謝偉華，尹家聰，林勇文，董 鍇，陳 曦，李正舉

（1. 中國空間技術(shù)研究院 通信衛(wèi)星事業(yè)部，北京 100094； 2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076）

0 引言

建立衛(wèi)星有限元物理模型并進行力學分析是衛(wèi)星結(jié)構(gòu)分系統(tǒng)設計、組件力學試驗條件制定、正弦振動力學試驗預示以及星箭耦合分析的重要基礎。有限元縮聚技術(shù)是利用模態(tài)綜合法[1-7]，將有限元物理模型內(nèi)部節(jié)點的剛度、質(zhì)量信息縮聚在邊界點上，生成縮聚模型。采用有限元縮聚模型代替物理模型進行力學分析，一方面可以避免輸出結(jié)構(gòu)設計的技術(shù)細節(jié)，起到技術(shù)保密的作用；另一方面可以大大減少模型本身的自由度，有利于提高力學分析的計算效率。

模態(tài)綜合法在航天器設計制造中應用廣泛：運載火箭的建模[8-9]，星箭耦合分析[10]，大型部件如航天相機、氦氣瓶等的建模[11-12]，復合柔性結(jié)構(gòu)航天器建模[13]以及衛(wèi)星的動力學分析[14]中均有采用此方法。

衛(wèi)星發(fā)射任務中，衛(wèi)星設計方須向運載設計方提供衛(wèi)星有限元縮聚模型（主要包括縮聚后的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和星上特征點的響應轉(zhuǎn)換矩陣）作為星箭耦合分析出口模型，與火箭模型進行主動段耦合載荷分析（coupled load analysis，又稱“星箭耦合分析”），輸出星箭界面沖擊譜及星上特征點的響應。星箭界面沖擊譜是整星正弦振動試驗下凹條件制定的重要依據(jù)；特征點響應可用于評估星上部件在主動段飛行過程中的響應水平，以及星外大部件與火箭整流罩的振動干涉情況。

目前，星箭耦合分析出口模型主要采用“一次縮聚技術(shù)”獲得，即首先建立衛(wèi)星整星的有限元物理模型（其中包括天線、太陽電池陣等大部件的純物理模型，而非縮聚模型），然后利用固定模態(tài)綜合法將整星有限元模型縮聚到星箭界面，生成星箭耦合分析出口模型。然而，隨著衛(wèi)星產(chǎn)業(yè)的不斷發(fā)展，多部門甚至不同國家間的合作越來越多，衛(wèi)星制造方有時無法獲得大部件的純物理模型，須利用已縮聚過的“一次縮聚模型”進行“二次縮聚”。為此，本文提出一種將包含天線縮聚模型的衛(wèi)星有限元模型進行二次縮聚，輸出星箭耦合分析出口模型的方法，并與火箭研制方聯(lián)合開展星箭耦合分析及結(jié)果校驗，以驗證該方法的有效性。

1 二次縮聚方案

1.1 二次縮聚流程

1）在有限元軟件中建立衛(wèi)星主結(jié)構(gòu)發(fā)射狀態(tài)的有限元物理模型。

2）在有限元軟件中建立衛(wèi)星全部次級結(jié)構(gòu)在發(fā)射收攏狀態(tài)的有限元物理模型。

3）利用混合界面模態(tài)綜合法，將需要一次縮聚的次級結(jié)構(gòu)有限元物理模型分別縮聚到各自的一組固定界面邊界點和自由界面邊界點上，獲得次級結(jié)構(gòu)的一次縮聚數(shù)學模型。其中，固定界面邊界點應設置為次級結(jié)構(gòu)與衛(wèi)星主結(jié)構(gòu)的安裝連接點，自由界面邊界點應從次級結(jié)構(gòu)的外輪廓點及外表面上振動響應最大的點中選取。

4）在有限元軟件中，將衛(wèi)星主結(jié)構(gòu)的有限元物理模型依次和每個次級結(jié)構(gòu)有限元物理模型或一次縮聚模型通過梁單元或多點約束單元模擬安裝螺釘裝配在一起，獲得含一次縮聚次級結(jié)構(gòu)的衛(wèi)星有限元混合模型。當采用多點約束單元裝配時，主節(jié)點應設置為各縮聚模型的固定界面邊界點，從節(jié)點應設置為次級結(jié)構(gòu)在衛(wèi)星主結(jié)構(gòu)上對應的安裝點。

5）選擇衛(wèi)星有限元混合模型中各結(jié)構(gòu)艙板及各次級結(jié)構(gòu)的振動響應最大的節(jié)點構(gòu)建星箭耦合載荷分析需要計算的內(nèi)部響應點集合，從有限元軟件中提取混合模型的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，采用固定界面模態(tài)綜合法將該有限元混合模型縮聚到衛(wèi)星與運載火箭的界面節(jié)點上，獲得二次縮聚后的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，以及內(nèi)部響應點對應的轉(zhuǎn)換矩陣。

1.2 混合界面模態(tài)綜合法原理

假設有m個次級結(jié)構(gòu)的有限元模型需要進行一次縮聚，那么對每個次級結(jié)構(gòu)i（i=1, 2, ···,m），從有限元軟件中提取其在自由邊界條件下的剛度矩陣K(i)和質(zhì)量矩陣M(i)；選擇次級結(jié)構(gòu)i的個固定界面邊界點和個自由界面邊界點作為縮聚模型的保留節(jié)點，用個PLOTEL顯示單元將保留節(jié)點連接起來，獲得次級結(jié)構(gòu)縮聚模型的顯示輪廓。記固定和自由界面邊界點對應的自由度集合分別為B(i)和C(i)，剩余的內(nèi)部自由度集合為O(i)；并將K(i)、M(i)按 B(i)、C(i)、O(i)的自由度順序重新排列為矩陣分塊形式[7]：

