陳保家，賀王鵬，胡 潔，王 賡，郭寶龍

(1.三峽大學 水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室，湖北 宜昌 443002;2.西安電子科技大學 空間科學與技術學院，陜西 西安 710071)

大型復雜機械設備的狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷理論與技術一直是國內(nèi)外的研究熱點。如果能在機械設備故障的初期階段識別故障，并及時采取有效措施進行維護，對于保障設備運行安全具有重要意義[1-2]。然而在機械設備診斷過程中，無論是在時域還是在頻域上采集得到的振動信號總是包含著噪聲干擾成分[3]。因此，如何精確提取微弱故障特征是大型復雜機械設備的狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷領域所面臨的巨大挑戰(zhàn)[4]。

信號稀疏表示方法是強噪聲干擾下提取微弱故障特征的有效方法之一，基于l1范數(shù)的凸正則化是目前應用最為廣泛的稀疏表示方法，不僅能夠有效地誘導稀疏，而且利用l1范數(shù)方法所建立的目標函數(shù)具有嚴格凸性，可很容易利用算法得到全局最優(yōu)解。但l1范數(shù)方法容易低估被提取信號的高振幅分量，而振動峰值信號往往可能包含著更多的故障特征信息。非凸正則化也得到了廣泛的應用，對高振幅分量的估計更為準確的同時，還可以提取出更為稀疏的故障特征。然而，非凸正則項的引入可能會犧牲目標函數(shù)的嚴格凸性，使其具有不相關的局部極小值。針對此問題，一些學者在近年來研究了能夠保持目標函數(shù)整體為凸的非凸稀疏正則化凸優(yōu)化問題，且所得結果比凸稀疏正則化更佳[5]。文獻[6]采用非凸精細正則化用于增強特征稀疏性，有效地解決了軸承故障診斷中耦合稀疏故障特征分離的問題。文獻[7]提出了一種基于非凸稀疏正則化的齒輪箱故障特征提取方法，解決了從噪聲數(shù)據(jù)中同時提取周期瞬態(tài)和高共振分量用于齒輪箱故障檢測的問題。文獻[8]提出了一種針對軸承的故障診斷方法，采用非凸正則項來增強特征的稀疏性，該方法有效地提高了軸承故障信號的估計精度。文獻[9]提出了一種功率分配算法用于多站分布式雷達的目標定位，對凸松弛算法加以改進，通過凸松弛參數(shù)的自修正減少凸松弛算法的額外誤差來逼近最優(yōu)結果。

筆者提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的廣義最小最大凹(Generalized Minimax-Concave，GMC)懲罰函數(shù)增強的稀疏特征提取方法。該稀疏特征提取方法是利用廣義最小最大凹懲罰函數(shù)建立優(yōu)化問題目標函數(shù)，以提高故障特征的提取精度，并且證明了保持目標函數(shù)整體為凸所需要滿足的約束條件。引入近端算法求解所構造的無約束優(yōu)化問題。此外，筆者研究了數(shù)據(jù)驅(qū)動的正則化參數(shù)設置準則，保證所提出的稀疏特征提取方法具有參數(shù)自適應性。將該方法應用于仿真信號和實際故障實驗中，結果表明，所提出的方法可以精確地從噪聲干擾中提取出微弱故障特征且效果更稀疏。

1 信號模型和廣義最小最大凹懲罰函數(shù)

1.1 信號模型

假設觀測到的信號y的表達式為

y=x+w，

(1)

其中，x表示故障信號，是由局部故障引起的重復瞬態(tài)；w表示背景噪聲，一般為高斯白噪聲和其他不需要的分量。

1.2 廣義最小最大凹懲罰函數(shù)

在文中，廣義最小最大凹懲罰函數(shù)用來加強特征的稀疏性[10]。廣義最小最大凹懲罰函數(shù)是利用由卷積下確界定義的Huber函數(shù)進行多元推廣得到的，是一類能夠確保最小二乘目標函數(shù)嚴格凸性的非凸罰函數(shù)，既避免了傳統(tǒng)l1范數(shù)正則化求解算法問題的低估特性，又能更大限度地增強提取特征的稀疏性[5]。

一般，變尺度Huber函數(shù)可定義為

sb(x):=s(b2x)/b2,b≠0 ，

(2)

(3)

根據(jù)Huber函數(shù)，定義最小最大凹懲罰函數(shù)：

(4)

