伍科，張華振，蘭瀾,周陽

1. 西安空間無線電技術(shù)研究所，西安 710100 2. 上海躍盛信息技術(shù)有限公司，上海 200240

高精度、大空間反射器的研究越來越受到人們的關(guān)注。提高反射面精度的方法是人們對(duì)高精度反射器研究的重要方向。國(guó)外已有了許多高精度反射器研究的方法和案例。

Pearson等[1]研究了一種大型高精度充氣薄膜反射器的設(shè)計(jì)和分析方法。Lang等[2]設(shè)計(jì)了一種高精度殼體反射器結(jié)構(gòu)，并提出了一種殼體反射器的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和型面調(diào)整方法。Shi等[3]提出了一種對(duì)于空間索網(wǎng)反射器網(wǎng)面的幾何生成方法。Yuan等[4]提出了一種可提高大型可展開網(wǎng)格反射器表面精度的設(shè)計(jì)方案。Soykasap和Tan[5]設(shè)計(jì)并分析了一種高精度采用偏置加筋彈簧支撐的碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(CFRP)反射器。雖然被動(dòng)的方法對(duì)提高反射面精度做出了很大努力,但主動(dòng)型面控制方法仍是提高反射面精度的最有效途徑之一。

智能材料和結(jié)構(gòu),諸如聚偏氟乙烯(PVDF)、鋯鈦酸鉛(PZT)、宏觀壓電纖維復(fù)合材料(MFC)、形狀記憶合金(SMA) 作動(dòng)器/傳感器廣泛應(yīng)用于主動(dòng)型面/振動(dòng)控制。Tabata和Natori[6]研究了空間可展開天線的反射器主動(dòng)型面校正方法以及其可行性。Fang等[7]提出了一種運(yùn)用PVDF作動(dòng)器對(duì)大型高精度薄膜反射器進(jìn)行自適應(yīng)控制的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案。Wang等[8]提出了一種求解壓電作動(dòng)器控制電壓的方法，并將其用于空間反射器的型面調(diào)整。Stein和Gorinevsky[9]開發(fā)了一種利用大型封裝PZT作動(dòng)器陣列對(duì)反射面進(jìn)行主動(dòng)形狀控制的技術(shù)。Andoh等[10]提出了一種利用有限個(gè)數(shù)的作動(dòng)器對(duì)反射器型面進(jìn)行控制的方法。Lu等[11]采用SMA作動(dòng)器,來提高圓形薄膜結(jié)構(gòu)的型面精度，建立了薄膜結(jié)構(gòu)的分析模型和求解方法，并利用有限元方法驗(yàn)證了典型熱載荷下分析模型的有效性。Desmidt等[12]研究了一種主動(dòng)繩索控制系統(tǒng)及其可行性,并將其應(yīng)用于控制由熱載荷引起的反射器型面的全局誤差。Wu等[13]提出了利用PZT和MFC作動(dòng)器同時(shí)進(jìn)行主動(dòng)控制，分別用來降低CFRP格柵反射器的全局型面誤差和局部型面誤差。宋祥帥等[14]運(yùn)用影響系數(shù)矩陣法研究了格柵反射器的作動(dòng)器電壓配置問題，得到了使型面均方根誤差最小的電壓值和相應(yīng)的均方根(RMS)誤差，但對(duì)于作動(dòng)器數(shù)量的限制和位置的優(yōu)化配置問題并沒有進(jìn)行研究。

大型空間反射器結(jié)構(gòu)由于在發(fā)射過程中受結(jié)構(gòu)重量和體積的限制而無法使用過多數(shù)量的作動(dòng)器。因此，為了提高反射器結(jié)構(gòu)型面主動(dòng)控制效率，研究在有限數(shù)量作動(dòng)器的條件下，作動(dòng)器位置優(yōu)化分布至關(guān)重要。

目前已經(jīng)有較多的研究針對(duì)振動(dòng)或者型面控制中作動(dòng)器的幾何尺寸、空間分布位置和加載電壓進(jìn)行了優(yōu)化。但大多數(shù)研究集中于研究梁、板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和形狀控制。

