蔡海濤

心理學(xué)家加涅按照學(xué)習(xí)的結(jié)果把學(xué)習(xí)劃分為五類(lèi)，即言語(yǔ)信息的學(xué)習(xí)、智慧技能的學(xué)習(xí)、認(rèn)知策略的學(xué)習(xí)、動(dòng)作技能的學(xué)習(xí)和態(tài)度學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)分類(lèi)理論認(rèn)為：不同類(lèi)型的學(xué)習(xí)結(jié)果，所需要滿足學(xué)習(xí)的過(guò)程及條件也不相同，對(duì)不同的學(xué)習(xí)結(jié)果采用不同的教學(xué)方式、策略，可以提高教學(xué)效益，本文以“直線與平面垂直的判定”若干教學(xué)片段為例，談?wù)劵趯W(xué)習(xí)分類(lèi)理論的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一些思考，以期與同行交流.

1 定理引入環(huán)節(jié)

1.1片段呈現(xiàn)

教師創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入，

問(wèn)題1這是我們學(xué)校校園廣場(chǎng)美麗的圖片（如圖1），請(qǐng)同學(xué)們觀察學(xué)校廣場(chǎng)的燈柱子與地面的關(guān)系。

生：垂直關(guān)系，

接下來(lái)，老師拿出正方體的模型，問(wèn)題2：正方體的側(cè)棱與底面有什么關(guān)系，

生：垂直關(guān)系，

師：剛才我們是把燈柱子抽象成直線，地面抽象成平面來(lái)觀察兩者之間關(guān)系的，

接著，師追問(wèn)，問(wèn)題3：觀察圖2，回答以下問(wèn)題串：

（l）陽(yáng)光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

（2）隨著太陽(yáng)的移動(dòng)，影子BC的位置也會(huì)移動(dòng)，而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會(huì)發(fā)生改變？

（3）旗桿AB與地面上任意一條不過(guò)點(diǎn)B的直線的位置關(guān)系如何？依據(jù)是什么？

師生活動(dòng)：教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時(shí)間的變化而移動(dòng)的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生得出旗桿所在的直線與地面內(nèi)的直線都垂直.

1.2 設(shè)計(jì)意圖

加涅的學(xué)習(xí)分類(lèi)理論認(rèn)為：言語(yǔ)信息又稱(chēng)陳述性知識(shí)，是指人們用語(yǔ)言來(lái)表達(dá)信息的能力，是學(xué)習(xí)解決“是什么”的問(wèn)題，智慧技能的本質(zhì)特征是人們使用符號(hào)與環(huán)境進(jìn)行交互作用，是學(xué)習(xí)解決“怎么做”的問(wèn)題，

通過(guò)問(wèn)題1和問(wèn)題2的一導(dǎo)和一問(wèn)，借助圖片、實(shí)例的觀察，在直觀感知和理解線面垂直關(guān)系基礎(chǔ)上，抽象歸納出直線與平面垂直的定義，借助學(xué)生熟悉的模型充分地激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，在立體幾何的入門(mén)教學(xué)中，要充分借助模型，而模型最好是學(xué)生再熟悉不過(guò)的東西，教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生最熟悉的模型是正方體和正四面體，通過(guò)研究教材，我們發(fā)現(xiàn)課本中大部分的例題和習(xí)題是通過(guò)這兩個(gè)模型抽象而來(lái)，這兩個(gè)模型容量大，很多的線線、線面、面面關(guān)系都可以從這兩個(gè)模型中找到，同時(shí)，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生把手中的筆抽象成線，課桌椅的桌面抽象成面，借助模型，我們可以演示出各種基本的線面位置關(guān)系，較快形成空間概念的目的，提高了學(xué)生的言語(yǔ)信息學(xué)習(xí)效果，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和直觀想象能力，促使學(xué)生形成正確的空間概念，

問(wèn)題3的第（l）與（2）兩問(wèn)旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條過(guò)點(diǎn)B的直線垂直;第（3）問(wèn)進(jìn)一步讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條不過(guò)點(diǎn)B的直線也垂直，在這里，主要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察直立于地面的旗桿與它在地面的影子的位置關(guān)系來(lái)分析、歸納直線與平面垂直這一概念，提高了學(xué)生智慧技能學(xué)習(xí)效果，由于在之前教學(xué)環(huán)節(jié)中有了模型的應(yīng)用，學(xué)生對(duì)線面垂直關(guān)系有了初步的直觀感知，再把這模型抽象成幾何圖形就容易多了.

