呂晏旻 閔富紅

(南京師范大學電氣與自動化工程學院，南京 210023)

1 引 言

憶阻器是一種具有記憶功能的非線性元件,它的提出彌補了磁通與電荷間關系的缺失[1],其作為一種非線性二端口元件,適用于構(gòu)建混沌振蕩電路并產(chǎn)生復雜的非線性現(xiàn)象.但是,從1971年蔡少棠教授提出憶阻這一概念以來,憶阻器就因其物理工藝難度大、制造成本高等缺點,不適用于作為實用電路中的分立元件[2].因此,關于建立各類憶阻器等效電路或替代模型,構(gòu)建憶阻混沌電路的研究相繼廣泛開展[3?7].憶阻模型的建立主要有兩種思路,其一是基于惠普實驗室的一類憶阻模型,研究最為廣泛的是HP TiO2線性參雜漂移模型[3]和HP TiO2非線性窗函數(shù)憶阻模型[4]; 其二是根據(jù)憶阻原始定義構(gòu)建的二次非線性模型[5]、分段線性模型[6]、三次非線性模型[7]等.而將第二類憶阻器引入各類經(jīng)典混沌系統(tǒng),如蔡氏電路[8]、Loren系統(tǒng)[9]、Jerk電路[10]和文氏橋振蕩器[11]等,是構(gòu)建憶阻混沌系統(tǒng)最常見的方法之一.

較常規(guī)混沌系統(tǒng)而言,憶阻混沌系統(tǒng)會產(chǎn)生特殊且豐富的非線性動力學行為,因此有關憶阻系統(tǒng)的非線性動力學研究也已廣泛開展[12?17].近年來,隨著研究的深入,學者們也提出并定義了一些憶阻電路所特有的新的非線性現(xiàn)象,如隱藏吸引子[12]、自激吸引子[13]及反單調(diào)特性[14]等.其中,文獻[12]構(gòu)造了一個新型超混沌四維憶阻電路,針對該電路中存在的無限隱藏多吸引子共存現(xiàn)象進行分析.為了區(qū)別于隱藏吸引子的概念,文獻[13]將傳統(tǒng)連續(xù)混沌系統(tǒng)中由不穩(wěn)定鞍焦點產(chǎn)生的吸引子定義為自激吸引子.文獻[14]基于憶阻自激振蕩的jerk電路,觀察到一些新的特殊非線性現(xiàn)象,即反單調(diào)特性、周期窗與混沌危機.當然,多穩(wěn)態(tài)是許多非線性系統(tǒng)中的典型現(xiàn)象[18?21],也是近年來研究的熱點之一.它解釋了系統(tǒng)中多吸引子的共存現(xiàn)象,表現(xiàn)為在相同系統(tǒng)參數(shù)下改變不同的初值,系統(tǒng)擁有多個不同拓撲結(jié)構(gòu)吸引子,如左右混沌/超混沌、極限環(huán)或小周期等共存現(xiàn)象[18].當這種共存吸引子的數(shù)量趨于無窮時便被認為是無窮多吸引子的共存,研究者們將這種現(xiàn)象稱之為超級多穩(wěn)態(tài)[19].同時,憶阻系統(tǒng)中的多穩(wěn)定性可被作為信息應用工程的外加信號源[22],或用于圖像加密處理[23],因此研究此類憶阻混沌系統(tǒng)的實現(xiàn)方法和多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象具有理論意義與工程價值.

