閔超

摘要：矩陣的特征值和特征向量是線性代數(shù)課程的重要內(nèi)容，它們不僅在矩陣的可對角化問題中起著關(guān)鍵的作用，也在概率統(tǒng)計(jì)、物理、工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。本文主要探討矩陣的特征值的有關(guān)性質(zhì)，希望能引發(fā)讀者的思考，并對線性代數(shù)的教學(xué)起到一定的作用。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；矩陣的特征值；矩陣多項(xiàng)式；可逆矩陣

中圖分類號(hào)：O151.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2019）24-0190-02

本文主要探討在線性代數(shù)課程教學(xué)中關(guān)于矩陣的特征值和特征向量的有關(guān)問題。首先介紹矩陣的特征值和特征向量的定義以及求法[1]。為方便起見，本文考慮的數(shù)域是復(fù)數(shù)域。

定義[1]：設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)λ和n維非零列向量x使關(guān)系式

Ax=λx （1）

成立，則稱λ是方陣A的特征值，非零列向量x稱為A的對應(yīng)于特征值λ的特征向量。

（1）式也可以寫為

（A-λE）x=0，

該齊次線性方程組有非零解的充要條件是

A-λE=0。 （2）

這里A-λE是λ的n次多項(xiàng)式，稱為A的特征多項(xiàng)式，（2）式稱為A的特征方程。

通過以上的分析，我們得到求解方陣A的特征值和特征向量的方法[1]：首先求出特征方程A-λE=0的全部根，即是A的全部特征值；然后把每個(gè)特征值代入到齊次線性方程組（A-λE）x=0，求出基礎(chǔ)解系，則基礎(chǔ)解系的所有線性組合（零向量除外）就是A對應(yīng)于該特征值的全部特征向量。

現(xiàn)在我們來探討矩陣的特征值的有關(guān)性質(zhì)。

定理1[2]：設(shè)A是n階方陣，f（x）=ax是一個(gè)m次多項(xiàng)式，m∈N，

（i）若λ是方陣A的特征值，則f（λ）是f（A）的特征值；

（ii）設(shè)λ，λ，…，λ是A的全部特征值，則f（λ），f（λ），…，f（λ）是f（A）的全部特征值。

注意該定理的結(jié)論（ii）中重特征值按重?cái)?shù)計(jì)算，（ii）并不能直接由（i）得到，除非能保證A沒有重特征值且f（λ），f（λ），…，f（λ）兩兩互不相等。該定理的嚴(yán)格證明參考林亞南[2] （p185）：（i）直接由特征值和特征向量的定義得到；（ii）的證明需要用到“任一復(fù)數(shù)矩陣相似于一上（下）三角形矩陣”這一性質(zhì)，從而該上（下）三角形矩陣對角線上的元素就是該矩陣的全部特征值，事實(shí)上還有“任一復(fù)數(shù)矩陣相似于一Jordan矩陣”這一更強(qiáng)的論斷。這里需要指出的是，該定理的兩個(gè)結(jié)論都是重要的，部分教材沒有給出結(jié)論（ii）但實(shí)際需要用到。比如吳傳生[1]只給出了結(jié)論（i）但是其習(xí)題5-2第3題就需要用到（ii）。

本文的主要目的是考慮當(dāng)A是可逆矩陣時(shí)定理1中的一般多項(xiàng)式可以推廣到Laurent多項(xiàng)式的情形。我們先給出一個(gè)引理。

引理：設(shè)A是n階可逆方陣，

（i）若λ是方陣A的特征值，則是A的特征值[1]；

（ii）設(shè)λ，λ，…，λ是A的全部特征值，則，，…，是A的全部特征值。

證明：該引理的結(jié)論（i）直接由矩陣的特征值和特征向量的定義得到[1] （p160）。下面證明（ii），由于A相似于一上三角形矩陣，故存在可逆矩陣P，使得PAP=B，B是一上三角形矩陣，且對角線上的元素為λ，λ，…，λ。對上面的矩陣等式兩邊同時(shí)取逆矩陣得PAP=B，易知B仍然是一個(gè)上三角形矩陣，且對角線上的元素為，，…，，這即是A的全部特征值。

由上述引理，我們?nèi)菀椎玫较旅娴亩ɡ怼?/p>

定理2：設(shè)A是n階可逆方陣，g（x）=ax是一個(gè)Laurent多項(xiàng)式，l，m∈N，

（i）若λ是方陣A的特征值，則g（λ）是g（A）的特征值；

（ii）設(shè)λ，λ，…，λ是A的全部特征值，則g（λ），g（λ），…，g（λ）是g（A）的全部特征值。

需要注意的是，這里對于一個(gè)可逆方陣的負(fù)整數(shù)冪定義為A=（A），k=1，2，…，當(dāng)然A=E。該定理的證明思路同定理1，故不再詳述。利用定理2，我們可以很容易由一個(gè)可逆矩陣的特征值寫出其對應(yīng)的矩陣Laurent多項(xiàng)式的特征值。

例 已知λ，λ，λ是三階可逆方陣A的特征值，求（A）-2A+3E的所有特征值。

解 由于（A）-2A+3E=A（A）-2A+3E，故其對應(yīng)的Laurent多項(xiàng)式為

g（x）=Ax-2x+3=（λλλ）x-2x+3，從而g（λ），g（λ），g（λ）就是（A）-2A+3E的三個(gè)特征值，即

（λλ）-2λ+3，（λλ）-2λ+3，（λλ）-2λ+3。

此外，吳傳生[1]習(xí)題5-2第3題，第五章總習(xí)題第1題都可以用定理2直接求解。因此本人建議可以考慮將定理2加入到線性代數(shù)的教材中，這有助于學(xué)生對矩陣的特征值有更全面的理解，并且非常有利于快速解答相關(guān)題型。

最后，定理1中考慮的多項(xiàng)式還可以推廣到更一般的矩陣函數(shù)（通過收斂的矩陣冪級(jí)數(shù)定義）[3]。例如對于n階方陣A，定義e=A，可得

（i）若λ是方陣A的特征值，則e是e的特征值；

（ii）設(shè)λ，λ，…，λ是A的全部特征值，則e，e，…，e是e的全部特征值。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-線性代數(shù)（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]林亞南.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3]程云鵬，張凱院，徐仲.矩陣論[M].第3版.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2006.