Suleman和Goncalves[15]優(yōu)化了矩形懸臂組合梁的驅(qū)動(dòng)器的尺寸和位置,其目標(biāo)是使結(jié)構(gòu)的位移最大、質(zhì)量和電壓最小。Adali等[16]采用一維搜索的優(yōu)化算法來確定層合梁結(jié)構(gòu)的作動(dòng)器位置。Aldraihem等[17]優(yōu)化了執(zhí)行器的長(zhǎng)度和位置,其目標(biāo)函數(shù)是使進(jìn)行加權(quán)后可控性最大。Barboni等[18]通過最優(yōu)性條件的解析解，優(yōu)化了振動(dòng)控制中簡(jiǎn)支梁執(zhí)行器的長(zhǎng)度和位置。Bruant等[19]采用基于梯度的優(yōu)化方法對(duì)3根梁組合結(jié)構(gòu)中作動(dòng)器的長(zhǎng)度和位置進(jìn)行了優(yōu)化，其目標(biāo)為使機(jī)械能最小以及系統(tǒng)的可觀測(cè)性最大。

以上這些方法的共同特點(diǎn)為優(yōu)化迭代的前進(jìn)方向基于目標(biāo)函數(shù)對(duì)優(yōu)化變量的梯度。其優(yōu)點(diǎn)為對(duì)于凸規(guī)劃問題能夠精確地逼近目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。但是，對(duì)于復(fù)雜的大型空間結(jié)構(gòu)或大型離散變量的優(yōu)化問題，精確獲取目標(biāo)函數(shù)的梯度十分困難，且基于梯度的優(yōu)化方法容易陷入局部最優(yōu)解。

隨機(jī)搜索算法是研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)或者形狀控制問題中的另一種優(yōu)化方法。Dong和Huang[20]研究了基于多點(diǎn)近似函數(shù)和遺傳算法(GA) 的桁架拓?fù)鋬?yōu)化問題。An等[21]采用兩級(jí)多點(diǎn)逼近法研究了自適應(yīng)桁架的作動(dòng)器分布的優(yōu)化問題。Liu和Lin[22]通過模擬退火算法對(duì)于懸臂板的形狀控制問題優(yōu)化了作動(dòng)器分布和相應(yīng)控制電壓。

隨機(jī)搜索算法的優(yōu)點(diǎn)在于不需要獲得目標(biāo)函數(shù)的梯度,對(duì)于復(fù)雜優(yōu)化問題和離散變量的優(yōu)化問題具有明顯的優(yōu)勢(shì)。但隨機(jī)搜索算法所得到的最優(yōu)解的精度可能低于基于梯度的方法。

本文研究了基于PZT作動(dòng)器的CFRP主控格柵反射器的型面控制問題。首先，采用了一種具有獨(dú)立電壓自由度的梁?jiǎn)卧?，以及考慮高階剪切變形的板單元，并運(yùn)用能量變分哈密爾頓原理推導(dǎo)出了主控格柵反射器的有限元控制方程，根據(jù)推導(dǎo)的有限元控制方程，給出了反射面型面殘余RMS誤差最小的電壓最優(yōu)控制方法。

對(duì)于型面控制中的作動(dòng)器位置優(yōu)化分布問題，基于控制后殘余RMS誤差最小，提出了一種將自適應(yīng)遺傳算法和梯度投影方法相結(jié)合的改進(jìn)優(yōu)化方法，以解決在限定作動(dòng)器數(shù)量的條件下，作動(dòng)器幾何位置的優(yōu)化問題。這種方法采用遺傳算法獲得作動(dòng)器的幾何分布，采用罰函數(shù)法約束作動(dòng)器的個(gè)數(shù)，然后運(yùn)用梯度投影方法求解約束二次規(guī)劃問題中作動(dòng)器的電壓。通過數(shù)值算例得到并驗(yàn)證了提出算法的正確性和有效性。制作了大型主控格柵反射器的實(shí)驗(yàn)樣機(jī)，在高精度光學(xué)平臺(tái)上針對(duì)CFRP格柵反射器的制造誤差運(yùn)用PZT作動(dòng)器進(jìn)行了型面控制實(shí)驗(yàn)。