因此，一元變尺度懲罰函數(shù)(最小最大凹懲罰函數(shù))可定義為

φb(x)=|x|-sb(x) 。

(5)

若存在矩陣B，則可得到Huber函數(shù)的多元推廣sB(x)，其表達式為

(6)

對應的最小最大凹懲罰函數(shù)多元推廣(即廣義最小最大凹懲罰函數(shù))的表達式為

ψB(x)=‖x‖1-sB(x) ,

(7)

其中，sB(x)為Huber函數(shù)的多元推廣。圖1為廣義最小最大凹懲罰函數(shù)ψB(x)的曲線。

圖2 懲罰函數(shù)的非凸程度與參數(shù)大小之間的關系

文中調(diào)節(jié)參數(shù)b或矩陣B可實現(xiàn)對廣義最小最大凹懲罰函數(shù)非凸程度的控制。若標量參數(shù)b≥0，則矩陣B滿足半正定。改變參數(shù)大小，廣義最小最大凹懲罰函數(shù)非凸程度的變化情況如圖2所示[11]。通過觀察圖2可發(fā)現(xiàn)，隨著參數(shù)b值的增大，懲罰函數(shù)的非凸程度加大，提取特征的稀疏性也在不斷加強。

2 稀疏信號優(yōu)化特征提取算法

針對稀疏故障特征提取精度低的難題，筆者提出一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的廣義最小最大凹懲罰函數(shù)增強的稀疏特征提取方法。具體包括稀疏優(yōu)化問題的構造、目標函數(shù)為凸的約束條件、快速收斂算法流程以及正則化參數(shù)的自適應準則。

2.1 優(yōu)化問題的構造

基于稀疏增強的廣義最小最大凹懲罰函數(shù)，構造如下無約束優(yōu)化問題：

(8)

其中，F(xiàn)為無約束優(yōu)化問題的目標函數(shù);y∈RN,為觀測到的含噪信號。

2.2 目標函數(shù)為凸的約束條件

所建立的優(yōu)化問題目標函數(shù)整體的嚴格凸性，可通過控制廣義最小最大凹懲罰函數(shù)的非凸程度來實現(xiàn)，其理論依據(jù)為：目標函數(shù)中的第1項為二次項具有嚴格凸性，因此通過對廣義最小最大凹懲罰函數(shù)中的非凸可控化參數(shù)進行控制，調(diào)整廣義最小最大凹懲罰函數(shù)的非凸程度以確保目標函數(shù)F的整體凸性。故在用近端算法求解該優(yōu)化問題時，最終結果迭代收斂于全局最優(yōu)解，且不會受不相關的次優(yōu)局部極小值的影響。

定理1設y∈RN，λ>0。則式(8)中F為凸函數(shù)時應滿足[10]：

(9)

其中，B可以設置為

(10)

2.3 基于近端算法的快速收斂算法

(11)

鞍點問題是單調(diào)包含問題的實例，因此可通過前向-后向算法(Forward-Backward Algorithm，F(xiàn)BA)計算得到[11]。具體算法步驟如下：

輸入：y∈RN,,。

初始化：ρ=max{1,γ/(1-γ)}, 0<μ<2/ρ。

對i=0,1,2...執(zhí)行循環(huán)：

(1)ω(i)=x(i)-μ(I(x(i)+γ(v(i)-x(i)))-y)。

(2)u(i)=v(i)-μγ(v(i)-x(i))。

(3)x(i+1)=soft(w(i),μλ)。

(4)v(i+1)=soft(u(i),μλ)。

直至收斂。

輸出：x。

2.4 正則化參數(shù)自適應準則

圖3 正則化參數(shù)λ隨噪聲標準差σ的變化情況圖

這里研究數(shù)據(jù)驅(qū)動的正則化參數(shù)設置準則，保證所提出的稀疏特征提取方法具有參數(shù)自適應性。由于背景噪聲大小的不同，目標函數(shù)中的正則化參數(shù)λ的取值也不同。對于不同大小的噪聲，都存在著最優(yōu)的正則化參數(shù)λ，使得稀疏故障特征的提取達到最好的效果。因此，可根據(jù)噪聲標準差σ的大小，設置廣義最小最大凹懲罰函數(shù)構造的目標函數(shù)的正則化參數(shù)λ。在實踐中，為了加強特征的稀疏性使提取結果達到最佳稀疏效果，懲罰函數(shù)中的非凸可控化參數(shù)一般設置為γ=0.8。經(jīng)過大量的數(shù)值模擬，統(tǒng)計得到噪聲標準差σ與正則化參數(shù)λ的關系與擬合直線如圖3所示。通過該擬合直線，對于不同噪聲干擾可以自適應地對正則化參數(shù)進行設置。

