☉江蘇省常熟市王淦昌中學(xué) 尹瑰雯

合情推理是人們憑借已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)所作出的合乎情理的認(rèn)知過程，這是運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、聯(lián)想、直覺等思維形式在某種情境與過程中所進(jìn)行的合理推斷.《新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了促進(jìn)學(xué)生了解合情推理的含義，以及幫助學(xué)生學(xué)會(huì)簡單推理的具體要求，因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)能借助已有的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活實(shí)例來幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)并體會(huì)合情推理的作用，使學(xué)生能夠?qū)W會(huì)簡單的推理.

一、教學(xué)過程中的合情推理

教師在教學(xué)中應(yīng)能及時(shí)地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展過程并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想與合情推理，簡單來說，就是猜想與合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展與學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該占據(jù)一席之地.因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)首先幫助學(xué)生樹立積極的合情推理的意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在概念、定理、結(jié)論、公式的生成學(xué)習(xí)中逐步展開有意識(shí)的猜想與推理，使學(xué)生擁有足夠的推測和猜想的空間并經(jīng)歷合情推理、演繹推理，使學(xué)生將形象思維、直覺思維、邏輯思維積極地調(diào)動(dòng)起來并由此促進(jìn)學(xué)習(xí)的進(jìn)一步生成.

案例1多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性——?dú)w納探究

問題1：請對以下函數(shù)的奇偶性進(jìn)行判斷：

問題2：已知f（x）=kx+b是一次函數(shù)，則其在什么情況下為奇函數(shù)呢？

二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c在什么情況下為偶函數(shù)呢？

猜想：一元n次函數(shù)f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn在什么情況下為奇函數(shù)呢？在什么情況下為偶函數(shù)呢？是否可以分別進(jìn)行證明？引導(dǎo)學(xué)生在一元三次、一元四次函數(shù)的試驗(yàn)與探究中獲得以下結(jié)論：

當(dāng)a1=a3=a5=…=0時(shí)，f（x）為偶函數(shù)；當(dāng)a0=a2=a4=…=0時(shí)，f（x）為奇函數(shù).

案例2球的表面積公式——類比推導(dǎo)

問題1：已知某旋轉(zhuǎn)體模型的高與底面半徑相等，請觀察并嘗試猜想：

問題2：大家還記得我們之前是怎樣進(jìn)行推導(dǎo)得出圓的面積公式的呢？

學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)精確度因?yàn)樗址輸?shù)的不斷增加而提高，圓的面積公式在份數(shù)無窮大時(shí)便能順利得出，學(xué)生在經(jīng)歷分割、求近似和、化準(zhǔn)確和的學(xué)習(xí)過程中順利地獲得了圓的面積公式.教師可以在學(xué)生的這一學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上引導(dǎo)其對球的表面積公式進(jìn)行探究.

教師在上述案例中都沒有直接給出結(jié)論，而是引導(dǎo)學(xué)生對知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展進(jìn)行了探究，師生之間的互動(dòng)、交流、討論和推理或許不夠完善和嚴(yán)密，但學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、選擇推理方法、歸納總結(jié)結(jié)論的合情推理中卻獲得了理性思維的鍛煉與發(fā)展.

二、培養(yǎng)學(xué)生的合情推理意識(shí)

1.激發(fā)合情推理意識(shí)

數(shù)學(xué)合情推理的進(jìn)行需要數(shù)學(xué)直覺的支撐.因此，教師應(yīng)保障學(xué)生直覺推理的時(shí)空并對學(xué)生進(jìn)行積極的引導(dǎo)，使學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)、圖形等方面的特征與信息上進(jìn)行觀察與分析，從而刺激學(xué)生的直覺思維并提出合理的猜想.

案例3已知數(shù)列{an}中，則通項(xiàng)公式an=______.

該習(xí)題是“數(shù)列的概念與表示方法”第一課時(shí)中的一個(gè)題目，很多學(xué)生在怎樣從遞推公式入手及變形獲得通項(xiàng)公式時(shí)遇到了障礙，但實(shí)際上，如果設(shè)n=1，2，3，4，則有最終引導(dǎo)學(xué)生在直覺思維的支撐下，歸納出{an}的通項(xiàng)公式為

2.形成合情推理意識(shí)

對于教師的解題技巧與速度，很多學(xué)生都會(huì)表現(xiàn)出驚訝與佩服，但同時(shí)他們也會(huì)心存疑問：老師是怎么想到的呢？解決學(xué)生的這一疑問無疑是相當(dāng)重要的，因此，教師應(yīng)將解題方法進(jìn)行具體的介紹，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，并因此促進(jìn)學(xué)生合情推理意識(shí)的逐漸形成.

案例4設(shè)，求（3-v）］2的最小值.