1 有限元模型

主控CFRP格柵反射器的幾何模型如圖1所示。反射器所使用的CFRP材料鋪層方向?yàn)閇0°/45°/-45°/90°]s。PZT作動(dòng)器的總數(shù)為72個(gè)，通過預(yù)緊螺母安裝在每一個(gè)小格柵的開鑿處。反射器約束的位置為格柵中心交叉處，約束方式為鎖定中心處6個(gè)自由度的位移。格柵反射器的設(shè)計(jì)幾何尺寸如表1所示。

圖1 主控CFRP格柵反射器的幾何模型Fig.1 Geometric schematic of active CFRP rib reflector

表1 主控格柵反射器的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structural parameters of active rib reflector

結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)值背部最外圈格柵內(nèi)切圓直徑/m1.0 反射器焦距/m2.1 格柵板寬度/m0.1886 格柵板高度/m0.06 作動(dòng)器開槽寬度/m0.1 作動(dòng)器開槽深度/m0.02

1.1 位移和應(yīng)變假設(shè)

Reddy[23]提出了一種考慮高階剪切形變的層合板單元，它相比普通層合板單元具有更高的計(jì)算精度。本文使用這種考慮高階剪切變形的層合板單元來對(duì)CFRP層合板進(jìn)行建模。假設(shè)其位移可以寫為

u(x,y,z)=u(x,y,0)+zφy(x,y,0)-

(1)

v(x,y,z)=v(x,y,0)+zφx(x,y,0)-

(2)

w(x,y,z)=w(x,y,0)=w0(x,y)

(3)

式中：u、v、w為板單元沿x、y、z方向的位移；φx和φy分別為在yOz和xOz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角；h為層合板的厚度。坐標(biāo)系為定義在板單元幾何中心處的單元局部坐標(biāo)系，平面z=0為層合板厚度方向中心面所在的平面，層合板的幾何方程為

(4)

對(duì)于PZT作動(dòng)器，運(yùn)用三維梁?jiǎn)卧獙?duì)其進(jìn)行建模，假設(shè)其位移可以寫為

u′=u′0(x,0,0)+yφ′z(x,0,0)+zφ′y(x,0,0)

(5)

v′=v′0(x,0,0)

(6)

w′=w′0(x,0,0)

(7)

式中:u′、v′和w′為PZT梁?jiǎn)卧豿、y以及z方向的位移；φ′y和φ′z分別為在xOz和xOy平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角。其坐標(biāo)系為位移梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)處的單元局部坐標(biāo)系。三維梁?jiǎn)卧膸缀畏匠炭梢员硎緸?/p>

(8)

1.2 本構(gòu)方程

正交各向異性板單元的本構(gòu)方程為[23]

(9)

(10)

(11)

1.3 插值形式

使用4節(jié)點(diǎn)的二維板單元對(duì)碳纖維層合板進(jìn)行建模，板單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有7個(gè)自由度。運(yùn)用Hermite插值函數(shù)[24]對(duì)單元內(nèi)部區(qū)域進(jìn)行插值。對(duì)于板單元,其單元位移向量可以表示為

(12)

單元的節(jié)點(diǎn)位移向量de可表示為

(13)

i=1,2,3,4

(14)

式(12)～式(14)中:N為3×28的運(yùn)用Hermite函數(shù)進(jìn)行插值的板單元型函數(shù)矩陣，其具體形式見附錄;節(jié)點(diǎn)位移向量de為28×1的行向量。將式(12)代入式(4)，板單元的應(yīng)變向量可表示為

(15)

式中:B為板單元的應(yīng)變矩陣。

對(duì)于PZT壓電梁?jiǎn)卧?，其位移插值形式可以表示?/p>

(16)

應(yīng)變向量可以表示為

(17)

(18)

梁?jiǎn)卧男秃瘮?shù)N′的形式見附錄A[25]。

1.4 變分形式

運(yùn)用廣義Hamilton變分原理來推導(dǎo)主控系統(tǒng)的平衡方程。廣義Hamilton變分等式可以表示為

(19)

式中:K為系統(tǒng)的動(dòng)能;P為系統(tǒng)的勢(shì)能;W為外力功;t1和t2分別為起始和終止時(shí)間。對(duì)于靜力學(xué)分析，K=0。對(duì)于本文研究的主控格柵反射器，其勢(shì)能包括彈性勢(shì)能和電勢(shì)能，其一般形式為

(20)

對(duì)于PZT壓電梁?jiǎn)卧?，其電?chǎng)可表示為

(21)