3 數(shù)值模擬信號驗證

在本節(jié)中，仿真研究所提出的廣義最小最大凹懲罰函數(shù)增強的稀疏特征提取方法在故障特征提取方面的性能，模擬一組沖擊信號并加入高斯白噪聲n(t)以模擬背景干擾噪聲。其中單個沖擊信號的表達式為

x(t)=exp(-20t)sin(100t) ,

(12)

仿真信號的表達式為

y(t)=Ax(t)+n(t) ,

(13)

其中，A表示沖擊信號的幅值。圖4(a)為模擬的沖擊信號波形，含噪的模擬信號波形如圖4(b)所示，其中fs=1 000 Hz作為采樣頻率，選取信號分析長度M=10 000以及添加的噪聲其標準差σ=0.08。圖4(b)中，模擬的沖擊信號被強烈的背景噪聲所破壞，無法識別和觀測到脈沖特征及故障特征頻率。選用均方根誤差(Root-Mean-Square Error，RMSE)[12]對其進行性能評估，對于圖4(b)中的含噪仿真信號，其均方根誤差為0.096 5。

圖4 仿真信號波形及特征提取結果

利用文中所提出的方法對該含噪仿真信號進行處理，所得到的特征提取結果如圖4所示，其中加入了l1范數(shù)正則化方法以供對比，正則化參數(shù)設置λ=0.23。結果表明，與l1范數(shù)正則化方法相比，所提出的方法能夠在降低背景噪聲的同時保留沖擊信號的幅值，其均方根誤差為0.072 2，而l1范數(shù)正則化方法的均方根誤差為0.080 6。

4 實際信號驗證

為驗證所提出的廣義最小最大凹懲罰函數(shù)增強的稀疏特征提取方法在機械故障識別中的有效性，將其應用于識別某軌道交通實驗臺的滾動軸承外圈輕微損傷故障。軸承安裝在測試實驗裝置上，測試采樣頻率為12.8 kHz，轉(zhuǎn)速約為481 r/min。通過滾動軸承具體參數(shù)，計算得到其外圈故障對應的理論特征頻率為fo=57.8 Hz[13]。

圖5(a)為采集到的軸承外圈故障信號時域波形，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，時域信號中干擾噪聲比較大，觀察不到清晰的故障沖擊特征。針對實際測量得到的信號，背景噪聲的標準差σ可以由基于小波基去噪的絕對中位差方法進行估計得到[14]。此數(shù)據(jù)估計得到的背景噪聲標準差σ=0.164 8，據(jù)此自適應設置正則化參數(shù)為λ=0.48。如圖5(b)所示，所提出的方法能夠有效地降低背景噪聲且保留沖擊信號的幅值，明顯地觀察到所有的故障沖擊特征，沖擊單元的時間間隔約為17.2 ms，對應特征頻率為58.1 Hz，與計算得到的外圈故障理論特征頻率fo=57.8 Hz基本一致。

圖5 實際信號波形及特征提取結果

5 結束語

筆者提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的廣義最小最大凹懲罰函數(shù)增強的稀疏特征提取方法。該方法能夠在保留故障特征頻率的同時很好地消除背景噪聲干擾成分。利用所提出的方法建立的無約束優(yōu)化問題目標函數(shù)可有效地提高特征的提取精度，廣義最小最大凹懲罰函數(shù)的非凸性用于加強故障特征的稀疏性。此外，證明了廣義最小最大凹懲罰函數(shù)保證目標函數(shù)整體為凸所需滿足的約束條件。引入近端算法求解基于廣義最小最大凹懲罰函數(shù)的優(yōu)化問題，該算法最終收斂于全局最優(yōu)解。通過RMSE指標，定量地分析了所提出的數(shù)據(jù)驅(qū)動的廣義最小最大凹懲罰函數(shù)增強的稀疏特征提取方法，在仿真信號中的正確性及有效性。最后，將所提出的方法通過實驗和實際應用對軸承故障進行診斷，結果表明，該方法可有效地識別出滾動軸承外圈輕微損傷故障。