孫波

摘要：研究高等數(shù)學教材教法，全面分析了高等數(shù)學課程的性質、特點及我國高等數(shù)學教育的歷史與現(xiàn)狀和存在的主要問題與矛盾，提出了數(shù)學生活化教學觀點與方法，并結合教學實踐經(jīng)驗進行了具體論述。主要觀點是多用生活事例說明數(shù)學概念和結論，圍繞實際應用講授數(shù)學理論，讓數(shù)學回歸生活、回歸自然。

關鍵詞：高等數(shù)學；生活化事例；應用

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2019）23-0181-03

一、引言

數(shù)學是理工科的靈魂，也是現(xiàn)代管理科學及數(shù)量經(jīng)濟學的計算工具，因而數(shù)學教育在基礎教育和高等教育中占了很大比重。但數(shù)學概念之抽象、推導之復雜使之教學難度大。由于受前蘇聯(lián)教育模式的影響，我國數(shù)學教材、教學內容和教學方式過分強調了數(shù)學推理的嚴謹性和理論體系的完整性而忽略了教學過程的通俗性和應用性。特別是進入新世紀以來，我國基礎教育實行了義務教育，高等教育規(guī)模進一步擴大，漸漸由精英教育轉變?yōu)榇蟊娊逃促|量參差不齊，學生的個性與興趣愛好漸漸多元化。此外，由于學科門類越來越多，學生的課程負擔越來越重，學習耐心和自覺性也有所下降。因此，如何適應新形勢，調整數(shù)學教學理念、教學內容和教學方式，使之既能滿足應用需要，又易于學生接受是擺在數(shù)學教育工作者面前的一大課題。筆者既非教育家，也談不上數(shù)學家，僅憑一腔熱情以管筆之見和數(shù)學同行們探討這一話題，以期拋磚引玉，共同推動我國數(shù)學教育改革。筆者認為，日常生活現(xiàn)象是人最容易理解的，拿現(xiàn)實生活里面的事物講數(shù)學有可能達到深入淺出、事半功倍的效果。

二、生活中的函數(shù)

函數(shù)是數(shù)學的基本概念之一，其嚴格定義是兩數(shù)集之間的對應。但集合與對應是兩個抽象數(shù)學概念，即便教師把定義抄在黑板上，學生再背它幾遍，仍可能是一知半解。當然，經(jīng)過長時間的思維積淀之后也能漸漸理解到位，此所謂“書讀百遍，其意自現(xiàn)”。但如果我們能找到捷徑使書讀一遍，便其意自現(xiàn)豈不更好？其實，數(shù)量對應關系在日常生活中比比皆是，如住宅小區(qū)物業(yè)管理費跟住房面積之間的關系，水電費、燃氣費跟實際用量之間的關系，房屋總售價跟平方均價之間的關系都可歸結為函數(shù)關系。也許是因為它們太平凡，大家熟視無睹，或者是因為它們太俗，不足以寫進書本，不屑登上大雅之堂，很少見到哪本教材、哪位教師拿它們來講函數(shù)。我們不妨嘗試一下函數(shù)概念是不是可以這樣引入：假設你們家所在小區(qū)的月物業(yè)管理費為每平方米1.2元，小區(qū)戶型面積有103、130、142、154和205平方米，則相應的月物業(yè)管理費等于戶型面積乘以1.2元每平方米，分別為123.6、156、170.4、184.8和246元。接著畫出它們之間的對應關系圖，然后提煉函數(shù)抽象定義和解析表達式：用X表示該住宅小區(qū)房屋面積的集合，Y表示月物管費的集合，則X中每一個數(shù)對應Y中唯一確定的數(shù).設x為集合X中的面積數(shù)，y為Y中的費用數(shù)，則集合Y中對應的售價可表述為

y=1.2x.

我們稱上例中的x為自變量，y因x而變化，故稱為因變量，也稱為x的函數(shù)。此外還可順便介紹一下其他描述方式，如有序數(shù)對法，一對數(shù)x和y可記為有序數(shù)對（x，y）。本例函數(shù)關系可用有序數(shù)對表示為

（103，123.6），（130，156），（142，170.4），（154，184.8），（205，246）

超市購物是青少年最熟悉不過的生活內容，超市貨架上每件商品都帖了條形碼，顧客把選購的商品拿到收銀處，收銀員用掃碼器生成價格。顯然，每個條形碼對應唯一確定的價格，所以超市商品條形碼與掃碼器生成的價格之間也構成函數(shù)關系。

生活中的函數(shù)還有很多，比如下例介紹的水費階梯定價函數(shù)，為了合理引導居民用水，長沙市實行居民用水階梯式定價，共分三級，如2017年四口之家的定價標準為：第一級：水量基數(shù)為15立方米及以下，單價為2.58元/立方米；第二級：水量基數(shù)為15至22立方米（含22立方米），超過15立方米部分單價為3.34元/立方米；第三級：22立方米以上，超過部分單價為4.09元/立方米。水費計算方式為：第一級水價×第一級水量基數(shù)+第二級水價×第二級水量基數(shù)+第三級水價×第三級用水量。如果四口之家某月用水量為10立方米，則其當月水費為10×2.58=25.8（元）；如果他們某月用水量為20立方米，則其當月水費為15×2.58+（20-15）×3.34=55.4（元）；如果他們某月用水量為30立方米，則其當月用水量為15×2.58+（22-15）×3.34+（30-22）×4.09=94.8（元）。總之，給定的用水量對應唯一確定的水費，因而用水量與水費之間構成函數(shù)關系。用x表示四口之家月用水量，y表示相應水費，則函數(shù)關系可表述為

y=2.58x，0≤x≤15，2.58×15+3.34（x-15），1522.