式中:U′e為壓電梁?jiǎn)卧募虞d電壓;l為作動(dòng)器的長(zhǎng)度;L為線性算子。將式(16)和式(21)代入式(20)，壓電梁?jiǎn)卧目倓?shì)能進(jìn)一步可表示為

(22)

(23)

(24)

(25)

式中:K′m、K′me和K′ee分別為力學(xué)剛度矩陣、機(jī)電耦合矩陣以及電勢(shì)矩陣。

對(duì)于CFRP層合板單元，壓電常數(shù)矩陣和介電常數(shù)矩陣均為零矩陣，單元的勢(shì)能可以表示為

(26)

式中:Km為CFRP層合板單元的單元?jiǎng)偠染仃?。系統(tǒng)的外力功可以表示為

(27)

(28)

將每個(gè)單元中局部坐標(biāo)系通過乘以相應(yīng)的雅可比矩陣轉(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)系，在整體坐標(biāo)系下，對(duì)單元節(jié)點(diǎn)平衡方程進(jìn)行組裝可以得到在整體坐標(biāo)系下所有節(jié)點(diǎn)平衡方程的矩陣形式。由于變分量的任意性，變分方程式(28)可以轉(zhuǎn)化為整體坐標(biāo)系下的代數(shù)方程：

(29)

式中：d為全局坐標(biāo)系下的單元節(jié)點(diǎn)位移向量；Km、Kme和Kee分別為全局坐標(biāo)下總力學(xué)剛度矩陣、總機(jī)電耦合矩陣以及總電勢(shì)矩陣；U為所有壓電單元的電壓向量；F為節(jié)點(diǎn)的外力向量；Q為作用在壓電單元上的外電荷。通過解式(29)，可以得到系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)位移和作動(dòng)器的電壓。

2 最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于研究的主控格柵反射器，本節(jié)基于所建立的有限元模型，設(shè)計(jì)了反射器型面控制的最優(yōu)控制器。對(duì)于反射器在空間環(huán)境下所承受的任意力和位移載荷，當(dāng)作動(dòng)器數(shù)量給定時(shí)，均能給出當(dāng)前數(shù)量作動(dòng)器的最優(yōu)位置分布以及相應(yīng)的加載電壓，使得控制后殘余RMS誤差最小。

2.1 型面最優(yōu)控制數(shù)學(xué)模型

反射面的幾何示意圖如圖2所示，整體坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于拋物面反射器的頂點(diǎn)。y坐標(biāo)軸通過拋物面的焦點(diǎn)，反射面上節(jié)點(diǎn)的RMS誤差被定義為

(30)

PZT作動(dòng)器的安裝位置為反射器小三角格柵的開鑿處，預(yù)留的待選位置總共有72個(gè)，考慮到作動(dòng)器的重量，實(shí)際使用的作動(dòng)器個(gè)數(shù)應(yīng)少于72。在優(yōu)化模型中，為了表示一定數(shù)量的作動(dòng)器的分布情況，用一個(gè)72位的二進(jìn)制0，1編碼的向量代表該處有沒有作動(dòng)器，1代表該處裝有作動(dòng)器，0代表該處無作動(dòng)器。因此，根據(jù)所建立的主控反射器系統(tǒng)的有限元模型(式(29))，主控反射器型面最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)模型可以寫為

圖2 反射器的實(shí)際型面和理想型面Fig.2 Actual and desired shapes of reflector

(31)

2.2 求解方法

改進(jìn)的優(yōu)化方法的具體步驟為

步驟1 由遺傳算法隨機(jī)生成一定數(shù)量的二進(jìn)制向量λ個(gè)體作為初始種群，表示作動(dòng)器分布。

步驟2 對(duì)于種群每一個(gè)個(gè)體，λ為已知二進(jìn)制向量，交由梯度投影方法求出每一個(gè)個(gè)體的加載電壓以及相應(yīng)的殘余RMS誤差，將殘余RMS誤差作為個(gè)體的適應(yīng)度。

步驟3 保留最優(yōu)個(gè)體，直接到下一代中，不參與交叉和變異。

步驟4 根據(jù)個(gè)體適應(yīng)度，通過輪盤賭進(jìn)行選擇，將所選個(gè)體運(yùn)用自適應(yīng)交叉和變異算子進(jìn)行篩選并重新插入種群中。

