史紀(jì)鑫，葛東明，范晶巖，鄧潤然

（北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094）

0 引言

固定界面模態(tài)綜合法由Craig和Bampton于20世紀(jì)60年代提出[1-2]，后續(xù)又發(fā)展出自由界面模態(tài)綜合法和混合界面模態(tài)綜合法。模態(tài)綜合法把整個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)視為由若干子結(jié)構(gòu)組成，首先對(duì)規(guī)模小得多的子結(jié)構(gòu)逐個(gè)進(jìn)行模態(tài)分析或試驗(yàn)，然后借助子結(jié)構(gòu)交界面上的連接條件，將各子結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)綜合裝配起來，以獲得整個(gè)系統(tǒng)的主要模態(tài)特性。

大型空間復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，特別是增長式結(jié)構(gòu)和變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用，對(duì)直接采用有限元計(jì)算進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)[3-4]。模態(tài)綜合“化整為零，積零為整”的分析思想具有現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用基礎(chǔ)[5-7]，特別適合于部件分散加工、制造、集成的特點(diǎn)，在計(jì)算效率、子結(jié)構(gòu)級(jí)地面試驗(yàn)和修正方面具有先天的優(yōu)勢，可以服務(wù)于大型復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析，以及向柔性多體動(dòng)力學(xué)的延伸應(yīng)用[8-12]。但截至目前國內(nèi)尚未見有關(guān)模態(tài)綜合技術(shù)在大規(guī)模復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)分析中的適用性研究的文獻(xiàn)報(bào)道。

本文基于固定界面模態(tài)綜合方法給出復(fù)雜航天器結(jié)構(gòu)組裝模型并完成技術(shù)的軟件實(shí)現(xiàn)，研究其對(duì)復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的有效性。

1 理論模型

1.1 子結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程

一個(gè)完整結(jié)構(gòu)被分割為若干子結(jié)構(gòu)體后，其子結(jié)構(gòu)體無阻尼的振動(dòng)方程可寫為

式中：m為質(zhì)量矩陣；k為剛度矩陣；f包含有耦合結(jié)構(gòu)連接處的內(nèi)力；x是節(jié)點(diǎn)響應(yīng)。

在實(shí)際應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)體的有限元模型規(guī)模往往很大，必須采取模態(tài)坐標(biāo)刻畫結(jié)構(gòu)的彈性振動(dòng)。根據(jù)內(nèi)部坐標(biāo)和界面坐標(biāo)，將式(1)劃分為

式中：xi為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)響應(yīng)；xj為界面節(jié)點(diǎn)響應(yīng)；fj為耦合界面連接內(nèi)力。

對(duì)于固定界面有xj=0，由式(2)可獲得子結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)方程

于是，可求得系統(tǒng)第n階正則模態(tài)，滿足：

其中：ωn為固定界面第n階頻率。假設(shè)φii=[φ1,φ2,···,φn]，則子結(jié)構(gòu)的正則模態(tài)集為

其中Φn是將高階模態(tài)截?cái)嗟牡碗A正則模態(tài)集。

對(duì)式(2)，其靜力方程為

由式(7)可以得到

式中：I是單位矩陣。當(dāng)只有一個(gè)界面節(jié)點(diǎn)時(shí)，Φc即為剛體模態(tài)。因此，子結(jié)構(gòu)模態(tài)矩陣由其正則模態(tài)集和約束模態(tài)集構(gòu)成，即

此模態(tài)集具有如下3個(gè)特性，其可以作為編程計(jì)算的正確性校驗(yàn)工具。

1）特性1

式中：rank(*)為矩陣的秩；numrow(*)為矩陣的行數(shù)。

式中：ηi為正則模態(tài)集的模態(tài)坐標(biāo)；ηj為約束模態(tài)集的模態(tài)坐標(biāo)。顯然，由式(14)可以得到ηj=xj，即約束模態(tài)坐標(biāo)就是界面物理坐標(biāo)。

利用坐標(biāo)變換(14)，將動(dòng)力學(xué)方程(1)變換到模態(tài)空間，并考慮模態(tài)阻尼項(xiàng)，可得

式中，ξn為正則模態(tài)阻尼比。當(dāng)只有一個(gè)界面節(jié)點(diǎn)時(shí)，即為結(jié)構(gòu)相對(duì)于此節(jié)點(diǎn)處參考系的質(zhì)量特性矩陣，且=0。

1.2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

建立帶阻尼項(xiàng)模態(tài)綜合的系統(tǒng)振動(dòng)方程時(shí)，考慮兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的連接問題。根據(jù)式(15)給出兩個(gè)子結(jié)構(gòu)A和B在模態(tài)坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于剛性連接，有界面協(xié)調(diào)方程

其中CBA為結(jié)構(gòu)B到結(jié)構(gòu)A的界面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)變換矩陣。由約束模態(tài)坐標(biāo)等于約束物理坐標(biāo)，得ηjB=CBAηjA。選擇系統(tǒng)廣義坐標(biāo)為

其中Γ為系統(tǒng)自由度變換矩陣。利用式(23)，可將式(20)變?yōu)橛锚?dú)立坐標(biāo)q描述的系統(tǒng)振動(dòng)方程

其中：

由于式(24)中沒有考慮耦合系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，所以只能滿足耦合系統(tǒng)的頻率計(jì)算。為實(shí)現(xiàn)耦合系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)和頻率響應(yīng)的計(jì)算，在式(24)基礎(chǔ)上，加入由結(jié)構(gòu)A（輸入）到結(jié)構(gòu)B（輸出）的傳遞通道

