葛東明，史紀鑫，鄧潤然，范晶巖

（北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）

0 引言

隨著航天技術的發(fā)展，航天器由帶單軸驅(qū)動太陽電池陣形式向著大撓性多體方向發(fā)展，例如空間機械臂、雙軸驅(qū)動太陽電池陣、多自由度驅(qū)動天線等。這種剛體和柔性體的混合系統(tǒng)，在各體之間存在大范圍轉(zhuǎn)動運動的同時，還疊加著彈性振動。復雜的剛?cè)狁詈蟿恿W效應，以及與控制系統(tǒng)的控制-結(jié)構交叉耦合，使得在這類復雜航天器的動力學特性分析，特別是GNC控制方案驗證中，對柔性多體動力學模型的需求十分迫切[1-4]。

隨著航天器功能的復雜化，航天器逐漸呈現(xiàn)出構型時變、多級驅(qū)動、柔性化等特征[5-14]。具體表現(xiàn)在：1）動力學問題越來越突出，系統(tǒng)構型實時變化，準靜態(tài)建模方法已經(jīng)無法適應，系統(tǒng)模型必須對構型的變化具有連續(xù)性；2）復雜的動力學特性與控制系統(tǒng)耦合越來越緊密，總體指標分配和系統(tǒng)性能驗證越來越依賴于仿真，且對動力學建模的精細化程度要求越來越高；3）模型越來越復雜，由簡單的準靜態(tài)、線性模型向柔性、多體、非線性模型發(fā)展，對變構型重構模型、柔性多體模型的需求越來越多。

本文針對具有多軸天線驅(qū)動、機械臂運動、空間站艙段轉(zhuǎn)位等多體運動特征的航天器，基于拉格朗日方程和有限元方法，給出一種柔性多體動力學建模方法。此方法適用于開鏈式拓撲結(jié)構，所建立的動力學方程考慮了大角度剛體相對轉(zhuǎn)動、彈性部件振動和柔性關節(jié)變形特性。將該柔性多體動力學建模方法程序化并應用于工程實際，可實現(xiàn)完全自主的動力學建模、模型代碼輸出和控制聯(lián)合仿真功能，為此類航天器的動力學特性分析及其控制系統(tǒng)設計與系統(tǒng)級仿真驗證服務。結(jié)合工程實際對象，與商業(yè)柔性多體軟件Adams進行對比，驗證了該建模方法及其軟件實現(xiàn)的正確性和通用性。

1 動力學模型

采用第二類拉格朗日方程，針對浮動基座、樹形開鏈式拓撲結(jié)構、線性小變形的柔性多體類航天器，建立其柔性多體動力學模型。航天器力學模型為樹形拓撲結(jié)構，由本體、部件和關節(jié)組成，如圖1所示。其中，Oixiyizi是慣性參考系，Obxbybzb是本體參考系，Oaixaiyaizai是部件i參考系，Otixtiytizti是關節(jié)i參考系。本體可以自由運動；部件和本體之間，以及相鄰部件之間通過關節(jié)連接。本體是以慣性空間為參考的剛性體；部件可以是剛性結(jié)構，也可以是柔性體結(jié)構，部件之間由驅(qū)動關節(jié)連接，彈性體和關節(jié)順序命名。

圖1 樹形拓撲結(jié)構的力學模型Fig.1 Mechanical model in tree topology

1.1 柔性體建模

針對圖1中的第i個部件建立其動力學模型，其無阻尼自由振動方程可寫為

式中：mii、mij、mji、mjj為質(zhì)量矩陣；kii、kij、kji、kjj為剛度矩陣；xi為內(nèi)部節(jié)點響應；xj為界面節(jié)點響應。

采用Craig-Bampon模態(tài)法[15]可得部件i的物理自由度與模態(tài)坐標的關系為

圖2 柔性體連接示意Fig.2 Flexible body connections

由于本文推導采用相對坐標形式，需將界面點ξai,1和 ξai,2由絕對坐標變換為相對坐標。將界面點ξai,2重新定義為在部件參考系Oaixaiyaizai下的相對坐標

