李西園，封寶華，張麗娜，王 磊，王 晶,3

（1. 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094； 2. 北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191；3. 可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點實驗室，北京 100094）

0 引言

航天器系統(tǒng)、各單機均需要在空間環(huán)境模擬（環(huán)模）設(shè)備內(nèi)部進行真空熱試驗[1]。根據(jù)標準要求，熱平衡試驗至少包括極端高溫和極端低溫2個工況，熱真空試驗則至少包括4個高、低溫循環(huán)[2]。一般而言，大型組件的真空熱試驗對空間環(huán)模設(shè)備的占用時間可達1周甚至1月以上。我國的空間環(huán)模設(shè)備建設(shè)主要由航天重大型號牽引，著眼于滿足載人飛船、空間站艙段等特殊航天器研制的需求[3]。近年來，隨著導航、通信、遙感等衛(wèi)星的并行研制和高密度發(fā)射，在各種規(guī)模的空間環(huán)模設(shè)備中均出現(xiàn)過試驗進度沖突的現(xiàn)象。目前，針對試驗等待的情況一般只能通過流程優(yōu)化、管理優(yōu)化的方式提升試驗效率[4]，以盡量縮短等待時間，而缺少通過數(shù)學、統(tǒng)計學方法評估設(shè)備負載能力、優(yōu)化試驗進度安排、指導設(shè)備建設(shè)規(guī)劃的相關(guān)研究。

排隊論屬于數(shù)學中運籌學的分支學科，其主要研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊現(xiàn)象的規(guī)律[5]。通過統(tǒng)計服務(wù)對象到達間隔和服務(wù)時間的分布，得出平均排隊長度、排隊時間等關(guān)鍵指標的統(tǒng)計規(guī)律，并以此為依據(jù)改進系統(tǒng)設(shè)計[6]，使系統(tǒng)實現(xiàn)承載能力、效率的最優(yōu)。目前排隊論已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于服務(wù)行業(yè)優(yōu)化[7]、通信系統(tǒng)接口改進[8]、道路負載能力計算[9]等過程中。

本文針對某系列中型空間環(huán)模設(shè)備的最大負載問題，統(tǒng)計近5年間該系列設(shè)備的系統(tǒng)啟動、關(guān)閉時間，基于M/G/k/∞/∞/FCFS模型建立其排隊模型，并通過蒙特卡羅方法計算出不同任務(wù)量、不同試驗持續(xù)時間分布下的仿真結(jié)果。該排隊模型可以給出系列化空間環(huán)模設(shè)備在不同任務(wù)量、不同試驗持續(xù)時間分布下的試件平均排隊長度、平均排隊時間等關(guān)鍵指標，用于評估未來任務(wù)量增多時的環(huán)模設(shè)備利用率，為設(shè)備建設(shè)規(guī)劃提供參考。

1 仿真模型

1.1 系統(tǒng)模型

例某大型AIT試驗大廳共有4臺供同時開展試驗的中型空間環(huán)模設(shè)備，太陽電池板、天線、微小衛(wèi)星及其他試件依次排隊等待空閑設(shè)備進行真空熱試驗。

一般的航天器及組件真空熱試驗可以分為試驗設(shè)計、試驗準備、試驗進行、試驗撤收、試驗數(shù)據(jù)整理幾個階段，其中在試驗準備、試驗進行和試驗撤收階段需要完全占用空間環(huán)模設(shè)備，期間不能進行其他試驗。統(tǒng)計空間環(huán)模設(shè)備測控系統(tǒng)的啟動、關(guān)閉時間是準確統(tǒng)計試驗時間的一種有效方法[10]。本文統(tǒng)計了2014年至2018年共計237次調(diào)試與試驗任務(wù)的測控系統(tǒng)啟動、關(guān)閉時間，其中間隔5天以上的同名試驗按照2次試驗計算，啟動、關(guān)閉時間接近且占用同一容器的多個試驗（一般為搭載試驗）按照1次試驗計算。試驗對空間環(huán)模設(shè)備占用時間T1與測控系統(tǒng)運行時間T2的關(guān)系如圖1所示：T1=t1+t2+t3，T2=t2+t3。本文按照T1=1.5×T2來估算環(huán)模設(shè)備占用時間，即認為對測控系統(tǒng)占用時間長的復雜試驗，其試驗準備時間也線性增加。

2014年至2018年237次試驗任務(wù)的試驗間隔時間、試驗持續(xù)時間統(tǒng)計結(jié)果見表1。

表1 試驗間隔時間與試驗持續(xù)時間統(tǒng)計Table 1 Statistics of test pieces arrival time and test duration