步驟5 更新每一個(gè)個(gè)體的二進(jìn)制編碼λ，返回步驟2進(jìn)行迭代，直至種群最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度變化小于設(shè)定值或達(dá)到最大迭代次數(shù)。

步驟6 輸出迭代結(jié)束時(shí)，種群中的最優(yōu)個(gè)體對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制編碼λ，代表作動(dòng)器的位置分布；相應(yīng)的電壓向量U和相應(yīng)的殘余RMS誤差值。

對(duì)于步驟2中，當(dāng)λ確定時(shí)，相應(yīng)電壓后殘余RMS誤差的求解方法為：假設(shè)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)總位移個(gè)數(shù)為p，反射面上節(jié)點(diǎn)在y方向的位移個(gè)數(shù)為q，總電壓自由度個(gè)數(shù)為r。將式(31)中目標(biāo)函數(shù)f寫為

(32)

(33)

(34)

Ks(F-KmeU)(δD-δI)+

(35)

式(35)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

f(U)=UTAU-bTU+c

(36)

式中:

(37)

(38)

(39)

A為r×r維的正定方陣;b為r維的列向量;c為常數(shù)。同樣，優(yōu)化模型中第3個(gè)約束不等式也可以寫成矩陣形式。因此，優(yōu)化模型式(31)可以轉(zhuǎn)化為如下有邊界約束的二次規(guī)劃的形式：

(40)

優(yōu)化模型式(40)可以通過約束二次規(guī)劃問題中梯度投影法(GPM)進(jìn)行求解。

將求得的目標(biāo)函數(shù)即RMS誤差作為對(duì)應(yīng)個(gè)體的適應(yīng)度，繼續(xù)進(jìn)行步驟3中的選擇、交叉和變異，當(dāng)?shù)瓿蓵r(shí)，即可求出相應(yīng)載荷下，一定數(shù)量作動(dòng)器的最優(yōu)位置分布、相應(yīng)電壓以及殘余RMS誤差。特別地,為了防止在步驟4中，種群中個(gè)體在交叉和變異過程中，代表作動(dòng)器位置的編碼向量λ中作動(dòng)器個(gè)數(shù)超出限定個(gè)數(shù)，采用罰函數(shù)對(duì)作動(dòng)器超出規(guī)定個(gè)數(shù)的個(gè)體對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行懲罰。作動(dòng)器數(shù)量超出的個(gè)數(shù)越多，罰函數(shù)懲罰的力度越大。動(dòng)態(tài)罰函數(shù)的表達(dá)式為[26]

(41)

(42)

式中：fpenalty(g)為隨種群迭代次數(shù)變化的動(dòng)態(tài)懲罰因子;R為反函數(shù)比例系數(shù);ε為正的參數(shù);g和G分別為當(dāng)前的迭代次數(shù)和總共的迭代次數(shù)。在迭代過程中，產(chǎn)生的新個(gè)體作動(dòng)器數(shù)量超過規(guī)定數(shù)量越多，懲罰的力度越大；并且開始迭代時(shí)采用較大的處罰因子，隨著迭代次數(shù)的增加，逐漸減小，用以提高種群的迭代效率，加速收斂的過程。遺傳算法中的交叉、變異算子采用自適應(yīng)交叉和變異。自適應(yīng)交叉和變異算子的表達(dá)式為

(43)

(44)

式中:Pc1、Pc2為最小以及最大的交叉概率;Pm1、Pm2為最小以及最大的變異概率；f′為種群中個(gè)體的適應(yīng)度；f′max為種群每代個(gè)體迭代最大適應(yīng)度;f′ave為種群每代的平均適應(yīng)度。