基于方程(5)、(6)，部件i的動能和勢能描述分別為：

當部件i考慮為剛體時，其勢能為0，且動能描述可簡化為

1.2 柔性關節(jié)建模

柔性關節(jié)模化為質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)（如圖1所示）：質(zhì)量反映電機的慣性；彈簧反映電機的驅(qū)動剛度，由3個線彈簧和3個卷簧組成。關節(jié)的動能和勢能描述分別為：

1.3 系統(tǒng)動能和勢能

根據(jù)各部件和關節(jié)之間的界面連接關系，系統(tǒng)動能和勢能可以由如下條件獲得。

1）當關節(jié)i連接部件i-1時，連接關系為

當i=1時，下標0代表本體。

2）當部件i連接關節(jié)i時，連接關系為

其中：Ca(i-1)→ti為部件i-1參考系Oa(i-1)xa(i-1)ya(i-1)za(i-1)到關節(jié)i參考系Otixtiytizti的變換矩陣；Cti→ai為關節(jié)i參考系Otixtiytizti到部件i參考系Oaixaiyaizai的變換矩陣；rti為界面點 ξti,2在關節(jié)i參考系Otixtiytizti下的位置矢量。上標t和r則分別代表相應物理量的平動分量和轉(zhuǎn)動分量。

利用連接關系式(12)和(13)，系統(tǒng)動能和勢能的一般描述分別為：

式(14)、(15)中：ω0=[vbωb]T，vb和ωb分別為本體平動速度和轉(zhuǎn)動角速度；為沿著驅(qū)動軸的關節(jié)角速度；為廣義質(zhì)量矩陣，是關節(jié)角q的函數(shù)，q=[q1q2……qn]T，qi為沿著驅(qū)動軸的關節(jié)角；Ω為廣義剛度陣。

1.4 系統(tǒng)動力學方程

根據(jù)第二類拉格朗日方程，利用方程(14)和(15)的偏導數(shù)，獲得剛?cè)狁詈蟿恿W方程

由上述動力學建模過程可知，本建模方法具備以下特點：1）對于浮動基座、樹形開鏈式拓撲構型、線性小變形結(jié)構都是適用的；2）基于結(jié)構有限元模型建立柔性動力學方程，對一般線性結(jié)構是通用的；3）基于矢量力學的矩陣矢量運算，便于軟件實現(xiàn)；4）通過模型代碼生成或封裝，便于與控制系統(tǒng)的聯(lián)合仿真和驗證。

2 工程應用實例

2.1 帶多軸驅(qū)動天線的整星動力學建模

某衛(wèi)星天線帶有多軸驅(qū)動機構，為了評估天線驅(qū)動過程對本體姿態(tài)的影響，需要將整星柔性多體動力學模型與姿態(tài)控制系統(tǒng)聯(lián)合仿真，傳統(tǒng)的柔性耦合動力學分析已經(jīng)無法適應，須建立整星多級柔性鏈動力學模型。

模型由衛(wèi)星本體、兩側(cè)單軸驅(qū)動太陽電池陣、三軸驅(qū)動天線結(jié)構、三軸驅(qū)動柔性關節(jié)組成。采用第1章給出的柔性多體動力學建模方法，能夠模擬電機驅(qū)動下天線的運動過程，并獲得結(jié)構在運動過程中的實時動力學特征（結(jié)構的頻率和振型），直接供控制分系統(tǒng)進行仿真分析。建模中，將兩側(cè)太陽電池陣和天線反射面作為柔性體考慮，衛(wèi)星本體、驅(qū)動臂和天線基座作為剛性體考慮，同時考慮電機關節(jié)驅(qū)動剛度。

下面給出本文的柔性多體動力學建模方法與商用軟件Adams仿真結(jié)果的對比分析。

1）系統(tǒng)頻率對比：將太陽電池陣鎖定，天線關節(jié)鎖定，求解系統(tǒng)頻率，本文方程與Adams軟件的對比結(jié)果如表1所示，可以看出二者的一致性較好。

表1 本文方程與Adams軟件模型的系統(tǒng)頻率對比Table 1 Comparison of system frequency between the flexible multi-body dynamic equation and Adams model