類似的問題還有燃氣階梯定價、電費階梯定價等，這些問題不僅幫助學生理解了數(shù)學概念，還可培養(yǎng)青少年的節(jié)能環(huán)保意識。

三、生活中的微積分

微積分是高等數(shù)學的核心內容，微分指函數(shù)的變化率，積分則指函數(shù)的空間積累。但因都要通過極限來定義，而且積分的定義形式更復雜難懂，初學者往往暈暈乎乎。但如果拿現(xiàn)實生活中的某些事例來講可能就不那么難了。開車是現(xiàn)代人的交通出行手段，速度里程表是大家每天都要看的。速度表顯示汽車的運行速度，里程表顯示汽車運行的路程。試想，如果速度表表壞了而里程表完好，我們能否根據(jù)里程表數(shù)字算出汽車運行速度呢？或反過來，如果里程表壞了而速度表完好，我們是否也能用速度表推算里程表？教學內容可這樣組織：先顯示一個汽車速度里程表給學生以直覺，然后從最簡單情形——勻速運動入手討論。假設汽車的運行速度保持60公里/小時，記v=60，則里程按此速度均勻增加，記為f=60t。速度和里程函數(shù)圖像如下：

容易看出，t時刻的里程f=60t剛好等于速度函數(shù)圖像在t軸上0和t之間所蓋面積；而v值則等于f的變化率。然后考慮最簡單變速運動——分段勻速，比如0到2小時之內速度保持60，而2到4小時之內速度保持40，速度函數(shù)可分段表示為

顯然此時的里程應分段計算，表達式為

f（t）=60t，0≤t<2，40t+40，2≤t<4.

其圖像為如下兩段折線：

顯然對于0≤t<2，f（t）=60仍等于速度函數(shù)v的圖像在時間段0和t之間“所蓋面積”，而v值也等于f的變化率，特別的，f（2）=60×2=120等于v的圖像在時間段0和2之間“所蓋面積”，對于2≤t<4，f在時間段2到t的增量40（t-2）也等于速度函數(shù)v的圖像在時間段2和t之間“所蓋面積”，v仍等于f的變化率。兩段合起來也可推出f在時間段0到t的增量等于速度函數(shù)v的圖像在時間段0和t之間“所蓋面積”，v（t）則等于f在t時刻的變化率。顯然一般分段常速運動也具有上述規(guī)律，即分段常速運動里程函數(shù)在任一時間段內的增量等于速度函數(shù)在同一時間段上“所蓋面積”，而任一時刻的速度則等于同時刻里程函數(shù)的變化率。至于一般連續(xù)變速運動，則可理解為由無數(shù)短暫常速運動拼接而成，因而其速度跟里程之間也存在同樣的關系，即t時刻的里程等于速度函數(shù)圖像在時間段0和t之間所蓋面積；而t時刻的速度則等于里程函數(shù)在t時刻的變化率。接下來的問題自然是，如何求給定里程函數(shù)f（t）在任一時刻t的變化率？唯一的做法只能是先在時刻t附近取一短時間間隔[t，t+Δt]（Δt>0）或[t+Δt，t]（Δt<0），則里程f在該段時間的平均變化率■大致反映了f在t時刻的變化率。顯然，|Δt|越小，該平均變化率越能反映f在t時刻的變化率。一般說來，隨著Δt無限趨于0，上述平均變化率會漸漸趨向于一個定數(shù)，那個定數(shù)理所當然是f在t時刻的變化率?？磥恚胗衫锍掏扑闼俣染捅仨毥柚凇盁o限趨向”這樣一個數(shù)學思想和概念，由此引入微積分的主題——極限。

四、讓數(shù)學回歸自然

現(xiàn)代社會給人們提供了豐富多彩的生活內容，同時也為數(shù)學提供了豐富多彩的素材，或許我們的柴米油鹽和衣食住行就是數(shù)學的最好素材和無窮源泉！說得文學一點，生活就是數(shù)學永恒的主題，拿日常生活講數(shù)學，拿身邊的事講數(shù)學，不一定要把數(shù)學講成遠離生活、高深莫測的空中樓閣！筆者在多年的教學工作中也發(fā)現(xiàn)，很多學生連基本概念都還沒理解就去攻五花八門的習題集和晦澀難懂的怪題，目的也就是為了撞上幾個考試題目。也有教師認為，除了講教材上的例題外，還要從參考資料上找?guī)讉€題目講講以體現(xiàn)水平，同時也有助于學生考研。我們不禁反思和質問：我們到底該教給學生科舉的數(shù)學還是生活的數(shù)學？筆者有一次講數(shù)學分析課推導三次冪函數(shù)導數(shù)時問學生（x+Δt）3的展開式，大部分學生竟然答不上來！他們可都是經(jīng)過了無數(shù)次周考、月考、中考、末考，刷過的難題千千萬，過五關、斬六將，最終超過一本線幾十分的長勝將軍！可遺憾的是，竟然連老祖宗的傳家寶楊輝三角都不知道！筆者不得不懷疑我們平時考的那些難題意義何在？少考幾道難題，多講點應用與生活，偶爾也考一下（a+b）3的展開式又有何妨？新時代的號角已經(jīng)吹響，愿數(shù)學這一古老而又神圣的學科在全面建設小康社會和實現(xiàn)中華民族偉大復興中國夢的偉大進程中回歸自然！

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