以上所述,均為目前報道過的憶阻系統(tǒng)中豐富且復雜的動力學行為.本文將二次非線性磁控憶阻模型引入改進型蔡氏電路[24],構(gòu)建新型四維憶阻系統(tǒng),觀察到憶阻電路中的對稱動力學行為,這一行為在之前極少被報道.文獻[25,26]根據(jù)憶阻系統(tǒng)對稱性出現(xiàn)時的極性平衡需求,提出極性調(diào)整與偏置控制的方法來構(gòu)建更為多樣的對稱憶阻系統(tǒng)及繁殖吸引子.因此,對系統(tǒng)自身存在的對稱行為進行分析是具有物理意義的,也可為后續(xù)控制與應用打下基礎.本文提出的憶阻電路模型簡單且規(guī)整,通過分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜等非線性分析手段,觀察到特定系統(tǒng)參數(shù)下特殊的對稱分岔行為.隨后,通過雙參數(shù)映射圖進一步探討這種特殊對稱行為的存在性.對稱域內(nèi)多吸引子共存的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象則通過對應參數(shù)-初值平面內(nèi)的運動狀態(tài)分布圖展現(xiàn),并使用混沌與周期的相軌跡圖驗證.最后,利用現(xiàn)場可編程邏輯門陣列(field programmable gate array,FPGA)實現(xiàn)所構(gòu)四維憶阻系統(tǒng).結(jié)合“Modelsim”與“ISE Design Suite”軟件,完成數(shù)字電路實驗,其結(jié)果也驗證數(shù)值仿真的正確性.

2 電路模型

以改進型蔡氏系統(tǒng)[24]為基礎,構(gòu)建一個基于絕對值憶阻模型的新型磁控憶阻混沌電路,整體電路方案如圖1(a)所示.圖1(b)是磁控憶阻模型的等效電路原理圖[27],其端口的對外特性與二次非線性的有源磁控憶阻器等效.

圖1 電路模型(a)磁控憶阻電路;(b)磁控憶阻等效電路Fig.1.Circuit schematic:(a)Flux-controlled memristor circuit;(b)equivalent Circuit of flux-controlled memristor.

表1 系統(tǒng)參數(shù)Table 1.The valueof system parameters.

在圖1(a)中,改進型磁控憶阻電路由四個一階非線性微分方程表示,其對應的四個狀態(tài)變量分別為電壓v1、電壓v2、電流i和磁通φ,這四個變量代表四個電路元件C1,C2,L和憶阻器W(φ)的電壓-電流或磁通-電荷關系.根據(jù)基爾霍夫定律,圖1(a)所對應的狀態(tài)方程如下

(1)式中磁控憶阻器的憶導方程如(2)式,其中α和β為兩個正憶阻參數(shù)值.

在無量綱化過程中,新的狀態(tài)變量與系統(tǒng)參數(shù)在(3)式中給出:

根據(jù)(1)式對應的電路狀態(tài)方程,可得到(4)式描述的數(shù)學模型,其中W(w)=?α+β|w| 是憶阻器的歸一化模型.

后續(xù)分析將以(4)式所描述的數(shù)學模型為基礎,系統(tǒng)參數(shù)設置如表1.初值設置為(10–9,0,0,0),圖2(a)為y-z平面上雙渦卷混沌吸引子相圖.圖2(b)展現(xiàn)y-z平面上對應的Poincaré截面圖,呈現(xiàn)的曲線是連續(xù)的,證明該系統(tǒng)是混沌的.

圖2 y?z 平面上典型混沌吸引子的相圖與Poincaré截面圖(a)相圖;(b)Poincaré截面圖Fig.2.Phase portrait and Poincaré map of typical chaotic attractor in y?z plane:(a)Phase portrait;(b)Poincaré map.

3 動力學行為分析

3.1 對稱共存分岔

為了討論不同參數(shù)下系統(tǒng)(4)的動力學機理,隨參數(shù)γ,c變化的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜分別在圖3和圖4中給出,其他系統(tǒng)參數(shù)的選擇如表1所示.將仿真初值設置為接近于原點的(±10?9,0,0,0),可最大程度地降低初值對系統(tǒng)動力學行為的影響.圖3(a)與圖4(a)中兩重疊的分岔軌跡展現(xiàn)的是狀態(tài)變量xmax隨參數(shù)γ,c的變化趨勢,其中藍紅兩色點分別對應初值(10?9,0,0,0)及(?10?9,0,0,0).其次,由于取相反初值時Lyapunov指數(shù)譜是大致相同的,因此圖3(b)和圖4(b)僅給出正初值(10?9,0,0,0)對應的Lyapunov指數(shù)譜.