1.2 試驗間隔時間分布

在排隊模型中，試驗間隔時間分布一般有確定型（D）、負指數(shù)型（M）和k階埃爾朗（Ek）分布等，其中以負指數(shù)分布最為常見。圖2所示為本文統(tǒng)計的試驗間隔時間分布與負指數(shù)分布曲線的對比，可以看到二者較為接近。

圖2 試驗間隔時間分布Fig.2 Distribution of test intervals

Kolmogorov-Smirnov方法可基于累積分布函數(shù)，檢驗一個經(jīng)驗分布是否符合某種理論分布或比較兩個經(jīng)驗分布是否有顯著性差異[11]。本文統(tǒng)計的試驗間隔近似服從θ=7.19的負指數(shù)分布，其中參數(shù)θ的標準誤差為0.47，K-S檢驗結(jié)果參數(shù)p為0.13，即選擇顯著性水平α=0.05時，不能拒絕試驗間隔時間服從負指數(shù)分布的假設(shè)，其概率密度為

式中θ為負指數(shù)分布的尺度參數(shù)。當試驗間隔時間分布服從負指數(shù)分布時，可以認為試件到達為泊松流，即單位時間內(nèi)到達的試件數(shù)量n服從泊松分布

式中λ為單位時間內(nèi)隨機事件的平均發(fā)生次數(shù)，取為1/θ。

圖3為月平均試件到達數(shù)量分布統(tǒng)計與泊松分布的對比，可以看到單位時間內(nèi)達到的試件數(shù)量近似服從泊松分布，表明對于試驗間隔時間服從負指數(shù)分布的假設(shè)是合理的。

圖3 月平均試件到達數(shù)量分布Fig.3 Distribution of the number of monthly arrived test pieces

1.3 試驗持續(xù)時間分布

在排隊模型中，服務(wù)時間分布一般有指數(shù)型（M）、一般型（G）和k階埃爾朗（Ek）分布等，其中一般型包括正態(tài)分布、Gamma分布等形式。圖4為本文統(tǒng)計的試驗持續(xù)時間分布與負指數(shù)分布、截斷正態(tài)分布、Gamma分布的對比，并進行K-S檢驗，結(jié)果見表2。表中：θ為負指數(shù)分布的尺度參數(shù)；μ、σ為截斷正態(tài)分布的位置參數(shù)和尺度參數(shù)；α、β為Gamma分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。

如表2所示，當顯著性水平α=0.05時，不能拒絕試驗持續(xù)時間服從Gamma分布的假設(shè)，其概率密度為

圖4 試驗持續(xù)時間分布Fig.4 Comparison among distributions of test duration

式中，Gamma分布的形狀參數(shù)α、尺度參數(shù)β的擬合值分別為3.05和3.15。

1.4 排隊模型構(gòu)建

試件排隊進行真空熱試驗的排隊模型（圖5）可以用M/G/k/∞/∞/FCFS模型描述，即：試驗間隔時間服從負指數(shù)分布，試件占用空間環(huán)模設(shè)備的時間服從Gamma分布，隊列為單一隊列多服務(wù)臺模型，系統(tǒng)容量和試件數(shù)無限制，排序規(guī)則為先到先服務(wù)規(guī)則。

圖5 真空熱試驗試件排隊模型Fig.5 Queuing model for the test pieces

目前對于M/G/k排隊模型尚沒有公式化的推導過程，平均排隊時間和平均排隊長度等指標亦沒有明確的數(shù)學表達式，可采用近似公式給出[12]，但對于不同排隊長度的概率，則較難通過經(jīng)驗公式求解。本文通過MatLab建立了試件排隊進行試驗的蒙特卡羅仿真模型，對比不同的試驗持續(xù)時間分布對于仿真結(jié)果的影響。仿真工況如表3所示（其中任務(wù)量比以現(xiàn)有任務(wù)量下的θ=7為基準）。

表3 排隊模型仿真工況Table 3 Simulation cases

2 計算結(jié)果分析

本文通過蒙特卡羅方法分別對每個計算工況進行了100次仿真，仿真中的試驗持續(xù)時間分布分別采用負指數(shù)（Exp）分布、截斷正態(tài)（Norm）分布和Gamma分布。統(tǒng)計排隊模型關(guān)鍵指標平均值見表4，表中：W為試件在試驗大廳的停留時間；Wq為試件在試驗前的平均排隊時間；Ws為試件的平均試驗時間；Lq為試件平均排隊長度；N為排隊系統(tǒng)中的平均試件數(shù)，取等待中試件和試驗中試件數(shù)量之和。同時，對工況中試驗大廳內(nèi)無空置環(huán)模設(shè)備的概率Pfull進行了統(tǒng)計。