圖3為對(duì)作動(dòng)器位置進(jìn)行優(yōu)化運(yùn)用的優(yōu)化算法流程圖。首先隨機(jī)生成72個(gè)代表作動(dòng)器位置的隨機(jī)二進(jìn)制串，作為優(yōu)化變量；根據(jù)每一個(gè)二進(jìn)制變量代表的作動(dòng)器位置分別建立有限元模型；然后，運(yùn)用上述方法將型面最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為式(40) 所述的二次規(guī)劃問題，求出相應(yīng)作動(dòng)器分布情況下對(duì)應(yīng)的電壓和殘余RMS誤差，并將RMS誤差作為其種群中個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值；根據(jù)每一串二進(jìn)制變量代表的作動(dòng)器個(gè)數(shù)是否超出準(zhǔn)許范圍，運(yùn)用式(41)和式(42)進(jìn)行懲罰，從而得到種群中每一個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度；根據(jù)個(gè)體的適應(yīng)度進(jìn)行選擇、交叉和變異操作，從而進(jìn)化出新的種群，重新進(jìn)行迭代。保留每一代種群中的最優(yōu)個(gè)體，直到滿足結(jié)束迭代的條件，將最優(yōu)個(gè)體二進(jìn)制變量作為作動(dòng)器分布方式，并求出相應(yīng)的作動(dòng)器電壓。

圖3 作動(dòng)器分布位置優(yōu)化流程Fig.3 Flow chart of actuator placement optimization

2.3 數(shù)值算例

式(29)中剛度矩陣可借助于有限元軟件ANSYS 14.0進(jìn)行建立并提取。優(yōu)化以及控制算法采用MATLAB 2013b進(jìn)行編制，迭代的過程在MATLAB中進(jìn)行，完成時(shí)給出相應(yīng)的作動(dòng)器分布、配置電壓以及殘余RMS誤差。以下給出了兩組算例。反射器的約束位置為如圖1所示的節(jié)點(diǎn)處，其6個(gè)自由度被約束。

1) 反射器受整體彎矩作用

施力方式為反射器邊緣對(duì)稱角點(diǎn)處等大反向的10 N垂向作用力，作用點(diǎn)距離為1.1 m，產(chǎn)生的整體彎矩為11 N·m。反射面的初始RMS值為266.5 μm，其位移誤差云圖如圖4所示。

運(yùn)用本文提出的優(yōu)化方法，對(duì)此工況下作動(dòng)器的位置分布以及相應(yīng)電壓進(jìn)行優(yōu)化。假設(shè)N=14,即作動(dòng)器數(shù)量限制為14個(gè)。遺傳算法的迭代曲線如圖5所示。圖6為優(yōu)化后的作動(dòng)器位置和相應(yīng)電壓大小。

圖4 反射面受彎矩作用位移誤差云圖Fig.4 Contour of displacement error of reflector surface under a bending moment

由迭代曲線圖5可以看出，所提出混合優(yōu)化算法收斂速度很快，80次迭代以后目標(biāo)值保持不變?？刂坪蟮臍堄郣MS誤差為44.1 μm。

2) 反射面上節(jié)點(diǎn)位移取Zernike多項(xiàng)式線性組合的形式

取六邊形域內(nèi)前5階正交Zernike多項(xiàng)式組成的線性組合，作為反射面型面節(jié)點(diǎn)的位移誤差，其表達(dá)式為[27]

(45)

式中:Sd(ρ、θ)為反射面上坐標(biāo)為(ρ、θ)點(diǎn)的位移；Zi(ρ、θ)為第i階Zernike多項(xiàng)式。將反射面上節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)代入式(45)，可以得到反射面上所有節(jié)點(diǎn)的位移誤差云圖，如圖7所示。運(yùn)用改進(jìn)優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，作動(dòng)器數(shù)量的限制分別設(shè)為10、20以及35。圖8為3種作動(dòng)器數(shù)量限制時(shí)遺傳算法的迭代曲線。當(dāng)作動(dòng)器數(shù)量限制為10個(gè)時(shí)，殘余RMS誤差為7.25 μm；當(dāng)作動(dòng)器數(shù)量限制為20個(gè)時(shí)，殘余RMS誤差為5.1 μm；當(dāng)作動(dòng)器數(shù)量限制為35個(gè)時(shí)，殘余RMS誤差為4.9 μm。相應(yīng)的作動(dòng)器位置分布情況、電壓大小以及殘余型面誤差云圖如圖9所示。在當(dāng)前型面誤差情況下，當(dāng)作動(dòng)器數(shù)量限制從4個(gè)一直到72個(gè)變化時(shí)，將每次優(yōu)化的最終RMS誤差用曲線連接，如圖10所示。從圖10可以看出，隨著作動(dòng)器數(shù)量增加，殘余誤差逐漸減小，當(dāng)作動(dòng)器數(shù)量達(dá)到臨界點(diǎn)(40個(gè))時(shí)，控制誤差到達(dá)最小飽和值。

