熊倍 郜舒竹

【摘? ?要】與分數(shù)相關(guān)的內(nèi)容貫穿數(shù)學(xué)課程始終，在整數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)分數(shù)相關(guān)內(nèi)容，會出現(xiàn)多種類型的錯誤。在國內(nèi)外已有研究中歸納出的這些錯誤主要反映在分數(shù)比較大小、分數(shù)運算以及分數(shù)稠密性等方面。錯誤的原因可以用直覺規(guī)律進行解釋。

【關(guān)鍵詞】直覺;錯誤;誤解;分數(shù)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯誤往往源于誤解，而誤解往往源于直覺。通過梳理已有研究發(fā)現(xiàn)，分數(shù)學(xué)習(xí)中的錯誤主要反映在分數(shù)比較大小、分數(shù)運算以及分數(shù)稠密性三個方面。

一、分數(shù)比較大小

分數(shù)比較大小通常分為同分母分數(shù)比較大小、同分子分數(shù)比較大小以及異分母、異分子分數(shù)比較大小三類。無論是哪一類，均容易出現(xiàn)錯誤。以異分母、異分子分數(shù)[46]和[23]比較大小為例，一些學(xué)生會因為6>3，4>2，而錯誤地判斷[46]>[23]。

早在1983年，貝爾（Merlyn Behr，1932—1995）等人通過研究發(fā)現(xiàn)，針對以上三類分數(shù)比較問題，學(xué)生均能使用多種策略進行判斷。在尚未實施分數(shù)大小比較的教學(xué)之初，大量四年級的學(xué)生會基于4>3的整數(shù)主導(dǎo)策略（whole number dominance）而得出[14]>[13]的錯誤判斷。[1]

馬克（Nancy Mack，1935—1995）和亨廷（Robert Hunting，1948—）等人的研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決與分數(shù)相關(guān)的問題時，會將分子、分母看作是由兩個不相關(guān)的整數(shù)所組成的數(shù)，而不會將分數(shù)看成是一個數(shù)。[2]馬克進一步強調(diào)，通常在以現(xiàn)實中的分物情境為背景時，學(xué)生能夠正確比較東西的大小。[3]比如，將兩塊一樣大小的披薩分別平均分成八份和六份，學(xué)生會因為分的份數(shù)少，分后的每一份所占量多，而選擇分成六份的比較多。但當直接要求學(xué)生比較[16]和[18]的大小時，學(xué)生又誤以為分母比較大的分數(shù)，其值也比較大。

臺灣學(xué)者楊德清、洪素敏等人也曾做過類似的研究。在小學(xué)四年級關(guān)于分數(shù)比較大小的課堂上，他們發(fā)現(xiàn)，當允許學(xué)生使用具體操作物時，學(xué)生能求出該分數(shù)所代表的具體的量，然后比較分數(shù)大小。但是當抽離具體物體時，學(xué)生卻無法直接比較分數(shù)的大小。[4]他們還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生可以機械地比較分數(shù)大小，但要求學(xué)生對如何比較分數(shù)的大小進行有意義的解釋則比較困難。例如，當要求學(xué)生比較異分母、異分子分數(shù)[15]與[210]的大小時，學(xué)生會誤認為[15]<[210]，因為[210]是占2份，而[15]只有1份，所以[210]比較大。抑或是學(xué)生認為1<2，5<10，因此，[15]<[210]。

諸如此類的錯誤也同樣出現(xiàn)在對澳大利亞學(xué)生的研究中。323名六年級學(xué)生被要求通過觀察分數(shù)卡片，在規(guī)定時間內(nèi)直接給出八組分數(shù)大小比較的結(jié)果。測試過程中，不僅不能通過通分、筆算書寫、圖畫等方法比較大小，而且應(yīng)答的時間也被控制。結(jié)果顯示，部分學(xué)生會使用差值比較的方法判斷分數(shù)大小。進一步了解，當學(xué)生利用差值思維（gap thinking）比較分數(shù)大小時，較易出現(xiàn)錯誤的結(jié)果。[5]以“[34]和[79]”“[56]和[78]”為例，學(xué)生會認為3差1“份”（bit），就可以使[34]變成1，而7差2“份”（bits），才可以使[79]變成1。因此，[34]>[79]。然而，[56]和[78]均差1“份”（bit）就可以變成1，因此，[56]=[78]。