觀察圖3(a)可知,參數(shù)γ在(0.704,0.808)范圍內(nèi)變化時,系統(tǒng)(4)處在周期態(tài).當參數(shù)γ∈(0.808,0.829)∪(0.845,0.9),四階憶阻系統(tǒng)(4)產(chǎn)生混沌吸引子,而且圖3(b)中對應的最大Lyapunov指數(shù)大于零.隨后,觀察圖4(b)的Lyapunov指數(shù)譜發(fā)現(xiàn) 0.9≦c≦1.13 時大部分最大Lyapunov指數(shù)均大于0,即系統(tǒng)處在混沌態(tài),同時運動過程中有多個周期窗出現(xiàn).參數(shù)c在(1.13,1.41)或(1.41,1.5)區(qū)間內(nèi)增加時,系統(tǒng)分別產(chǎn)生周期軌跡與穩(wěn)定不動點,兩區(qū)間內(nèi)相應的Lyapunov指數(shù)如圖4(b)所示,分別為零值與小于零的值.系統(tǒng)動力學狀態(tài)與具體區(qū)間分布如表2所列.總體而言,隨參數(shù)γ在0.66到0.9內(nèi)增加,新型憶阻系統(tǒng)從穩(wěn)定不動點過渡到周期態(tài),后又通過多個倍周期分岔進入混沌態(tài).值得注意的是,在參數(shù)c的變化范圍內(nèi),系統(tǒng)所呈現(xiàn)的動力學行為與參數(shù)γ變化時大致相反.換言之,隨這兩種不同參數(shù)變化時,系統(tǒng)分岔行為呈現(xiàn)對稱性.當參數(shù)c從0.9開始增加時,系統(tǒng)最先處在混沌狀態(tài),隨后經(jīng)過反向倍周期分岔進入周期,最后系統(tǒng)運動變?yōu)榉€(wěn)定不動點.

3.2 雙參數(shù)平面的運動分布

通過雙參數(shù)吸引盆討論系統(tǒng)參數(shù)對(運動狀態(tài)分)布對稱性的影響.系統(tǒng)(4)初值固定在 10?9,0,0,0 ,相關系統(tǒng)參數(shù)取值依據(jù)表1,可得到圖5的雙參數(shù)吸引盆.參數(shù)組合γ?b,c?b,γ?ξ與c?ξ所對應的運動狀態(tài)分布分別在圖5(a)—(d)中展現(xiàn),各種系統(tǒng)動力學行為用不同顏色標注,紫色為穩(wěn)定不動點,藍色為周期1,綠色描述周期2,黃色代表周期3,紅色為復雜運動,具體內(nèi)容見表3.值得指出的是,被命名為“復雜運動”的紅色區(qū)域,包含大于周期3的多周期與混沌運動.

觀察圖5可知,系統(tǒng)(4)擁有豐富的動力學行為和典型的非線性電路運動特征,即穩(wěn)定不動點、周期態(tài)與混沌態(tài).為了方便分析與討論,將圖5(a)、圖5(b)與圖5(c)、圖5(d)分為兩組,分別命名為組Ⅰ和組Ⅱ,發(fā)現(xiàn)同組中的吸引盆是對稱的.當參數(shù)γ∈(0.66,0.86),不論另一變化參數(shù)取值如何,系統(tǒng)總是依次歷經(jīng)不動點、周期與混沌三種運動.而參數(shù)c從1.0增加到1.5的過程中,吸引域分布從混沌到周期,再過渡到穩(wěn)定不動點.這意味著雙參數(shù)平面內(nèi)運動分布的對稱性依然是由于參數(shù)γ,c下系統(tǒng)演變趨勢的相反性,同時其他系統(tǒng)參數(shù)的取值對這種對稱性影響甚微.若將兩組吸引盆進行組間比較會發(fā)現(xiàn),組Ⅱ的系統(tǒng)運動分布呈現(xiàn)類帶狀,而組Ⅰ的吸引域分布是不規(guī)則的,這種不規(guī)則態(tài)在混沌與周期交疊區(qū)域更為明顯.結(jié)合圖1(a)所示電路模型可知,組Ⅰ內(nèi)的另一變化參數(shù)b代表電路中電容C2,組Ⅱ參數(shù)ξ則表示電阻R的值.這表明,當選擇不同參數(shù)變量時,系統(tǒng)的運動狀態(tài)分布會呈現(xiàn)出明顯的差異性.另外,組Ⅱ穩(wěn)定不動點的區(qū)域更多,占到總體的2/3左右,但組Ⅰ中的不動點區(qū)域僅占總體的1/4.組Ⅰ內(nèi)更大的綠色及黃色范圍也說明,系統(tǒng)在參數(shù)γ?b或c?b組合下,出現(xiàn)以周期2,3為代表的小周期運動的可能性更高.綜上,系統(tǒng)運動的對稱性不會被其他參數(shù)變化破壞,但是吸引域的分布特性會受另一參數(shù)變量選擇的影響.

