王 力 張 靜 羅朝陽 李 碩

（昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100）

一、引言

21世紀(jì)是知識的時代，時代要求學(xué)校所培養(yǎng)的人才要具備創(chuàng)造力和思考力，這就需要教育教學(xué)理念進(jìn)行改革，核心素養(yǎng)的提出也受到高度的關(guān)注。核心素養(yǎng)這一理念也是全世界共同研究的內(nèi)容，美國的企業(yè)界與教育界共同提出的“‘21世紀(jì)型能力'（21st Century Skills）的概念，則在學(xué)科內(nèi)容的知識之上，加上了在21世紀(jì)社會里生存所必需的高階認(rèn)知能力——‘學(xué)習(xí)與革新：4C'，即批判性思維（critical thinking）；溝通能力（communication）；協(xié)同（collaboration）與創(chuàng)造性（creativity），在核心學(xué)科（3R）及21世紀(jì)課題的基礎(chǔ)上強(qiáng)調(diào)‘信息、媒體、技術(shù)的能力'，‘生活與生存的能力'”。［1］日本國立教育研究所也提出了“21世紀(jì)型能力”的框架（2013年）：從作為“生存能力”的智、德、體所構(gòu)成的素質(zhì)與能力出發(fā)，要求凝練“學(xué)科素養(yǎng)”的同時，以“思考力”為核心，與支撐思考力的“基礎(chǔ)力”（語言力、數(shù)理力、信息力）以及運用知識技能的“實踐力”，構(gòu)成三層結(jié)構(gòu)。［2］中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，以“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與三個方面，綜合表現(xiàn)為人文底蘊、科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)，根據(jù)這一總體框架，可針對學(xué)生年齡特點進(jìn)一步提出各學(xué)段學(xué)生的具體表現(xiàn)要求。［3］

2014年，教育部在頒布的《關(guān)于全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務(wù)的意見》中明確提出：“要研究各學(xué)段學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)體系，明確學(xué)生社會發(fā)展和實現(xiàn)自我終身發(fā)展所需的品格和關(guān)鍵能力?！保?］核心素養(yǎng)指學(xué)生在已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，在數(shù)學(xué)活動中對數(shù)學(xué)的體驗、感悟和反思，并在真實情景中表現(xiàn)出來的一種綜合性特征。［5］

二、核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

2017年《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》首次提出了數(shù)學(xué)區(qū)別于其它學(xué)科的核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析共六個方面。［6］核心素養(yǎng)對一個學(xué)生形成用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界起著重要的作用，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)又可以分為三類：一是數(shù)學(xué)抽象與直觀想象。將抽象與直觀有機(jī)地結(jié)合起來，可以讓學(xué)生多角度多方面地認(rèn)知數(shù)學(xué)，認(rèn)識數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，了解數(shù)學(xué)知識的形成過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的一般性；二是邏輯推理與數(shù)學(xué)運算。邏輯推理是指從已知內(nèi)容出發(fā)，依據(jù)一定的邏輯規(guī)則進(jìn)行推理得出結(jié)論的過程，數(shù)學(xué)運算指在明確思路的情況下解決問題的過程，只有經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗蜏?zhǔn)確的數(shù)學(xué)運算才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性；三是數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)建模是指通過對現(xiàn)實問題的抽象，從數(shù)學(xué)的角度對問題進(jìn)行描述建構(gòu)和重組，用數(shù)學(xué)的方法解決問題的過程。數(shù)據(jù)分析是指通過對研究對象的數(shù)據(jù)獲取，運用統(tǒng)計方法加以整理分析，形成對研究對象認(rèn)知的過程，在互聯(lián)網(wǎng)時代，數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模能力代表了數(shù)學(xué)的實用性。數(shù)學(xué)是源于生活又服務(wù)于生活的，所以我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了解決生活中的問題，而數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的能力又恰好體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用性。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)涉及面廣泛而且內(nèi)容較多。

三、數(shù)學(xué)建模的概念

數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實際生活的重要紐帶，數(shù)學(xué)建模需要學(xué)生在掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識后認(rèn)識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實問題之間的客觀聯(lián)系，對實際問題加以分析轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并求出結(jié)果，加以檢驗和分析，討論結(jié)果的合理性。解決問題中常用到數(shù)學(xué)建模流程圖見圖1。