2）時間響應對比：將太陽電池陣鎖定，對本體施加6個方向的力和力矩，以及天線3個關節(jié)的驅(qū)動力矩，即方程(16)中的輸入為T=[-20 N 10 N 30 N-5 N·m 10 N·m 30 N·m 0.5 N·m 0.5 N·m 0.5 N·m]。本文方程和Adams軟件求得的系統(tǒng)時間響應對比如圖3所示，可以看出二者的一致性較好。

圖3 本文方程與Adams軟件模型的時間響應對比Fig.3 Comparison of time response between the flexible multi-body dynamic equation and Adams model

2.2 帶大型柔性天線的整星動力學建模

未來航天器上應用的大型可展開天線的口徑可能會越來越大，性能指標也會更加嚴格，而衛(wèi)星姿軌控、熱致振動等導致的機械運動必然會引起大型反射面天線的振動，影響天線電性能乃至任務完成質(zhì)量。某整星對象是由大口徑網(wǎng)狀天線、多關節(jié)大型伸展臂、太陽電池陣與衛(wèi)星本體組成的大慣量低頻剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)，呈現(xiàn)出典型的大撓性體特征。

天線的點波束指向精度和穩(wěn)定度對網(wǎng)狀天線擾動非常敏感。天線在軌振動影響分析和振動抑制效率分析的基礎是整星剛?cè)狁詈蟿恿W模型，其是整星動力學、姿態(tài)控制、振動抑制多回路系統(tǒng)級建模的重要組成部分。建模中，將兩側(cè)太陽電池陣和大型網(wǎng)狀天線作為柔性體考慮，衛(wèi)星本體作為剛性體考慮。

下面給出本文的柔性多體動力學建模方法與商用軟件Adams仿真結(jié)果的對比分析。

1）系統(tǒng)頻率對比：將太陽電池陣鎖定，求解系統(tǒng)頻率，本文方程與Adams軟件的對比結(jié)果如表2所示，可以看出二者的一致性較好。

表2 本文方程與Adams軟件模型的系統(tǒng)頻率對比Table 2 Comparison of system frequency between the flexible multi-body dynamic equation and Adams model

2）頻率響應對比：將太陽電池陣鎖定，以質(zhì)心系y軸力矩為輸入，以天線反射面遠端節(jié)點為輸出，計算系統(tǒng)頻率響應。本文方程與Adams軟件的對比結(jié)果如圖4所示，可以看出二者一致性較好，其中高頻區(qū)的差別源于二者模態(tài)階數(shù)選擇的差異。

3）時間響應對比：對本體施加6個方向的力和力矩，以及太陽電池陣2個方向的驅(qū)動力矩，即方程(16)中的輸入為T=[10 N 2 N -5 N·m -2 N·m 7 N·m -8 N·m 1 N·m -2 N·m]。本文方程和Adams軟件的系統(tǒng)時間響應對比結(jié)果如圖5所示，可以看出二者的一致性較好。

圖4 本文方程與Adams軟件模型的頻率響應對比Fig.4 Comparison of frequency response between the flexible multi-body dynamic equation and Adams model

圖5 本文方程與Adams軟件模型的時間響應對比Fig.5 Comparison of time response between the flexible multi-body dynamic equation and Adams model

3 結(jié)束語

本文給出了一種柔性多體動力學建模方法，將其程序化并應用到帶多軸驅(qū)動天線及大型柔性網(wǎng)狀天線的整星動力學建模中。此方法適用于開鏈式拓撲結(jié)構，所建立的動力學方程考慮了大角度剛體相對轉(zhuǎn)動、彈性部件振動、柔性關節(jié)變形特性，結(jié)構體為有限元模型，具有工程實用性。與商用軟件Adams仿真結(jié)果的對比驗證了本文方法的有效性。

該柔性多體動力學建模方法所建立的動力學方程形式緊湊、計算量小，將其程序化并應用于工程實際，可解決航天器復雜的機構運動與彈性振動的耦合動力學建模問題，實現(xiàn)完全自主的動力學建模、模型代碼輸出和與控制系統(tǒng)聯(lián)合仿真功能，為此類航天器的動力學特性分析及其控制系統(tǒng)設計與系統(tǒng)級仿真驗證服務。