍遷速度大小的概率密度分布函數,而f2為由擴散引起的粒子躍遷速度大小的概率密度分布函數.該模型形式上區(qū)分了對流和擴散的不同影響,在物理上,不同的輸運機制體現為f1和f2統(tǒng)計性質的定性區(qū)別.對流和擴散對輸運過程的相對影響力體現在權重因子a1和a2上.當a1→1,對流起主導作用; 當a2→1,擴散起主導作用.考慮到基于對流與基于擴散的輸運過程呈現出定性上完全不同的特點,本文在一階近似下把總的速度分布寫成這兩種因素的線性疊加,這就是本文分析的基本出發(fā)點.基于該模型,可以定性和半定量地研究輸運過程統(tǒng)計特征的變化.

2.2 理論分析

仍然保留經典的連續(xù)時間隨機行走模型的理論分析框架,考慮在t=0時刻粒子位于x=0,可以寫出粒子的躍遷方程[3,10]:

其中h(x,t)是粒子“剛剛”在t時刻到達x點的概率密度,l是躍遷位移的概率密度.那么粒子在t時刻仍處于x點的概率密度為

圖2 等待時間分布w(t)~t–1–a示意圖,不同統(tǒng)計特征導致定性上不同的輸運行為.以a=2為界,當a > 2時輸運行為是正常的,當0 2,the transport behavior is normal;while when 0

假定l(k)具有良好的性質,不會導致反常輸運.這在巖土類孔隙介質中是合理的假設,因為溶質粒子的躍遷距離因為孔隙結構的限制而不會具有特別大的差異.則可以在k=0的鄰域將l(k)展開為

這即是

所以有

綜上可得粒子的均方位移隨時間的關系為

由(10)式可見,當a1→ 0,即否則物理上,a1→ 0意味著對流的作用被極大削弱,擴散為主導項,所以表現出的標度律,即此時為正常擴散.反之,若a2→0,則對流占據主導,此時表現出反常輸運的特征而在一般情況下,兩者都不可以被忽略時,隨著時間的變化關系介于和t之間,取決于(10)式右邊各項的相對大小關系.

根據方程(10)式,在定性和半定量上,我們提出的考慮對流和擴散兩種動力學起源的連續(xù)時間隨機行走模型給出了輸運過程的合理理論解釋.

2.3 宏觀輸運方程

基于上述結果,還可以進一步發(fā)展具有工程意義的宏觀輸運方程,用于描述地下水污染物的運移行為.通過對感興趣的地理區(qū)域的巖石進行掃描分析建模,計算流體力學模擬[13,17],可以理論上得到反常冪指數a; 通過巖心物理實驗結果,可以對下述方程中的各項系數進行擬合[3],最終可以得到符合該地區(qū)巖土介質特點的輸運方程.

注意到

進行逆變換得:

當a1→0,即B→0時,va,Da→0,得到了經典的對流擴散方程,反之,則得到了用于描述反常輸運的分數階對流方程.注意(12)式在形式上與以前得到過的方程一致[17,18],但本文是在區(qū)分對流和擴散的物理效果上重觀此結果,具有更清楚的物理意義.這些系數(v1,D1,va,Da)一方面由對流和擴散的相對重要性決定,另一方面也和孔隙空間的結構緊密相關.特別是后兩者,它們實際上都依賴于a,而如上所述,a由流體動力學和孔隙結構給出[17].

2.4 討 論

以上主要研究的是在連續(xù)時間隨機行走模型中,由對流決定的那部分等待時間分布函數中a的取值范圍是1

直接對上述兩式進行逆Laplace變換得不到解析解,只能進行數值求解.但不難看出在擴散主導,a1=0的極限下這即是重現了正常輸運的結果.另一方面,在對流主導,a2=0的極限下而即

所以

類似地,在a1=0的極限下,可以得到描述正常輸運過程的經典對流擴散方程,而在a2=0的極限下其中其逆變換得到相應的輸運方程為

在兩者極限之間,得不到時間空間域的顯式解,但可以利用數值模擬進行逆變換求解.

所以,盡管本文的關注點是1

3 總 結

本文通過考察復雜孔隙介質中輸運過程的特征,考慮了對流和擴散的不同效果,提出具有不同動力學起源的等待時間分布函數,補充了經典的連續(xù)時間隨機行走模型,得到了一般情況下溶質輸運的長時間漸進行為,討論了對流和擴散效應的相對強弱對輸運行為的定性和半定量影響,并針對正常和反常輸運分別得到了相應的宏觀輸運方程.本文的結果有助于進一步認識和模擬復雜孔隙介質中的輸運行為,對于研究地下水污染物的運移行為具有一定的現實意義和工程價值.