圖3 隨參數(shù) γ 變化的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜(a)分岔圖;(b)Lyapunov指數(shù)譜Fig.3.Bifurcation and Lyapunov exponent spectrum with parameter γ :(a)Bifurcation diagram;(b)Lyapunov exponent spectrum.

圖4 隨參數(shù)c變化的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜(a)分岔圖;(b)Lyapunov指數(shù)譜Fig.4.Bifurcation and Lyapunov exponent spectrum with parameter c :(a)Bifurcation diagram;(b)Lyapunov exponent spectrum.

表2 參數(shù) γ ,c變化時系統(tǒng)運動狀態(tài)與對應的Lyapunov指數(shù)Table 2.The dynamic behavior and Lyapunov exponent with parameter γ and c.

表3 不同顏色所對應的系統(tǒng)運動狀態(tài)Table 3.Colors and the corresponding system states.

當然,圖5所呈現(xiàn)的雙參數(shù)吸引盆在紅黃兩色區(qū)域中的重疊散點也是值得注意的.由于分布對稱性的存在,參數(shù)γ∈(0.81,0.86)且b∈(6,9)或參數(shù)c∈(1,1.1)且b∈(6,9)時,散點尤為明顯.這表明這兩塊區(qū)域內(nèi),該憶阻系統(tǒng)的運動切換更為頻繁,且吸引子結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性差.然而,圖5(c)和圖5(d)內(nèi)的散點較少,系統(tǒng)會出現(xiàn)完整且穩(wěn)定的紅色區(qū)塊.這意味著參數(shù)γ?ξ及c?ξ組合下,該憶阻系統(tǒng)具有更好的混沌特性及魯棒性,并且混沌吸引子結(jié)構(gòu)更為穩(wěn)定.如果選擇所提出的系統(tǒng)(4)作為隨機信號發(fā)生器或用來產(chǎn)生信息加密的密鑰,在參數(shù)范圍γ∈(0.81,0.86)∪ξ∈(?0.1,0.13)或c∈(1,1.1)∪ξ∈(?0.1,0.13)內(nèi)選擇參數(shù)值可得到更好的應用效果.

3.3 對稱域內(nèi)的多穩(wěn)態(tài)特性

這里主要討論特定參數(shù)下對稱多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的存在性,以及依賴于初值的多吸引子共存現(xiàn)象.隨γ?x(0)與c?x(0)變化的吸引子分布分別在圖6(a)和圖6(b)中給出,初始條件設置為(x(0),0,0,0),其中x(0)為非憶阻初值.當然,憶阻系統(tǒng)(4)對于憶阻初值的變化十分敏感,因此在圖7中給出γ?w(0)及c?w(0)平面上的吸引盆，w(0)為憶阻初值,其中圖7(a)和圖7(b)初值為(?10?9,0,0,w(0)).之后,為了(分析的完整性),圖7(c)和圖7(d)選擇相反初值 10?9,0,0,w(0).不同顏色區(qū)域描述多種形態(tài)的共存吸引子,包括紫色描述的點吸引子、淺藍與深藍標注的左右共存周期1、綠色與青色表示的左右周期2、黃色與草綠描述的左右共存周期3及紅橙兩色標注的左右共存復雜運動,具體內(nèi)容如表4.需要指出的是,圖中僅有9種顏色,即9種狀態(tài)被區(qū)分.事實上,在不同初始條件下,系統(tǒng)中存在多種不同拓撲結(jié)構(gòu)的吸引子,這意味著該憶阻系統(tǒng)中存在多穩(wěn)態(tài)或極端多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.