式中：上標(i)及下標B、C、O表示第i個次級結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣中對應于 B(i)、C(i)、O(i)的行或列。確定次級結(jié)構(gòu)i的縮聚模型需保留的廣義自由度為q(i)，其值一般取為50～200，記其集合為Q(i)，并用Lanczos或其他特征值解法求解次級結(jié)構(gòu)i的廣義特征值問題

計算次級結(jié)構(gòu)i一次縮聚后的剛度矩陣=(T(i))TK(i)T(i)和質(zhì)量矩陣=(T(i))TM(i)T(i)，其中縮聚轉(zhuǎn)換矩陣T(i)為

將次級結(jié)構(gòu)i的一次縮聚模型整理為有限元軟件可識別的數(shù)據(jù)文件，存儲內(nèi)容包括：

1.3 二次縮聚原理

選擇衛(wèi)星有限元混合模型中重點關心的各主結(jié)構(gòu)艙板以及天線、太陽電池陣、氣瓶、貯箱等次級結(jié)構(gòu)上振動響應最大的點作為載荷耦合分析需要計算的內(nèi)部響應點（其自由度集合記為U）。記衛(wèi)星有限元混合模型與運載火箭的星箭界面主節(jié)點的自由度集合為B，其余自由度集合為O，提取衛(wèi)星有限元混合模型在自由邊界條件下的剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M，并將它們按B、O的順序排列為[2]：

用Lanczos或其他算法求解廣義特征值問題

2 算例驗證

2.1 一次縮聚

假設將某衛(wèi)星的一副對地天線有限元模型進行一次縮聚，如圖1所示，該有限元模型包含殼單元和體單元，節(jié)點數(shù)約2.5萬，單元數(shù)約7萬，自由度數(shù)約7.5萬。利用1.2節(jié)的混合界面模態(tài)綜合法，對有限元軟件Nastran進行二次開發(fā)，可將天線的有限元物理模型（圖1(a)）轉(zhuǎn)化為有限元一次縮聚模型（圖1(b)）。一次縮聚后的模型包含22個PLOTEL輪廓單元，僅有148個自由度（包括100個正交模態(tài)），相比物理模型的自由度減少了2個數(shù)量級。

圖1 天線有限元模型Fig.1 The finite element model of antenna

表1給出了該天線縮聚前/后在固定邊界條件下的固有頻率對比結(jié)果，可以看出，該天線的有限元物理模型和縮聚模型的振型和固有頻率一致。說明一次縮聚算法正確有效，可用于衛(wèi)星整星的有限元建模。

表1 某天線有限元模型一次縮聚前/后的固有頻率對比Table 1 Comparison of natural frequencies of an antenna between reduced and unreduced finite element model

2.2 二次縮聚

將該衛(wèi)星另一副對地天線用相同方法進行一次縮聚得到有限元縮聚模型后，再將2副天線的有限元縮聚模型都裝配到衛(wèi)星的有限元模型上（如圖2所示），并使用1.3節(jié)的二次縮聚方法對該混合模型進行二次縮聚。

圖2 天線有限元縮聚模型與整星裝配圖Fig.2 A finite element model of a satellite containing both unreduced and reduced sub-structures

2.3 二次縮聚結(jié)果驗證

為了驗證二次縮聚在星箭耦合分析中的正確性，將不包含任何縮聚模型的衛(wèi)星整星有限元物理模型（如圖3所示）采用現(xiàn)有的一次縮聚方法進行縮聚。

圖3 天線有限元物理模型與整星裝配圖Fig.3 A finite element model of a satellite containing unreduced sub-structures

將由圖2和圖3分別生成的整星星箭耦合分析出口模型均提供給火箭研制方，聯(lián)合開展星箭耦合分析及結(jié)果校驗，得到某工況下星箭界面點x向等效正弦譜，如圖4所示?？梢钥闯觯?種模型的結(jié)果曲線吻合很好，驗證了本文所提出的二次縮聚方法的正確性。

圖4 某工況下星箭界面x向等效正弦譜對比Fig.4 Comparison of coupled load analysis results between one-time and second-time condensation models

3 結(jié)束語

本文以大型復雜航天器為對象，研究了利用混合界面模態(tài)綜合法進行一次縮聚的原理，以及將該一次縮聚模型裝配于星本體物理模型上進行二次縮聚的方法；給出算例驗證基于混合界面模態(tài)綜合法的一次縮聚及二次縮聚方法的正確性，并進一步與火箭研制方合作開展星箭耦合分析驗證該方法的正確性。結(jié)果表明：利用混合界面模態(tài)綜合法進行一次縮聚的天線有限元模型規(guī)模大幅下降，且基頻、振型等與有限元物理模型一致；利用二次縮聚方法將含天線一次縮聚模型的整星模型進行二次縮聚后，與原有一次縮聚法生成的星箭耦合分析出口模型的x向等效正弦譜一致，即本文的二次縮聚方法可以用于將含子結(jié)構(gòu)一次縮聚模型的衛(wèi)星有限元混合模型進行二次縮聚。

本文的一次縮聚方法可用于將衛(wèi)星上的部件進行一次縮聚后裝配于整星上進行動力學分析，可大大減少分析計算量，提高計算效率；二次縮聚方法解決了含一次縮聚模型的航天器有限元混合模型的再次縮聚問題。以上方法可以擴展到其他行業(yè)如航空、船舶等的動力學分析中。