從代數(shù)角度來解決此題往往會(huì)令學(xué)生一籌莫展，但若是能夠?qū)（u，v）的形式進(jìn)行仔細(xì)地觀察，從其與距離公式的平方的相似上入手，即可將問題轉(zhuǎn)化為求動(dòng)點(diǎn)P（u，與Q（v，3-v）之間距離的最小值又是半圓x2+y2=2（y≥0）上的動(dòng)點(diǎn)，Q（v，3-v）為直線x+y=3上的動(dòng)點(diǎn)，過圓心作直線l的垂線并得出f（u，v）min=

每個(gè)解題者在解題時(shí)都會(huì)努力地尋找一種相似，這一過程需要“結(jié)構(gòu)聯(lián)想”的支撐才能實(shí)現(xiàn)解題上的突破，因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)進(jìn)行“結(jié)構(gòu)聯(lián)想”，并實(shí)現(xiàn)知識(shí)向能力的順利轉(zhuǎn)化.

3.培養(yǎng)合情推理意識(shí)

變式訓(xùn)練主要是在已有材料的變更上作出的以點(diǎn)帶面的練習(xí)，有效的變式訓(xùn)練能夠幫助學(xué)生完善知識(shí)體系并實(shí)現(xiàn)信息和方法的遷移，變式訓(xùn)練也是培養(yǎng)學(xué)生合情推理意識(shí)的極為重要的載體與途徑.

案例5設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-5，0）和（5，0），直線AM和BM相交于點(diǎn)M，兩直線的斜率之積為

變式2：設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是和，直線AM和BM相交于點(diǎn)M，兩直線的斜率之則點(diǎn)M的軌跡方程如何？

變式1：設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-5，0）和（5，0），直線AM和BM相交于點(diǎn)M，兩直線的斜率之積為k，則點(diǎn)M的軌跡方程如何？積為k，則點(diǎn)M的軌跡方程如何？

變式3：設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-a，0）和（a，0）（a＞0），直線AM和BM相交于點(diǎn)M，兩直線的斜率之積為k，則點(diǎn)M的軌跡方程如何？

引導(dǎo)學(xué)生在反思過程中進(jìn)行命題的變式是尤為必要的，這能使學(xué)生在探索中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)合情推理的優(yōu)勢，并因此獲得合情推理意識(shí)的進(jìn)一步發(fā)展.

4.強(qiáng)化合情推理意識(shí)

波利亞在如何解題上有其獨(dú)到的見解，他特別關(guān)注在解題或證明問題時(shí)發(fā)現(xiàn)簡單的類比題，類比題的發(fā)現(xiàn)可以引導(dǎo)解題者順利解決原問題是他一直持有的觀點(diǎn).根據(jù)不同對象的特性、屬性、關(guān)系等方面的相同或相似之處進(jìn)行其他方面的推理，這種推導(dǎo)其他可能相同或相似的思維形式的過程即為類比推理.直線和平面、平面和空間、圓和圓錐曲線的性質(zhì)、數(shù)和形等方面的類比是高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的問題.

案例6平面幾何中的勾股定理如下：設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2.將其拓展到空間，研究三棱錐的側(cè)面面積和底面面積之間的關(guān)系時(shí)也可將其進(jìn)行類比，運(yùn)用平面幾何的勾股定理進(jìn)行類比可得以下正確結(jié)論：設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則______.

相比而言，平面幾何問題的思考屬于低級(jí)思維的范疇，空間幾何問題的思考則屬于高級(jí)思維的領(lǐng)域.事實(shí)上，確實(shí)有很多有關(guān)三角形的結(jié)論在三棱錐問題中可以進(jìn)行類比，比如直角三角形中的勾股定理在三棱錐三側(cè)面兩兩垂直問題中的類比，則有.不僅如此，勾股定理的證明方法也同樣可以在此處進(jìn)行類比，那么結(jié)論的得出也就不是難事了.

教師在學(xué)生進(jìn)行練習(xí)時(shí)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成預(yù)估解題思路能解性的習(xí)慣，不管是否能夠見到答案都應(yīng)該保留這樣的意識(shí)與行為，這是培養(yǎng)學(xué)生良好的“猜想”習(xí)慣所必須具備的.這種預(yù)估解題能解性的習(xí)慣性思考不僅能夠幫助學(xué)生優(yōu)化思維并因此提升解題的準(zhǔn)確度，而且在其他問題的思考上也因此獲得了更加充裕的時(shí)間.不僅如此，教師在具體教學(xué)中對學(xué)生觀察能力、分析類比技巧、大膽猜想意識(shí)的培養(yǎng)和鍛煉正是發(fā)展學(xué)生合情推理能力的必須途徑，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情、提升學(xué)生解題能力的必經(jīng)手段.當(dāng)然，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與自身發(fā)展的不同水平也會(huì)令其在實(shí)際學(xué)習(xí)中有不同的表現(xiàn)，運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)問題、解決問題也并不是都能令教師滿意，或者能夠完全正確地運(yùn)用，合情推理運(yùn)用遭遇障礙也會(huì)時(shí)有發(fā)生.因此，教師在日常教學(xué)中應(yīng)對學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行了解和掌握，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況對學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力的提升進(jìn)行訓(xùn)練，關(guān)注學(xué)生的合情推理能力在各階段的發(fā)展水平，不斷鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中積極嘗試，引導(dǎo)學(xué)生不斷反思并在嘗試、反思、修正、提升中獲得數(shù)學(xué)合情推理能力的不斷發(fā)展.