圖6 不同變量組合下的共存吸引盆(a)γ?x(0)平面,初始條件為(x(0),0,0,0);(b)c?x(0)平面,初始條件為(x(0),0,0,0)Fig.6.Attraction basins of coexistence in different planes:(a)γ?x(0)plane,with initial value of(x(0),0,0,0);(b)c?x(0)plane,with initial value of(x(0),0,0,0).

圖7 不同變量組合下系統(tǒng)狀態(tài)分布圖(a)γ?w(0)平面,初始條件為(?10?9,0,0,w(0));(b)c?w(0)平面,初始條件為(?10?9,0,0,w(0));(c)γ?w(0)平面,初始條件為(10?9,0,0,w(0));(d)c?w(0)平面,初始條件為(10?9,0,0,w(0))Fig.7.Attraction basins of coexistence in different planes:(a)γ?w(0)plane,with initial value of(?10?9,0,0,w(0));(b)c?w(0)plane,with initial value of(?10?9,0,0,w(0));(c)γ?w(0)plane,with initial value of(10?9,0,0,w(0));(d)c?w(0)plane,with initial value of(10?9,0,0,w(0)).

表4 運動狀態(tài)與色標的對應表Table 4.Different colors and the corresponding dynamical state.

觀察圖6和圖7所展示的吸引盆,發(fā)現(xiàn)兩種類型的對稱特性.其一,系統(tǒng)運動分布關于相反初值存在對稱性.其二,在參數(shù)γ,c的相應變化范圍內(nèi),系統(tǒng)共存吸引子的分布域也是大致對稱的.圖6(a),圖7(a)和圖7(c)所展現(xiàn)的均是隨參數(shù)γ變化的多吸引子共存現(xiàn)象,系統(tǒng)總體運動呈現(xiàn)周期到混沌的趨勢.由于特殊參數(shù)下的對稱性,系統(tǒng)隨參數(shù)c的運動行為與參數(shù)γ變化時相反,如圖6(b),圖7(b)和圖7(d)所示,這與圖3、圖4中單參數(shù)變化情況一致.當 0.708≦γ≦0.82 時,可以找到九種不同結(jié)構(gòu)的共存吸引子.同樣地,在 1.048≦c≦1.37 范圍內(nèi),系統(tǒng)也出現(xiàn)9種吸引子共存現(xiàn)象.通過共存相圖進一步驗證這種多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的存在性,按照上述吸引盆所呈現(xiàn)的運動狀態(tài)分布,選擇特殊參數(shù)下的不同初值繪制出具有多種拓撲結(jié)構(gòu)的共存吸引子.圖8和圖9展示的相軌跡圖分別與吸引盆圖6(a)、圖7(a)和圖7(c)對應,圖10、圖11則對應吸引盆圖6(b)、圖7(b)及圖7(d),相應的初值設置見表5.其中,圖8與圖10固定參數(shù)γ=0.74 ,其他參數(shù)按表1設置,得到不同結(jié)構(gòu)的吸引子類型.特殊的是,圖10完整展現(xiàn)吸引盆所區(qū)分的9種共存吸引子類型,包括穩(wěn)定不動點及左右共存(周期1、周期2、周)(期3和混沌,其)對應(的初值分別為 ±1)0?9,0,0,?0.45 ,±10?9,0,0,0,±10?9,)0,0±0.45 ,(±10?9,0,0±0.5)及 ±10?9,0,0,±0.9.此外,取參數(shù)c=1.274 ,選取初值(±0.45,0,0,0),(±0.8,0,0,0)及(±0.1,0,0,0)可得到圖9所呈現(xiàn)的周期3,混沌與周期1吸引子相圖; 相圖11所展示的左右點吸引子,左右周期1,與左(右混沌對應)的初值分別為(±10?9,0,0,?0.45),±10?9,0,0,0 及(±10?9,0,0,±0.9).由于該憶阻系統(tǒng)吸引域分布對稱性的存在,圖9及圖11兩張圖所展現(xiàn)的吸引子運動相軌跡與圖8、圖10相一致,但其呈現(xiàn)形態(tài)又因初值的微小差別而不同.需要指出的是,從吸引盆的分布情況看出,選擇的兩種固定參數(shù)下周期2的狀態(tài)較少,因此僅在圖10(b)中展現(xiàn),表明在憶阻系統(tǒng)(4)中此狀態(tài)確實存在.