基于蒂羅什和斯塔維提出的直覺規(guī)律理論，分別從“越多的A-越多的B”和“相同的A-相同的B”兩條直覺規(guī)律出發(fā)，對學(xué)生在分數(shù)比較大小中出現(xiàn)的錯誤進行整理與解釋。要特別指出的是，在分數(shù)比較大小中，A指構(gòu)成一個分數(shù)的分子或分母的大小，B指這個分數(shù)所表示的值（以下分數(shù)均為真分數(shù)）。

（一）“越多的A-越多的B”直覺規(guī)律

（1）當[a]>[b]時，若要求學(xué)生比較分數(shù)[ma]，[mb]（[m≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）的大小時，一些學(xué)生可能會因為分母越大，分數(shù)值越大，得到[ma]>[mb]的錯誤答案。例如，因為5>3，所以[15]>[13]。

（2）當[a]>[b]，[c]>[d]時，若要求學(xué)生比較分數(shù)[ca]，[db]的大小，一些學(xué)生可能會因為[a]>[b]，[c]>[d]，得到 [ca]>[db]的錯誤答案。例如，因為6>3，4>2，所以[46]>[23]。

（3）學(xué)生受同分子分數(shù)比較大小的影響，“分母越大，分數(shù)越小”，使得他們會進一步使用“越多的A-越少的B”直覺規(guī)律比較分數(shù)大小，即當分子與分母的差值越大，分數(shù)值反而越小。例如，因為[（4-3）<（9-7）]，所以[34]>[79]。

（二）“相同的A-相同的B”直覺規(guī)律

（1）當[a]>[b]時，若要求學(xué)生比較分數(shù)[ma]，[mb]（[m≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）的大小時，一些學(xué)生可能會因為分子值一樣而忽略分母，直接得到[ma=mb]的錯誤答案。例如，[34]=[36]。

（2）當[a]>[b]，[c]>[d]時，若要求學(xué)生比較分數(shù)[ca]，[db]的大小，一些學(xué)生可能會因為[（a-c）=（b-d）]，得到[ca]=[db]。即錯誤地認為，分子與分母的差值相同，分數(shù)大小也相同。例如，因為[（9-8）=（4-3）]，所以[89]=[34]。

二、分數(shù)運算

直覺規(guī)律對學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)的影響不僅限于分數(shù)比較大小中，類似的直覺錯誤在分數(shù)運算、分數(shù)稠密性、等值分數(shù)、代數(shù)式等其他內(nèi)容中均有所涉及。

一些研究是從參與運算的兩個分數(shù)的分母是否相同著手，對學(xué)生在分數(shù)運算中出現(xiàn)的錯誤進行分析。從198份答卷中可以看出，學(xué)生在分數(shù)的加法運算中表現(xiàn)最好，而在分數(shù)的除法運算中表現(xiàn)較差。[6]在分數(shù)加（減）法中，一些學(xué)生分別將分子與分子的和（差），分母與分母的和（差）作為分數(shù)加（減）法計算結(jié)果中的分子與分母;而在同分母分數(shù)乘（除）法中，受分數(shù)加（減）法運算的影響，一些學(xué)生則錯誤地保留兩個分數(shù)的共有分母作為計算結(jié)果的分母，如[29×79=149]，[910÷310=310]。

臺灣學(xué)者林天麒針對上述現(xiàn)象，對小學(xué)四、五年級學(xué)生也進行了相應(yīng)的問卷測試。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，小學(xué)高年級學(xué)生只會機械地進行分數(shù)運算，難以真正理解分數(shù)運算的算理。學(xué)生會把之前學(xué)過的整數(shù)算法不恰當?shù)剡w移到分數(shù)的計算上來。因此，在分數(shù)運算中，學(xué)生會出現(xiàn)分母相加減、分子相加減的錯誤。林先生將這種現(xiàn)象解釋為學(xué)生只具有程序性知識的理解，而缺乏概念性知識的理解。[7]

特夫那（V Trivena）等人的觀點與上述觀點基本一致?；谡{(diào)查學(xué)生關(guān)于分數(shù)加減法概念理解情況的目的，23名10至11歲的學(xué)生參與了相關(guān)測試。測試表明，在同分母和異分母分數(shù)加法中，學(xué)生存在誤解的比率均高達73.91%，但是學(xué)生在同分母和異分母分數(shù)減法中出現(xiàn)錯誤的比率分別為26.09%和60.87%。[8]例如，面對問題“[14+24]等于多少”，一些學(xué)生因為“2+1=3，4+4=8”，而錯誤地認為結(jié)果應(yīng)為[38]。在異分母分數(shù)加減運算中，持有誤解的學(xué)生同樣存在類似的表現(xiàn)。例如，他們認為[25+12=37]，[25-12=13]。但是當面對同分母分數(shù)相減時，學(xué)生的表現(xiàn)會發(fā)生細微變化。例如，在“[46-26]等于多少”的問題中，學(xué)生會因為6-6=0，與分母不能為0的概念沖突，而“被迫”選擇運算結(jié)果應(yīng)為[26]。