圖1 數(shù)學(xué)建模流程圖

提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力對于學(xué)生的學(xué)習(xí)有重要的意義，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

首先，重視數(shù)學(xué)建模有助于提高學(xué)生研究和思考的能力。愛因斯坦曾說過，“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題也許是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏眩岢鲂碌膯栴}，新的可能性，從新的角度去看舊問題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步?！保?］數(shù)學(xué)問題源于實際生活問題，學(xué)生要細(xì)心觀察現(xiàn)實生活，從而發(fā)現(xiàn)問題，思考問題解決的策略，親身經(jīng)歷動手實踐，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提出問題。

其次，重視數(shù)學(xué)建模有助于提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，在中小學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師和學(xué)生唯分?jǐn)?shù)論思想嚴(yán)重，解題方法和思想固定單一。教師作為課堂主導(dǎo)，只是引導(dǎo)學(xué)生按照自己的思維方式對試題進(jìn)行解答，缺乏創(chuàng)新性思維，也不能很好地給學(xué)生營造培養(yǎng)創(chuàng)新性思維的平臺。當(dāng)學(xué)生到大學(xué)階段，其初等數(shù)學(xué)知識遺忘較快，造成數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)吃力，不能較好地養(yǎng)成其學(xué)習(xí)習(xí)慣。用數(shù)學(xué)建模解決問題的過程中沒有統(tǒng)一的規(guī)范解答，學(xué)生可以從多種角度考慮問題，并在討論的過程中對求解的結(jié)果加以完善和修改，使其在應(yīng)用數(shù)學(xué)建模解決問題的過程中學(xué)習(xí)到更多的新知識，啟發(fā)思維。

最后，重視數(shù)學(xué)建模有助于提高學(xué)生適應(yīng)社會的能力。當(dāng)今社會科技飛速發(fā)展，高等數(shù)學(xué)中的很多學(xué)習(xí)內(nèi)容都已緊跟時代的進(jìn)步作出了修訂，數(shù)學(xué)建?？梢詫⒏叩葦?shù)學(xué)所學(xué)的知識與當(dāng)今社會很好聯(lián)系起來，讓所學(xué)的知識在問題中加以體現(xiàn)，并在解決實際問題中感受數(shù)學(xué)的實用性。

四、數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)中的呈現(xiàn)方式

大學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模感受數(shù)學(xué)與外部世界的密切聯(lián)系，在高等數(shù)學(xué)中對數(shù)學(xué)建模有著豐富的展現(xiàn)。以下通過幾個例子來分析數(shù)學(xué)建模在解決最優(yōu)化問題和經(jīng)濟(jì)學(xué)相關(guān)問題中的作用。

案例1：（2018年考研數(shù)三）將長為2m的鐵絲分為三段，依次圍成圓，正方形，正三角形，求這三個圖形的面積之和的最小值。

分析：按照數(shù)學(xué)模型解題流程，先仔細(xì)讀題，理清題目所說實際問題，根據(jù)實際問題，將原題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即三個數(shù)之和為2，在求以三個數(shù)為周長的圖形面積，建立數(shù)學(xué)模型，通過解決數(shù)學(xué)問題運用高等數(shù)學(xué)中的偏導(dǎo)數(shù)和拉格朗日數(shù)乘法，解決問題，經(jīng)檢驗符合題意，從而解決最優(yōu)化問題，以最少的成本達(dá)到最大的收益。

解：設(shè)鐵絲分為三段，長度分別為x,y,z，則有x+y+z=2及x,y,z〉0，

其中圓的面積為S1，正方形面積為S2，三角形面積為S3，總面積為S

案例2：（2017考研數(shù)三）生產(chǎn)某產(chǎn)品的平均成本(Q)=1+e-Q，其中Q為產(chǎn)量，則邊際成本為_________。

解：平均成本(Q)=1+e-Q，則總成本C(Q)=(Q)=Q+Qe-Q

從而邊際成本為C′(Q)=1+(1-Q)e-Q

案例3：（2016考研數(shù)三）設(shè)某商品的最大需求量為1200件，該商品的需求函數(shù)Q=Q(p)，需求彈性(η〉 0)，p為單價（萬元），（1）求需求函數(shù)表達(dá)式；（2）求p=100萬元時的邊際收益。