表4 不同任務(wù)量下排隊模型仿真的關(guān)鍵參數(shù)統(tǒng)計Table 4 Analysis of key parameters of queuing models with different test task numbers

為了對蒙特卡羅模型的收斂性進行評估，引入離散系數(shù)，對于一組仿真中獲得的排隊模型關(guān)鍵參數(shù)樣本x，其可以表示為

式中：SD(x)為樣本的標準差；為樣本的平均值。通過離散系數(shù)可以對多組平均值、單位不同的樣本進行離散度比較，統(tǒng)計排隊模型關(guān)鍵指標仿真值的離散系數(shù)如表5所示?？梢钥吹?，對于所有計算工況，多次蒙特卡羅仿真獲得的結(jié)果非常接近，排隊模型關(guān)鍵參數(shù)的離散系數(shù)均小于0.05，可以認為結(jié)果已經(jīng)收斂，即本文通過蒙特卡羅法求解的結(jié)果可以代表該排隊模型的關(guān)鍵參數(shù)。

表5 排隊模型關(guān)鍵參數(shù)仿真值的離散系數(shù)Table 5 Coefficients of variation for key parameters of the queue model

圖6為不同任務(wù)量下根據(jù)3種試驗持續(xù)時間分布所計算的試件排隊長度分布。由圖可見：任務(wù)量較低時，不同的試驗持續(xù)時間分布對試件排隊長度分布影響非常??；但隨著任務(wù)量的增大，負指數(shù)分布的試驗持續(xù)時間分布逐漸與截斷正態(tài)分布和Gamma分布產(chǎn)生差異。

圖6 試件排隊長度分布Fig.6 Distribution of queue length

圖7和圖8為不同任務(wù)量、不同試驗持續(xù)時間分布下，試件進行試驗前的平均排隊長度、平均排隊時間以及試驗大廳內(nèi)無空置環(huán)模設(shè)備的概率?？梢钥吹剑涸诳臻g環(huán)模設(shè)備負載量相對較低時，由于不同試驗持續(xù)時間分布的數(shù)學期望一致，排隊時間、排隊長度等關(guān)鍵指標并無差異；隨著任務(wù)量的增大，試驗持續(xù)時間的分布對平均排隊長度和平均排隊時間均會產(chǎn)生影響，其中截斷正態(tài)分布與Gamma分布的計算結(jié)果較為接近，負指數(shù)分布的計算結(jié)果則偏差較大。這表明，針對真空熱試驗的試件排隊問題，應(yīng)選取與實際情況最為接近的Gamma分布或截斷正態(tài)分布。此外，當試驗持續(xù)時間分布不發(fā)生變化時，若任務(wù)量繼續(xù)上升，在達到當前任務(wù)量的2倍前，平均排隊長度、平均排隊時間隨任務(wù)量的增加緩慢增加；但若任務(wù)量達到當前任務(wù)量的2.4倍以上時，平均排隊長度、平均排隊時間上升斜率迅速變大，現(xiàn)有設(shè)備將難以滿足全部試件的進度要求。

圖7 平均排隊時間和平均排隊長度Fig.7 Average waiting time and queue length

圖8 無空置環(huán)模設(shè)備的概率Fig.8 Probability of no-vacancy state of facilities

3 結(jié)論

1）本文統(tǒng)計的試驗間隔時間近似服從θ=7.19的負指數(shù)分布。隨著任務(wù)量的上升，負指數(shù)分布的尺度參數(shù)θ逐漸降低；試驗對空間環(huán)模設(shè)備的占用時間近似服從Gamma分布。

2）當任務(wù)負載量較低時，排隊模型的關(guān)鍵參數(shù)僅和試驗持續(xù)時間分布的數(shù)學期望有關(guān)，因此不同分布對排隊關(guān)鍵參數(shù)的影響很?。浑S著任務(wù)量增大，模型間差異逐漸增大，選取與實際情況最接近的Gamma分布或截斷正態(tài)分布計算結(jié)果較為接近，均可用于對試件的排隊估算。

3）當試驗持續(xù)時間等關(guān)鍵參數(shù)不發(fā)生改變時，在任務(wù)量達到當前值的2.0倍之前，平均排隊時間、排隊長度不會發(fā)生較大變化；但當任務(wù)量達到當前值的2.4倍以上時，平均排隊時間、平均排隊長度將會迅速上升，現(xiàn)有設(shè)備數(shù)量將難以滿足全部試件的進度要求。

本文建立的排隊模型可用于估算組批空間環(huán)模設(shè)備的最大試驗承載能力，并為未來相應(yīng)設(shè)備的建設(shè)與規(guī)劃提供參考。