楊 帆，鳳 濤，謝 衍，劉永輝

(1.西安工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，西安 710021；2.中國(guó)鐵路西安局集團(tuán)有限公司，西安 710054)

傳遞矩陣法起源于20世紀(jì),旨在解決彈性力學(xué)問(wèn)題，基本思想是將一個(gè)整體結(jié)構(gòu)視作多輸入多輸出的線(xiàn)性系統(tǒng)，系統(tǒng)若干單元或子結(jié)構(gòu)的輸出載荷與輸入載荷之間力學(xué)特性的分析轉(zhuǎn)化為若干單元或子結(jié)構(gòu)對(duì)接矩陣與傳遞矩陣的力學(xué)分析，基于矩陣乘法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)特性、動(dòng)力學(xué)特性以及穩(wěn)定性的分析[1-2]。結(jié)構(gòu)的固有頻率和主振型可通過(guò)力學(xué)矩陣進(jìn)行解算，反映了系統(tǒng)的硬度、質(zhì)量、形狀和材質(zhì)，矩陣形式有助于建模和分析元件組成的系統(tǒng)所處的各種條件和相應(yīng)作用。

傳遞矩陣法能夠解決曲線(xiàn)梁的各種內(nèi)力分析問(wèn)題，輔助體系傳遞矩陣法是一種借助輔助體系來(lái)求解矩陣的精確解法[3]，文獻(xiàn)[4]在考慮剪切變形條件下基于輔助體系法對(duì)空間直線(xiàn)梁橋傳遞關(guān)系進(jìn)行了建模分析。與有限元分析法相比，傳遞矩陣方法模型精度高，計(jì)算誤差較小，利于編程計(jì)算，本文采用輔助體系法對(duì)空間曲線(xiàn)梁的彈塑性進(jìn)行建模和分析，進(jìn)而推導(dǎo)了塑性鉸的不同模型傳遞關(guān)系。

1 曲線(xiàn)梁的分析模型

曲線(xiàn)梁橋的應(yīng)用非常廣泛，其力學(xué)分析極為重要。曲線(xiàn)梁在外荷載作用下會(huì)產(chǎn)生彎-扭耦合效應(yīng)，產(chǎn)生彎矩的同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生扭矩，產(chǎn)生豎向撓曲變形的同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角，由于這種耦合效應(yīng)，其變形值要比一般直線(xiàn)橋大[4-8]。

曲線(xiàn)梁的空間分析模型為

S=[NxQyQzMxMyMzuvwθxθyθz]T

式中：Nx為軸力；Qy,Qz為剪力；Mx，My，Mz為彎矩；x為切向坐標(biāo)；y為徑向坐標(biāo)；z為豎向坐標(biāo)；u為x向位移；v為y向位移；w為z向位移；θx為x向轉(zhuǎn)角；θy為y向轉(zhuǎn)角；θz為z向轉(zhuǎn)角。

此模型包含12個(gè)狀態(tài)量。

2 曲線(xiàn)梁彈塑鉸模型分析原理

根據(jù)曲線(xiàn)梁的受力及變形特點(diǎn)，塑性鉸模型可分為塑性鉸彎曲模型、塑性鉸剪切模型、塑性鉸扭轉(zhuǎn)模型以及塑性鉸拉壓模型[9-12]。

2.1 塑性鉸彎曲模型

分析模型采用轉(zhuǎn)角模型(如圖1所示)，Ml為桿左端彎矩，Mr為桿右端彎矩，l為桿左端，r為桿右端。在桿件單元的兩端設(shè)置等效彈簧來(lái)表示桿件單元的彈塑性變形，任意恢復(fù)力模型來(lái)表達(dá)桿件的剛度[10]。

桿件的轉(zhuǎn)角關(guān)系可以表示為

(1)

式中：θl為桿左端轉(zhuǎn)角；θr為桿右端轉(zhuǎn)角；θ′l為左端彈性轉(zhuǎn)角；θ′r為右端彈性轉(zhuǎn)角；αl為左端塑性轉(zhuǎn)角；αr為右端塑性轉(zhuǎn)角。當(dāng)αl和αr為0時(shí)，桿件處于彈性變形的狀態(tài)。