表5 不同初值對應的共存多吸引子類型Table 5.Coexisting multiple attractor with different initial condition.

圖8 參數(shù) γ=0.74 ,x?z 平面上不同初值下的多種共存吸引子(a)左右共存周期3;(b)左右共存混沌與左右共存周期1Fig.8.For different initial value,phase diagram of coexisting attractors in x?z planes when γ=0.74 :(a)Coexisting attractors of period-3;(b)coexisting attractors of chaos and period-1.

圖9 參數(shù) c=1.274 ,x?z 平面上不同初值下的多種共存吸引子(a)左右共存周期3;(b)左右共存混沌與左右共存周期1Fig.9.For different initial value,phase diagram of coexisting attractors in x?z planes when c=1.274 :(a)Coexisting attractors of period-3;(b)coexisting attractors of chaos and period-1.

圖10 參數(shù) γ=0.74 ,x?z 平面上不同初值下的多種共存吸引子(a)左右共存周期3、左右共存周期1與穩(wěn)定不動點;(b)左右共存混沌與左右共存周期2Fig.10.For different initial value,phase diagram of coexisting attractors in x?z planes when γ=0.74 :(a)Coexisting attractors of period-3,period-1 and fixed point;(b)coexisting attractors of chaos and period-2.

圖11 參數(shù) c=1.274 ,x?z 平面上不同初值下的多種共存吸引子(a)左右共存周期3與穩(wěn)定不動點;(b)左右共存混沌與左右共存周期1Fig.11.For different initial value,phase diagram of coexisting attractors in x?z planes when c=1.274 :(a)Coexisting attractors of period-3 and fixed point;(b)coexisting attractors of chaos and period-1.

綜上,通過相軌圖與吸引盆相互驗證,可證明多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的存在性.當然,由于該系統(tǒng)依賴于初值的極端敏感,不同參數(shù)取值下,系統(tǒng)(4)會出現(xiàn)更多乃至無窮多具有不同拓撲結(jié)構(gòu)的吸引子,且這些吸引子具有多種統(tǒng)計特性,即多樣的動力學特征.這也意味著,所構(gòu)憶阻系統(tǒng)中存在多穩(wěn)態(tài)甚至超級多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.

4 基于FPGA的憶阻數(shù)字電路實現(xiàn)

為了拓展此類記憶元件的應用,將系統(tǒng)(4)進行離散化并用FPGA數(shù)字平臺進行實現(xiàn).FPGA是可重復編寫的硅芯片,與定制電路最大的不同就是其內(nèi)部有事先建立的邏輯塊及可被重新編寫的布線資源,其功能的實現(xiàn)依賴于用戶的編程.因此,這樣的數(shù)字電路實現(xiàn)平臺在更改系統(tǒng)參數(shù)或初值等設置上更為方便精準,適用于實現(xiàn)憶阻混沌電路.本次使用四階龍格-庫塔法離散憶阻系統(tǒng)(4),該算法與其他常用離散化算法,如Euler法或二階龍格-庫塔法相比較,擁有穩(wěn)定性高、精度好等一系列優(yōu)點.之后,得到離散化方程(5),其中i=1,2,3,4,分別對應方程(4)中x,y,z,w四項,相應的參數(shù)取值如表1所示.同時,考慮到DA轉(zhuǎn)換的±5V范圍,需要添加一個縮放系數(shù)E,結(jié)合相圖中各項范圍,給定E為0.5,迭代步長h設置為0.0001.