分析：了解相關(guān)概念，將經(jīng)濟(jì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)方法加以解決，得出對經(jīng)濟(jì)問題中的需求模型，為后續(xù)研究提出預(yù)測。

Q=C(p-120)，由最大需求量1200可知，Q(0)=1200

C=-10，故Q=1200-10p

（2）收益R=Qp=1200p-10p2

從以上三個案例可以看到，數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有著非常重要的作用和地位，學(xué)生可以通過數(shù)學(xué)建模解決最優(yōu)化問題，達(dá)到節(jié)約成本的目的，通過分析經(jīng)濟(jì)學(xué)相關(guān)問題，掌握與其他學(xué)科聯(lián)系，為實際生活服務(wù)。課堂教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力是激發(fā)學(xué)生思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要途徑。

五、數(shù)學(xué)建模能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中的培養(yǎng)方法

數(shù)學(xué)建模使得數(shù)學(xué)回歸于外部世界，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁。在現(xiàn)代社會，幾乎所有的學(xué)科在科學(xué)化的過程中都要使用數(shù)學(xué)的語言，除卻數(shù)學(xué)符號的表達(dá)之外，主要是通過建立數(shù)學(xué)模型刻畫研究對象的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。［8］培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力可以從以下幾個方面入手。

（一）開展課堂導(dǎo)入，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力

好的開始是成功的一半，一節(jié)課的好壞很大程度上取決于一節(jié)課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，中學(xué)階段對于課堂導(dǎo)入要求很高，形式多樣，富有趣味性，啟發(fā)性，可以引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生巨大興趣。在高校課堂教學(xué)過程中，教師對于課堂導(dǎo)入思考較少，大多以復(fù)習(xí)導(dǎo)入或不導(dǎo)入，教學(xué)效果大打折扣。因此，高校數(shù)學(xué)教師做好課堂導(dǎo)入將理論聯(lián)系實際，讓學(xué)生學(xué)有所思，學(xué)有所得，因此，選取適當(dāng)?shù)恼n堂導(dǎo)入至關(guān)重要。

（二）重視過程，引導(dǎo)思考，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力

對于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)是非常重要的。這就更加需要教師重視知識的建構(gòu)，注重教學(xué)過程，在課堂講解例題和練習(xí)訓(xùn)練的過程中要多給學(xué)生充分的時間讓學(xué)生加以思考，討論和交流，讓每個學(xué)生都參與到課堂討論中去，表達(dá)自己的思想，這樣才能促進(jìn)學(xué)生對知識的認(rèn)知。教師不能為了節(jié)省時間代替學(xué)生作答，重復(fù)機(jī)械性的大量訓(xùn)練已經(jīng)不適合當(dāng)前的教育教學(xué)，只有這樣做學(xué)生才能學(xué)有所得。

（三）鼓勵學(xué)生創(chuàng)新，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力

教師需要鼓勵學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中創(chuàng)新，表達(dá)自己不同的觀點，以此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，來解決實際問題，并在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的同時強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識，提高自己分析問題解決問題的能力。創(chuàng)新是一個國家技術(shù)發(fā)展和進(jìn)步的動力，大學(xué)作為高素質(zhì)人才的培養(yǎng)基地，更應(yīng)重視大學(xué)生的創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力的培養(yǎng)。［9］通過大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)等科研項目能夠幫助學(xué)生將所學(xué)知識與實踐相結(jié)合，培養(yǎng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，提高大學(xué)生的核心素養(yǎng)。

六、小結(jié)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科培養(yǎng)人的最終目標(biāo)，數(shù)學(xué)建模又是其中最重要的環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)內(nèi)容與實際生活聯(lián)系密切，教師必須重視數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，在教學(xué)中重視對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，為國家培養(yǎng)適應(yīng)當(dāng)前發(fā)展需要的有用人才。