實際上，針對以上種種關(guān)于分數(shù)加減法運算的錯誤，可以運用直覺規(guī)律“相同的A-相同的B”加以解釋。其中，A代表參與運算的兩個分數(shù)的分母或分子，B代表運算結(jié)果的分數(shù)的值的大小。那么，用直覺規(guī)律解釋學(xué)生在分數(shù)加減法中的運算錯誤就主要分為以下兩類。

（1）當[a+b=m]，[c+d=n]（[m≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）時，學(xué)生會因為“[a+b=m]，[c+d=n]”，而認為[ca+db]=[nm]。同樣地，當[a-b=m]，[c-d=n]時，學(xué)生也會因為“[a-b=m]，[c-d=n]”，而認為[ca-db=nm]。

（2）當[a+b=m]時，學(xué)生會因為“[a+b=m]”，而認為[ca+cb=cm]。同樣地，當[a-b=m]時，學(xué)生會因為“[a-b=m]”，而認為[ca-cb=cm]。

同樣，一些常見的分數(shù)乘除法的計算錯誤也可以從“相同的A-相同的B”直覺規(guī)律的角度加以解釋，具體存在以下兩種情況。

（1）當[a×n=b]，[c×n=d]（[n≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）時，學(xué)生會因為“[a×n=b]， [c×n=d]”，而認為[ca×n=db]。可逆地，當[a÷n=b]，[c÷n=d]時，學(xué)生也會因為“[a÷n=b]， [c÷n=d]”，而認為[ca÷n=db]。

（2）當[a×n=b]（[n≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）時，學(xué)生會因為“[a×n=b]”，而認為[ca×cn=cb]，[ac×nc=bc]?？赡娴?，當[a÷n=b]時，學(xué)生會因為“[a÷n=b]”，而認為[ac÷nc=bc] ， [ca÷cn=cb]。

三、其他類型的錯誤

蘇洪雨的研究表明，不同于西方國家，類似于“[12+12=24]”的錯誤，在我國數(shù)學(xué)教學(xué)中很少出現(xiàn)。[9]他發(fā)現(xiàn)，當要求學(xué)生寫出一個介于[18]與[17]之間的分數(shù)時，不少學(xué)生做錯，有學(xué)生甚至無法給出任何答案。

國外也有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生并沒有意識到位于一條數(shù)軸上的兩個分數(shù)之間，擁有無窮多個分數(shù)。當問及15歲的學(xué)生“[14]和[12]之間，存在多少個分數(shù)”時，84%的學(xué)生均回答錯誤，僅有16%的學(xué)生給出正確的答案。在回答錯誤的學(xué)生中，又有36%的學(xué)生認為只有一個。[10]

通過以上研究可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在判斷分數(shù)稠密性時會存在誤解?，F(xiàn)根據(jù)直覺規(guī)律理論，對學(xué)生在分數(shù)稠密性方面的錯誤判斷和理解進行解釋與說明。即學(xué)生會利用“越多的A-越多的B”“相同的A-相同的B”兩個直覺規(guī)律對分數(shù)的稠密性進行判斷。其中，A指兩個同分母分數(shù)的分子之差，或者是兩個同分子分數(shù)的分母之差;B指這兩個分數(shù)之間所存在的分數(shù)的個數(shù)。學(xué)生會錯誤地認為A值越大，B值越大，當A值相同時，B值也相同，即如下。

（1）當[a-b=n]（[n≠][0]，[a]，[b]，[c]，[n][∈][Z+]）時，面對問題“[ca]與[cb]之間，可以找到多少個分數(shù)”，學(xué)生會基于[a-b=n]，直覺地判斷出[ca]與[cb]之間，僅存在[n-1]個分數(shù)。

（2）當[b-a=n]（[n≠][0]，[a]，[b]，[c]，[n][∈][Z+]）時，面對問題“[ac]與[bc]之間，可以找到多少個分數(shù)”，學(xué)生會基于[b-a=n]，錯誤地判斷出[ac]與[bc]之間，僅存在[n-1]個分數(shù)。