各遞歸參數(shù)表示為如下形式:

整體設計編寫四個模塊,即module_Mem,module_K4,module_XB和module_DA數(shù)字化實現(xiàn)該憶阻系統(tǒng).其中,module_Mem模塊為頂層模塊,其余三個模塊為底層模塊,頂層模塊是整體設計的核心,控制并調(diào)用各底層模塊,控制流程如圖12.從圖12看出,按順序調(diào)用module_K4與module_XB兩模塊便可實現(xiàn)四階龍格-庫塔算法.此外,另一底層模塊module_DA服務于高速DA轉(zhuǎn)換器,此次采用的數(shù)模轉(zhuǎn)換芯片為AD9767,其功能是將浮點數(shù)轉(zhuǎn)換為定點數(shù),并賦值給輸出通道,最終在示波器上捕捉到相應時序圖與相圖.

接著,完成FPGA數(shù)字實現(xiàn),實物連接圖與系統(tǒng)混沌態(tài)實現(xiàn)結(jié)果如圖13所示,其中圖13(b)為y?z平面上的雙渦卷混沌吸引子相圖,該混沌相圖與數(shù)值仿真所展示的圖2(a)相對應.圖13(c)分別展示y,z兩項時序圖,并用藍色與黃色線條表示.此外,為了證實所構(gòu)憶阻系統(tǒng)存在對稱共存的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,在圖14中展現(xiàn)固定參數(shù)a=1,b=3.5,c=1.274,γ=0.86ξ=0.12,選取不同初值時y-z平面上的共存吸引子.這組共存吸引子與圖11所示的數(shù)值仿真結(jié)果對應,圖14(a)和圖14(d)為左右共存的周期1吸引子,此時初值設定為(±10?9,0,0,0); 圖14(b)和圖14(e)呈現(xiàn)初值為(±10?9,0,0,±0.45)時的共存周期3吸引子,與圖11(a)一致.共存單渦卷混沌吸引子由圖14(c)和圖14(f)給出,初值選擇為(10?9,0,0,0.9)和(?10?9,0,0,?0.9).通過FPGA數(shù)字電路實驗,證實所構(gòu)憶阻系統(tǒng)(4)的物理可實現(xiàn)性.數(shù)值仿真結(jié)果與電路實驗結(jié)果的一致性,也證明該系統(tǒng)確實存在多吸引子共存的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.

圖12 頂層模塊控制流程圖Fig.12.The flow chart of calling order.

圖13 FPGA實物連接圖與實現(xiàn)結(jié)果(a)實物連接圖;(b)y-z平面相圖;(c)y,z兩項時序圖Fig.13.The hardware connection diagram and the result of implementation:(a)The hardware connection diagram;(b)phase diagram in y-z plane;(c)timing diagram of the term y and z.

5 結(jié) 論

本文基于新型四維磁控憶阻電路,觀察特定系統(tǒng)參數(shù)的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜,發(fā)現(xiàn)該憶阻電路中對稱分岔行為的存在性.通過雙參數(shù)吸引盆再次驗證系統(tǒng)運動狀態(tài)的對稱性是真實存在的,分析該憶阻系統(tǒng)在對稱吸引域內(nèi)的多穩(wěn)態(tài)特性.同時,基于FPGA技術(shù)的電路實驗平臺,完成該憶阻系統(tǒng)的數(shù)字電路實現(xiàn),在示波器上捕捉到雙渦卷混沌吸引子與多種狀態(tài)的共存.實驗結(jié)果表明數(shù)值仿真的有效性,以及新型四維磁控憶阻電路的物理可實現(xiàn)性.當然,目前所構(gòu)憶阻電路中的對稱動力學行為還無法從理論角度來解釋.系統(tǒng)的動力學行為會受到平衡點位置的影響,考慮到無法準確定位該憶阻系統(tǒng)的平衡點,之后會進行更多的工作并探索新的方法來解決這一問題,從理論出發(fā)更易找出這種特殊對稱行為存在原因與規(guī)律.