圖1 模型轉(zhuǎn)角圖Fig.1 The corner of the model

結(jié)構(gòu)塑形變形建模采用桿端彎矩M與桿端轉(zhuǎn)角θ的恢復(fù)力模型。圖2(a)為彎矩和總轉(zhuǎn)角的關(guān)系，圖2(b)為彎矩與塑性轉(zhuǎn)角的關(guān)系[10]。p1為彎矩與轉(zhuǎn)角的關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù)；f1為彎矩與塑性轉(zhuǎn)角的關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù)；k1為彈性階段的剛度；θ′為彈性扭轉(zhuǎn)角；α為塑性扭轉(zhuǎn)角；Δα為塑性扭轉(zhuǎn)角增量；My為扭矩的極限值。

圖2 彎矩與轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.2 The relation between bending moment and corner

根據(jù)式(1)，從圖2(a)中可以得到

(2)

從圖2(b)中可以得到

(3)

且k1=2EI/Rβ

令式(2)和式(3)相等，得到

(4)

將式(4)寫(xiě)成矩陣形式，則

Sr=D1Sl

(5)

(6)

式中：p1z為扭矩與扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù)的z向分量；p1y為扭矩與扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù)的y向分量；Iy為截面慣性矩的y向分量；Iz為截面慣性矩的z向分量；f1y為扭矩與塑性扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù)的y向分量；f1z為扭矩與塑性扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù)的z向分量；E6為6階單位矩陣。

2.2 塑性鉸剪切模型

當(dāng)結(jié)構(gòu)的主要破壞形式為剪切破壞時(shí)，就需要用剪力V與位移v的關(guān)系的塑性鉸模型來(lái)表達(dá)結(jié)構(gòu)的受力特性。

v=v′+v″

(7)

式中：v為剪力位移；v′為彈性位移；v″為塑性位移。當(dāng)v″為0時(shí)，桿件處于彈性變形狀態(tài)。

文中表示結(jié)構(gòu)的塑性變形采用剪力V與位移v的恢復(fù)力模型。圖3(a)為剪力和位移的關(guān)系，圖3(b)為剪力與塑性位移的關(guān)系[10]。Vf為剪力的彈性極限值；Vy為剪力的極限值；k2為彈性階段的剛度；p2為剪力與位移v的關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù)；f2為剪力與塑性位移關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù)；Δv″為塑性位移增量。

圖3 剪力與位移關(guān)系Fig.3 The relation between shear and displacement

根據(jù)彎曲塑性鉸求解法，剪切塑性鉸的點(diǎn)陣為

Sr=D2Sl

(8)

(9)

式中：μ為泊松比；G為剪切彈性模量；D2為剪切塑性鉸的點(diǎn)陣；A為截面積；p2y為剪力與位移v的關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù)的y向分量；p2z為剪力與位移v的關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù)的z向分量。

2.3 塑性鉸扭轉(zhuǎn)模型

當(dāng)結(jié)構(gòu)的主要破壞形式為扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，就需要用扭矩T與扭轉(zhuǎn)角φ的關(guān)系的塑性鉸模型來(lái)表達(dá)結(jié)構(gòu)的受力特性。即

φ=φ′+φ″

(10)

式中：φ為扭轉(zhuǎn)角；φ′為彈性扭轉(zhuǎn)角；φ″為塑性扭轉(zhuǎn)角。當(dāng)φ″為0時(shí)，桿件處于彈性變形的狀態(tài)。

文中表示結(jié)構(gòu)的塑性變形采用扭矩T和扭轉(zhuǎn)角φ的恢復(fù)力模型。圖4(a)為扭矩和扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系，圖4(b)為扭矩與塑性扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系[10]。Tf為扭矩的彈性極限值；Ty為扭矩的極限值；k3為彈性階段的剛度；p3為扭矩與扭轉(zhuǎn)角φ的關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù)；f3為扭矩與塑性扭轉(zhuǎn)角φ″的關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù)；Δφ″為塑性扭轉(zhuǎn)角增量。

圖4 扭矩與扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系Fig.4 The relation between torque and torsion angle

根據(jù)彎曲塑性鉸求解法，扭轉(zhuǎn)塑性鉸的點(diǎn)陣為

Sr=D3Sl

(11)

(12)