另外，學(xué)生對等值分數(shù)存在誤解，會誤用加法策略。韓玉蕾、辛自強等人將其解釋為學(xué)生之前接受了大量的加法思維訓(xùn)練，因此阻礙了學(xué)生乘法思維和守恒觀念的自然發(fā)展。[11]例如，學(xué)生會認為[38=49]，因為3+1=4，8+1=9，這種現(xiàn)象與前文中所提及的分數(shù)比較大小中的“相同的A-相同的B”直覺規(guī)律類似。于是，當面對“將[25]的分子增加2，如果要使分數(shù)的大小保持不變，那么應(yīng)該如何”的問題時，一些學(xué)生依然錯誤地回答“分母也增加2”，類似的錯誤也會保留至初中、高中甚至大學(xué)。例如，一些學(xué)生總是認為，當一個分數(shù)的分子、分母分別是另一個分數(shù)的分子、分母的平方時，這兩個分數(shù)就是所謂的等值分數(shù)，如[49]=[23]。

現(xiàn)從直覺規(guī)律“相同的A-相同的B”出發(fā)，對學(xué)生關(guān)于等值分數(shù)的錯誤理解進行解釋。其中，A是指對分子和分母進行某種運算，B是指兩個分數(shù)的值的大小。學(xué)生基于直覺規(guī)律認為對分子、分母同時進行相同的運算，分數(shù)的大小并不會發(fā)生改變。比如，將分子、分母同時加（減）上一個數(shù)，同時平方、立方，等等，分數(shù)大小不變。

四、后續(xù)學(xué)習(xí)中的錯誤

小學(xué)階段關(guān)于分數(shù)的誤解與錯誤會延續(xù)到中學(xué)階段相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中。比如，學(xué)生會因為3>2，而斷定[3x]>[2x]。

在Rapaport的研究中，讓高中生分別比較[16y8]與[2y]，[2a-82]與[6a-246]的大小時，大部分學(xué)生對前一題的解答比較正確，但只有一半甚至更少的學(xué)生對后一題的解答比較正確。學(xué)生受直覺規(guī)律的影響，認為[6a-246]要大于[2a-82]，因為6和24都比2和8要大。[12]

杜倫（Wim Van Dooren）等人通過研究發(fā)現(xiàn)，當要求學(xué)生比較[6]和[93]的大小時，雖然有大部分的學(xué)生回答正確，但僅有7%的學(xué)生給出正確的推斷理由。仍有37%的學(xué)生運用“相同的A-相同的B”直覺規(guī)律，誤認為“因為[9×13=3]，[6×12=3]，所以[6]=[93]”。另外，還有一些學(xué)生利用“越多的A-越多的B”直覺規(guī)律，即因為9>6，3>2，錯誤地判斷出[93]>[6]。[13]

綜上，在分數(shù)比較大小、分數(shù)運算、分數(shù)稠密性、等值分數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生容易出現(xiàn)錯誤，這些錯誤的出現(xiàn)與學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗密切相關(guān)。并且，學(xué)生在分數(shù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中所出現(xiàn)的錯誤不僅具有一定的必然性，還具有一定的頑固性和普遍性。

分析學(xué)生在分數(shù)相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)中所出現(xiàn)錯誤的原因主要有以下兩種：一是從學(xué)生學(xué)習(xí)出發(fā)，認為學(xué)生受之前所學(xué)整數(shù)知識的影響，傾向于將分數(shù)的分子、分母看成是獨立的兩個整數(shù)，將整數(shù)所適用的一些規(guī)則泛化于分數(shù)的知識領(lǐng)域內(nèi)，從而產(chǎn)生整數(shù)主導(dǎo)、差值比較等策略錯誤;二是從教師教學(xué)出發(fā)，指出以程序、方法、技巧、規(guī)則與算法等技術(shù)取向訓(xùn)練為主的課堂教學(xué)，往往忽略了引導(dǎo)學(xué)生對分數(shù)概念本質(zhì)的理解與解釋，也就造成了學(xué)生片面理解分數(shù)的多重含義、分數(shù)概念混淆、機械地進行分數(shù)運算的現(xiàn)狀。然而，不容忽視的是，這兩種解釋雖然在一定程度上說明了學(xué)生出現(xiàn)錯誤的原因，但仍然不能很好地反映出學(xué)生在分數(shù)比較大小中所犯錯誤的必然性、頑固性和普遍性。與此同時，直覺規(guī)律理論的研究為解釋學(xué)生錯誤提供了契機。因此，從直覺規(guī)律的角度出發(fā)，深入探索致使學(xué)生在分數(shù)比較大小、分數(shù)稠密性、等值分數(shù)的學(xué)習(xí)中頻頻出錯的原因成為必要。

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048）