2定理探究環(huán)節(jié)

2.1片段呈現(xiàn)

問(wèn)題4我們?cè)趯W(xué)好線面垂直的定義后，知道要判斷直線與平面垂直，必須要證明這條直線垂直平面內(nèi)的任意一條直線，這在實(shí)際問(wèn)題中是無(wú)法操作的，看來(lái)我們必須尋找新的解決辦法，下面我們一起來(lái)做個(gè)實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)各個(gè)學(xué)習(xí)小組拿出課前準(zhǔn)備好的紙片，如圖3，過(guò)AABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，如圖4，將翻折后的紙片豎起放在桌面上（BD，DC與桌面接觸），如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？

師生互動(dòng)：各個(gè)小組在自主探究和合作交流中，得到當(dāng)折痕AD與BC垂直時(shí)，折痕AD與桌面所在平面垂直，通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)要判斷一條直線垂直平面，只要這條直線垂直平面內(nèi)兩條相交直線就行，這就是證明線面垂直時(shí)“線不在多，相交就行”，從而得到判定定理.

2.2 設(shè)計(jì)意圖

加涅的學(xué)習(xí)分類(lèi)理論認(rèn)為：認(rèn)知策略是一種特殊的智慧技能，它包括控制學(xué)習(xí)、識(shí)記和思維運(yùn)用的能力，動(dòng)作技能是指通過(guò)練習(xí)獲得的、按一定規(guī)則協(xié)調(diào)自身運(yùn)動(dòng)的能力，這種技能是通過(guò)練習(xí)來(lái)改善的，其學(xué)習(xí)的本質(zhì)是重復(fù)基礎(chǔ)性的動(dòng)作并從環(huán)境獲得反饋。

這個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)目的是讓學(xué)生動(dòng)手操作，感悟折紙活動(dòng)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，感知“不垂直”的原因和“垂直”的條件，從而探究新知，數(shù)學(xué)理論的抽象性，通常有某種“直觀”的想法為背景，特別在高一立體幾何入門(mén)學(xué)習(xí)中，為了讓學(xué)生盡快扭轉(zhuǎn)缺乏空間想象能力的現(xiàn)象，教師通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，把這種直觀的背景顯現(xiàn)出來(lái)，幫助學(xué)生抓住其本質(zhì)，了解它的變形和發(fā)展及與其它問(wèn)題的聯(lián)系，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中感受“有限”代替“無(wú)限”，歸納出直線與平面垂直判定定理的本質(zhì)特征，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”思想在數(shù)學(xué)研究過(guò)程中的重要作用，加強(qiáng)了認(rèn)知策略的學(xué)習(xí)，這個(gè)環(huán)節(jié)著力于學(xué)生的學(xué)，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)主人，主動(dòng)探索新知，力求通過(guò)這個(gè)方式來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、動(dòng)手能力和解決問(wèn)題的能力，加強(qiáng)了學(xué)生動(dòng)作技能的學(xué)習(xí)，同時(shí)有利于改變學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.

3定理證明環(huán)節(jié)

3.1片段呈現(xiàn)

問(wèn)題5經(jīng)過(guò)剛才的實(shí)驗(yàn)，猜測(cè)出要判定線面垂直，只要這條直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線就行，但是，這個(gè)結(jié)論還需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明才可以，這個(gè)結(jié)論一定成立嗎？我們?cè)撊绾巫C明？

當(dāng)老師這么說(shuō)時(shí)，原本經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)成功興奮的學(xué)生們立馬安靜了下來(lái)，這個(gè)時(shí)候，老師打出幻燈片，對(duì)定理的證明做如下的介紹：

歐幾里得在《幾何原本》第Ⅱ卷中就給出了線面垂直的定義和判定定理，并對(duì)定理進(jìn)行了證明，不過(guò)證明過(guò)程比較繁瑣冗長(zhǎng).