式(29)～(31)中：u為作用在結(jié)構(gòu)A上某節(jié)點(diǎn)的力和力矩激勵(lì)輸入；y為結(jié)構(gòu)B上某節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)輸出；βu、βy是對(duì)輸入節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)的模態(tài)矩陣的選擇矩陣。將式(29)改寫為狀態(tài)空間形式

從式(32)可以進(jìn)行時(shí)域仿真，得到輸入激勵(lì)作用下的節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)。為了得到頻域響應(yīng)，對(duì)式(32)進(jìn)行拉氏變換即可，得到從輸入到輸出的傳遞特性如下：

2 軟件實(shí)現(xiàn)

2.1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及自由度描述

軟件實(shí)現(xiàn)的難點(diǎn)在于系統(tǒng)自由度變換矩陣Γ的自動(dòng)求取，為此需要先描述系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和自由度。借鑒多體動(dòng)力學(xué)拓?fù)涿枋龇椒?，引入符?hào)標(biāo)簽描述拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和自由度。S為子結(jié)構(gòu)標(biāo)簽，N為界面點(diǎn)標(biāo)簽，K為關(guān)鍵點(diǎn)標(biāo)簽，M為正則模態(tài)標(biāo)簽，C為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣標(biāo)簽?！甋1M50'表示子結(jié)構(gòu)1的50階正則模態(tài)自由度，‘S2N1'表示子結(jié)構(gòu)2上界面點(diǎn)1的六個(gè)自由度。系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意Fig.1 Schematic diagram of the topology structure

2.2 軟件架構(gòu)設(shè)計(jì)

軟件架構(gòu)分為預(yù)處理模塊、系統(tǒng)裝配模塊、輸入輸出配置模塊、載荷設(shè)置模塊、模態(tài)分析模塊、時(shí)域分析模塊、頻域分析模塊。

預(yù)處理模塊主要完成子結(jié)構(gòu)界面點(diǎn)設(shè)置、模型縮聚、輪廓提取，并對(duì)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行降階處理，最終獲得子結(jié)構(gòu)的廣義質(zhì)量陣、廣義阻尼陣和廣義剛度陣，其表達(dá)式見式(16)～(18)。

系統(tǒng)裝配模塊主要完成連接界面點(diǎn)匹配與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣定義，根據(jù)裝配關(guān)系自動(dòng)生成系統(tǒng)自由度變換矩陣Γ。軟件能夠可視化輸出裝配后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 裝配后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 System structure diagram after assembly

輸入輸出配置模塊主要完成系統(tǒng)輸入輸出配置，自動(dòng)生成配置矩陣，形成系統(tǒng)狀態(tài)空間方程。

載荷設(shè)置模塊主要實(shí)現(xiàn)載荷定義和添加，支持載荷曲線瀏覽和通道、方向的配置。

模態(tài)分析模塊主要計(jì)算系統(tǒng)各子結(jié)構(gòu)質(zhì)量特性、頻率特性和耦合系數(shù)，同時(shí)計(jì)算系統(tǒng)綜合后的模態(tài)頻率、模態(tài)振型、質(zhì)量特性等。

時(shí)域分析模塊主要計(jì)算關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上的位移、速度和加速度響應(yīng)，同時(shí)可輸出部件界面上的載荷響應(yīng)。

頻域分析模塊可根據(jù)指定的輸入和輸出，計(jì)算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

3 應(yīng)用算例

以空間站三艙組合體為算例，驗(yàn)證模態(tài)綜合算法的有效性?？偣?jié)點(diǎn)數(shù)約115萬，單元數(shù)約116.5萬。模型如圖3所示，將整艙按照艙段拆分為三艙子結(jié)構(gòu)，計(jì)算3個(gè)子結(jié)構(gòu)的縮聚模型，對(duì)各子結(jié)構(gòu)分別取50階模態(tài)，再對(duì)3個(gè)子結(jié)構(gòu)縮聚模型進(jìn)行模態(tài)綜合。將該模態(tài)綜合頻率與原始整艙有限元模型的無阻尼自由振動(dòng)的自由頻率進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表1所示?？梢?，頻率相對(duì)偏差在前7～15階范圍內(nèi)小于1%，具有極高的計(jì)算精度。

圖3 空間站三艙組合體模態(tài)綜合Fig.3 Modal synthesis for three-cabin combination of space station

表1 子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合計(jì)算精度Table 1 The calculation accuracy of substructure modal synthesis

4 結(jié)束語

本文研究了固定界面模態(tài)綜合法在復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中的應(yīng)用，通過對(duì)艙段對(duì)接模型的對(duì)比分析，驗(yàn)證了其有效性。在實(shí)際工程應(yīng)用中，應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：

1）根據(jù)所要計(jì)算的頻帶范圍，選擇適當(dāng)?shù)哪B(tài)階數(shù)，從而既可保證模態(tài)綜合模型對(duì)原始有限元模型在計(jì)算頻帶范圍內(nèi)的近似精度，也可提高模型的計(jì)算效率；

2）盡量控制子結(jié)構(gòu)模型的界面點(diǎn)數(shù)量，因?yàn)榻缑纥c(diǎn)自由度的增多會(huì)導(dǎo)致模態(tài)綜合模型的高階自由頻率的增高，增加微分方程的剛度，顯著增大時(shí)域響應(yīng)的計(jì)算量；

3）在模態(tài)綜合法中，可以分別對(duì)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼和界面阻尼賦值，在模態(tài)綜合后，系統(tǒng)耦合模型的各階模態(tài)會(huì)表現(xiàn)出不同的阻尼比。