式中：It為抗扭慣性矩；D3為扭轉(zhuǎn)塑性鉸的點(diǎn)陣。

2.4 塑性鉸拉壓模型

當(dāng)結(jié)構(gòu)的主要破壞形式為拉壓破壞時(shí)，就需要用軸力N與位移u的關(guān)系的塑性鉸模型來(lái)表達(dá)結(jié)構(gòu)的受力特性。即

u=u′+u″

(13)

式中：u為軸向位移；u′為軸向彈性位移；u″為軸向塑性位移。當(dāng)u″為0時(shí)，桿件處于彈性變形狀態(tài)。

文中表示結(jié)構(gòu)的塑性變形采用軸向力N和軸向位移u的恢復(fù)力模型。軸力和軸向位移的關(guān)系如圖5(a)所示，軸力與軸向塑性位移的關(guān)系如圖5(b)所示[10]。Nf為軸力的彈性極限值；Ny為軸力的極限值；k4為彈性階段的剛度；p4為軸力N與位移u的關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù)；f4為軸力N與塑性位移u″的關(guān)系中超過(guò)彈性階段剛度的比例系數(shù);Δu″為軸向塑性位移增量。

根據(jù)彎曲塑性鉸求解法，拉壓塑性鉸的點(diǎn)陣為

Sr=D4Sl

(14)

圖5 軸力與位移關(guān)系Fig.5 The relation between axial force and displacement

(15)

其中D4為拉壓塑性鉸的點(diǎn)陣。

曲線(xiàn)梁的內(nèi)力和變形計(jì)算都較為復(fù)雜，存在“彎-扭”耦合效應(yīng)，可以將多種塑性鉸模型合并應(yīng)用。此時(shí)塑性鉸的點(diǎn)陣為

[D]3=

(16)

3 實(shí)例計(jì)算

橋梁結(jié)構(gòu)在地震作用下會(huì)發(fā)生不同程度的損傷破壞，結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性變形階段和混凝土碎裂破壞階段的時(shí)候，假定混凝土的壓碎失效和鋼筋的屈服失效同時(shí)發(fā)生，取混凝土進(jìn)入破壞失效階段的許用應(yīng)力[σ]=35 N·mm-2，進(jìn)入彈塑性階段的許用應(yīng)力為0.4[σ][12]。

某5跨鋼筋混凝土曲線(xiàn)連續(xù)箱梁橋，支座彈簧的剛度為kz=7.2×103MPa·m-1，ky=3.65 MPa·m-1，kx=4.95×103kN·m-1，具體模型尺寸如圖6～7所示，參數(shù)見(jiàn)表1。q為分布力；P為集中力；Iω為截面扇形慣性矩。

該算例將進(jìn)入破壞失效階段的許用應(yīng)力值轉(zhuǎn)化為許用彎矩值[M2]=43 360 kN·m，進(jìn)入彈塑性階段的許用應(yīng)力值轉(zhuǎn)化為許用彎矩值為[M1]=17 344 kN·m，彈性編程結(jié)果顯示，最大彎矩為1.8×104kN·m，此彎矩值超過(guò)了彈性階段的最大彎矩值，采用彈塑性塑性鉸編程來(lái)計(jì)算(取p1y=p1z=0.5)，結(jié)果如圖8所示。

圖6 計(jì)算模型Fig.6 The calculation model

圖7 計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.7 The calculation diagram

表1 曲線(xiàn)梁的基本參數(shù)Tab.1 The basic parameters of a curved beam

圖8 曲線(xiàn)梁的內(nèi)力及變形圖Fig.8 Theinternal force and deformation of a curved beam

4 結(jié) 論

1)文中通過(guò)對(duì)曲線(xiàn)梁的彈塑性模型的分析，采用輔助體系法導(dǎo)出了曲線(xiàn)梁橋不同塑性鉸(塑性彎曲鉸模型、塑性剪切鉸模型、塑性扭轉(zhuǎn)鉸模型以及塑性拉壓鉸模型)的傳遞矩陣。

2)通過(guò)實(shí)例計(jì)算，表明可采用輔助體系傳遞矩陣法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈塑性分析，此方法相比有限元的方法更加簡(jiǎn)便實(shí)用，為空間曲梁的結(jié)構(gòu)分析提供了理論和方法。