20世紀(jì)中葉以前的西方立體幾何教科書(shū)中，線面垂直定理的證明方法主要有6種：歐式證法、等腰三角形法、對(duì)稱(chēng)法、引理法、勒讓德法、阿達(dá)瑪法，其中最廣泛采用的是對(duì)稱(chēng)法.

18世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家克萊羅（1713-1765）在《幾何基礎(chǔ)》（1741）中并未給出嚴(yán)格的證明，而只作了一個(gè)直觀的解釋?zhuān)喝鐖D5所示，

師：以上這些數(shù)學(xué)家對(duì)定理有不同方法的證明，請(qǐng)各位同學(xué)再上網(wǎng)查閱相關(guān)資料.

3.2設(shè)計(jì)意圖

加涅的學(xué)習(xí)分類(lèi)理論認(rèn)為：態(tài)度影響學(xué)習(xí)者選擇個(gè)人行動(dòng)，態(tài)度是個(gè)體習(xí)得的相對(duì)穩(wěn)定的影響個(gè)體行為選擇方向的內(nèi)部狀態(tài)，

本節(jié)課對(duì)定理的證明，雖然課本沒(méi)有給出嚴(yán)格的證明，但是對(duì)于一個(gè)定理學(xué)習(xí)的完整性，證明是必要的，這是探究一個(gè)新知的積極態(tài)度，基于學(xué)習(xí)分類(lèi)理論中學(xué)習(xí)態(tài)度方面的考慮，在證明的環(huán)節(jié)滲透數(shù)學(xué)文化，架起數(shù)學(xué)文化與實(shí)踐研究的橋梁，把數(shù)學(xué)史文化滲透到課堂里，讓學(xué)生感受到在數(shù)學(xué)的歷史長(zhǎng)河中，重大思想方法的誕生和發(fā)展激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)讓學(xué)生更接近數(shù)學(xué)的本源，更好地理解數(shù)學(xué)，從而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，形成喜歡數(shù)學(xué)的態(tài)度.

4 總結(jié)反思

人的學(xué)習(xí)行為是千差萬(wàn)別的，但都可以歸入加涅提出的五類(lèi)學(xué)習(xí)結(jié)果中，即言語(yǔ)信息、智慧技能、認(rèn)知策略、動(dòng)作技能和態(tài)度的學(xué)習(xí)，因此，我們可以針對(duì)不同類(lèi)型的學(xué)習(xí)來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)，包括確定目標(biāo)、任務(wù)分析、教學(xué)過(guò)程及結(jié)果測(cè)評(píng)，在本節(jié)課中，學(xué)生學(xué)習(xí)的困難在于如何從直線與平面垂直的直觀形象中提煉出直線與平面垂直的定義，感悟直線與平面垂直的意義;以及如何從折紙?jiān)囼?yàn)中探究出直線與平面垂直的判定定理;在探究直線與平面垂直的判定定理過(guò)程中，學(xué)生對(duì)“為什么要且只要兩條相交直線”的理解有一定的困難，因?yàn)槎x中的“任意一條直線”是指“所有直線”，這種用“有限”代替“無(wú)限”的過(guò)程會(huì)導(dǎo)致學(xué)生形成理解上的思維障礙，基于學(xué)習(xí)分類(lèi)理論的教學(xué)設(shè)計(jì)，注重學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成和發(fā)展的過(guò)程，每一個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的目標(biāo)是具體的、可操作的，而非空洞的，通過(guò)這五類(lèi)學(xué)習(xí)，可不斷完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新性學(xué)習(xí)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)具有能動(dòng)性、獨(dú)立性、超前性、參與性，只有這五類(lèi)學(xué)習(xí)均衡發(fā)展，才能引導(dǎo)學(xué)生走向創(chuàng)造。