圖5 優(yōu)化迭代曲線(14個(gè)作動(dòng)器)Fig.5 Iteration curve of optimization (14 actuators)

圖6 作動(dòng)器電壓以及殘余型面位移誤差Fig.6 Voltages of actuators and residual surface displacement error

圖7 Zernike多項(xiàng)式線性組合的位移誤差云圖Fig.7 Contour of displacement error of linear combination of Zernike polynomials

圖8 作動(dòng)器數(shù)量分別為10、20和35時(shí)的迭代曲線Fig.8 Iteration curves with 10, 20, and 35 actuators

圖9 3種情況下作動(dòng)器電壓以及相應(yīng)殘余誤差云圖Fig.9 Voltages of actuators and corresponding residual surface errors contours in three cases

圖10 殘余RMS誤差隨作動(dòng)器數(shù)量的變化Fig.10 Variation of residual RMS error with number of actuators

3 樣機(jī)制作與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

制作了CFRP復(fù)合材料格柵反射器，外沿直徑為1.2 m，有效區(qū)域?yàn)閮?nèi)切圓直徑1.0 m的正六邊形區(qū)域，焦距為2.1 m。格柵反射器的型面主動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)在恒溫恒濕實(shí)驗(yàn)室中的高精度光學(xué)平臺(tái)上搭建并完成。實(shí)驗(yàn)環(huán)境以及主控高精度格柵反射器樣機(jī)照片如圖11所示。每節(jié)格柵上安裝一個(gè)PZT作動(dòng)器以實(shí)現(xiàn)反射器的型面控制，PZT作動(dòng)器的總數(shù)為72支。反射器背部格柵中心處用夾具進(jìn)行固定并將夾具底座完全固定于光學(xué)平臺(tái)上。圖12為作動(dòng)器電壓控制器軟件和硬件設(shè)施。

反射面上靶點(diǎn)的位移采用V-STARS攝影測(cè)量?jī)x進(jìn)行測(cè)量，作為輸入電壓的反饋。V-STARS攝影測(cè)量系統(tǒng)組件如圖13所示。它是一種利用光學(xué)三角定位法進(jìn)行標(biāo)定的高精度攝影測(cè)量工具。主控反射器系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)如圖14所示。

測(cè)量靶點(diǎn)共469個(gè)，位于反射面上均勻分布。對(duì)測(cè)量得到的靶點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行定焦擬合，可得到固定焦距下反射面的型面誤差。

圖11 實(shí)驗(yàn)環(huán)境和主控格柵反射器樣機(jī)Fig.11 Experimental environment and prototype of active rib reflector

圖12 電壓控制系統(tǒng)軟、硬件Fig.12 Hardware and software of voltage control system

圖13 V-STARS攝影測(cè)量系統(tǒng)組件Fig.13 Components of V-STARS photogrammetry system

圖14 主動(dòng)型面控制實(shí)驗(yàn)測(cè)量系統(tǒng)Fig.14 Experiment measurement system for active shape control

3.1 單個(gè)PZT作動(dòng)器線性度驗(yàn)證

首先對(duì)PZT作動(dòng)器給定電壓輸入時(shí)，反射面產(chǎn)生位移的線性度進(jìn)行驗(yàn)證，確保分析和實(shí)驗(yàn)基本假設(shè)的正確性。對(duì)反射器上某一內(nèi)圈作動(dòng)器分別加載25、50、75、100、150 V電壓，并測(cè)量反射面上節(jié)點(diǎn)相應(yīng)的位移。5個(gè)靶點(diǎn)分別位于圖14中反射器邊緣的沿雙向箭頭方向上，標(biāo)號(hào)分別為 1～5。圖15為反射面上5個(gè)節(jié)點(diǎn)在不同電壓下的位移曲線，從圖可以看出，反射面上節(jié)點(diǎn)的位移和電壓呈近線性關(guān)系，從而從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了主動(dòng)控制反射器結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型符合線性本構(gòu)關(guān)系的假設(shè)。

圖15 反射面上5個(gè)點(diǎn)的位移Fig.15 Displacement of 5 points on reflector surface

3.2 有限元模型的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

由于主控格柵反射器型面最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)建立在有限元模型的基礎(chǔ)之上，因此建立的有限元分析模型與真實(shí)物理系統(tǒng)的一致性將關(guān)系到型面控制實(shí)驗(yàn)的效果。將分析模型中每個(gè)PZT作動(dòng)器加載50 V電壓計(jì)算得到的反射面型面變形與真實(shí)樣機(jī)的測(cè)試結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，圖16為其中3個(gè)作動(dòng)器加載50 V電壓時(shí)型面變形誤差云圖的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從圖16可以看出，作動(dòng)器在50 V 電壓下產(chǎn)生的反射面形變?cè)茍D計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果很接近。因此，證明了所建立的有限元模型的正確性，為進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)反射面的型面控制確立了基礎(chǔ)。

圖16 反射面在不同作動(dòng)器作用下位移誤差云圖Fig.16 Displacement error contours of reflector surface with different implementations of actuators

3.3 反射面初始制造誤差的型面控制

CFRP復(fù)合材料格柵反射器的初始型面精度受到模具精度、固化成型中產(chǎn)生的應(yīng)力的影響，因此，反射器的型面會(huì)存在一定的初始型面誤差。本實(shí)驗(yàn)針對(duì)格柵反射器的初始型面誤差，采用PZT壓電作動(dòng)器進(jìn)行型面的主動(dòng)調(diào)整。反射器的初始型面誤差云圖如圖17所示。

圖17 反射器的初始型面誤差Fig.17 Initial surface error of reflector

反射面的初始RMS誤差為43.4 μm。運(yùn)用72支PZT壓電作動(dòng)器對(duì)型面進(jìn)行主動(dòng)控制，控制后殘余誤差的分布云圖計(jì)算分析與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如圖18所示。從圖18可以看出，控制后型面的殘余誤差云圖，分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較接近。分析的殘余RMS誤差為17.8 μm。實(shí)驗(yàn)測(cè)量的殘余RMS誤差為19.5 μm，與計(jì)算結(jié)果較為接近，型面控制的效果顯著。72支作動(dòng)器相應(yīng)的電壓分布如圖19所示。

圖18 控制后反射器型面的殘余誤差Fig.18 Residual error of reflector surface after control

圖19 主動(dòng)型面控制的電壓分布Fig.19 Distribution of voltages of active shape control

4 結(jié) 論

本文研究了CFRP格柵反射器的型面主動(dòng)控制問題。從理論上建立了主控格柵反射器的有限元模型，基于建立的有限元模型提出了一種型面控制器的設(shè)計(jì)方法，并對(duì)PZT作動(dòng)器的位置分布進(jìn)行了優(yōu)化。最后，搭建了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。進(jìn)行了主控實(shí)驗(yàn)研究。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)可總結(jié)如下：

1) 設(shè)計(jì)了一種關(guān)于CFRP格柵反射器型面控制的方案，運(yùn)用Hamilton變分原理推導(dǎo)了具有電壓獨(dú)立自由度、考慮高階剪切形變的反射器有限元模型。

2) 基于平衡方程推導(dǎo)了型面最優(yōu)控制器的表達(dá)式，反射器的型面控制問題轉(zhuǎn)化為約束二次規(guī)劃問題。

3) 對(duì)任意形式的載荷，將自適應(yīng)遺傳算法和梯度投影方法相結(jié)合，求解了限制作動(dòng)器數(shù)量情況下的作動(dòng)器位置分布和相應(yīng)電壓的問題。

4) 搭建了主控格柵反射器的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。針對(duì)有限元模型的準(zhǔn)確性以及對(duì)制造誤差的控制效果進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

附錄A

1) 板單元

板單元的形函數(shù)表達(dá)式為

(A1)

i=1,2,3,4

(A2)

2) 梁?jiǎn)卧?/p>

梁?jiǎn)卧男魏瘮?shù)矩陣可表示為

N′=[K′iK′j]

(A3)

子矩陣K′i和K′j可表示為

(A4)

式中:ξ′為梁?jiǎn)卧男魏瘮?shù)參數(shù)；z′和y′為梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系下的坐標(biāo)；l為梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度。