江蘇省射陽縣實驗小學(xué) 曹克揚

分?jǐn)?shù)的定義概括起來主要有四種：用所取份數(shù)占總份數(shù)的比例來定義，用除法算式的商來定義，用比例定義，用小數(shù)來轉(zhuǎn)化定義。小學(xué)教材主要涉及前三類，但教材著重描述的是利用所取份數(shù)占總份數(shù)的比例來定義分?jǐn)?shù)的方式，都是采用分配物品的操作活動來揭示分?jǐn)?shù)的形成，這種做法無論從形式上還是材料上都過于單一，僅能作為分?jǐn)?shù)意義的引入部分，如果每每遇到分?jǐn)?shù)都用這種方式來揭示，極易引起知識發(fā)展障礙。

一、發(fā)展障礙嚴(yán)重制約學(xué)生學(xué)知識

在所取份數(shù)占總份數(shù)的比例的定義下，學(xué)生會誤以為“分?jǐn)?shù)一定小于1”。課本通常設(shè)置如下定義：把單位“1”平均分成若干份，取其中若干份用分?jǐn)?shù)表示。這一定義直觀易操作，在“平均分”的基礎(chǔ)上直接選取份數(shù)，用份數(shù)和總份數(shù)兩個數(shù)字構(gòu)成分?jǐn)?shù)。但是，這種定義設(shè)置存在很大弊端。從切分一個整體事物（如一個西瓜）到分配一堆事物（幾個西瓜），學(xué)生統(tǒng)統(tǒng)將其視為單位“1”，從不斷地將整體分劃為若干部分，到用分?jǐn)?shù)表示所取部分，學(xué)生自然覺得部分不能多于整體，理所當(dāng)然認(rèn)為分?jǐn)?shù)就是“1”的部分，必須小于1，誤認(rèn)為只有分解單位“1”才能產(chǎn)生分?jǐn)?shù)。

于是，學(xué)生會留下刻板印象：“被除數(shù)是分子，除數(shù)是分母，除號是分?jǐn)?shù)線”，沒有感知到分?jǐn)?shù)的整體特征。兩種定義彼此孤立，從不同形式和角度都指向了“部分與整體的關(guān)系”。教材回避比例定義，導(dǎo)致學(xué)生只識“部分和整體的比”。比定義和商定義相近，教材對分?jǐn)?shù)的比例定義法，只提到“除法算式就是比式”，并說“分?jǐn)?shù)只是比的一種書寫形式”。于是，分?jǐn)?shù)就成了“比”的附屬品，失去了獨立的價值。

二、平均分配不再獨占分?jǐn)?shù)定義法

分析諸多關(guān)于分?jǐn)?shù)的教學(xué)案例，一般都是從分物來引入分?jǐn)?shù)。創(chuàng)設(shè)如“2顆糖果、1塊餅干怎么分給2名孩子才公平合理”的數(shù)學(xué)問題情境。當(dāng)學(xué)生考慮1塊餅干平均分給2名孩子，發(fā)現(xiàn)“半塊”無法用現(xiàn)成的數(shù)字表示時，引發(fā)認(rèn)知矛盾，產(chǎn)生表示半塊餅干的計數(shù)需要。

接下來學(xué)生就會迫于表達(dá)需要自行研創(chuàng)新型數(shù)字——分?jǐn)?shù)，從整數(shù)分物開始，到產(chǎn)生創(chuàng)造分?jǐn)?shù)的需要，激起學(xué)生對分?jǐn)?shù)的強(qiáng)烈好奇，符合學(xué)生的心理特征，這是不可或缺的教學(xué)環(huán)節(jié)。學(xué)生理解了分?jǐn)?shù)的“份數(shù)定義”之后，為了減少知識發(fā)展障礙，就要撇開“分物”操作思維，另辟蹊徑，借助“數(shù)數(shù)和測量”等活動，多角度詮釋分?jǐn)?shù)意義。分?jǐn)?shù)的本源是測量。在測量中，人們發(fā)現(xiàn)用某個固定的長度單位去度量一個物體，無法得到整數(shù)數(shù)據(jù)，為了精確記錄，就要引進(jìn)新數(shù)字。這時，分?jǐn)?shù)就成為首選，它是一種小于整數(shù)1的計數(shù)單位。

若以“1米”為基本長度單位，當(dāng)不足這一個基本單位長度時，就要細(xì)化，若是分為10等份，其中一份就是十分之一米，作為一個更小的計量單位，可以定義為1分米。課桌寬度具有2個這樣的單位，也就是2分米，占一米的也就是米；拿著課桌寬作為新的基本單位去度量黑板長度，一個個數(shù)數(shù)：這樣一來，度量問題就轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題，如此計數(shù)下去，數(shù)出6個是，等于12分米，12分米大于1米順理成章，可以有效防范“分?jǐn)?shù)小于1”這一知識發(fā)展障礙。

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，理清知識脈絡(luò)，是學(xué)生形成完整認(rèn)知結(jié)構(gòu)的前提。學(xué)生通過量一量、數(shù)一數(shù)，不僅用另類的解讀弱化了分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義，而且在數(shù)的過程里，為“分?jǐn)?shù)單位”“假分?jǐn)?shù)”這些概念打下基礎(chǔ)。

三、線段模型鞏固新型分?jǐn)?shù)定義法

用所取份數(shù)占總份數(shù)的比例來定義分?jǐn)?shù)，這種做法局限性很大，必須向除法定義過渡，分?jǐn)?shù)作為除法算式的商，自然可以用除法來定義。出示3個問題：“小豬佩奇中，佩奇、喬治、豬爸爸、豬媽媽，每頭豬成員可以吃幾個西瓜？每頭豬成員可以吃幾千克西瓜？每個西瓜重多少千克？”思考下，解決以上問題需要知道什么，數(shù)量關(guān)系式是什么？這是二年級舊知，運用表內(nèi)除法即可解決。學(xué)生能很快得到“西瓜總個數(shù)÷豬家族全體成員=每頭豬成員吃幾個西瓜”“西瓜總重量÷豬家族全體成員=每頭豬成員吃幾千克西瓜”“西瓜總重量÷西瓜總數(shù)=平均每個西瓜重量”。

然后賦值：“12個小西瓜，重5千克，平均分給6只小豬”，讓學(xué)生列式。

用線段圖揭示分?jǐn)?shù)也很重要，平面面積最易激起劃分效果，因此單位“1”通常采用面積表示。具體解釋時，平面模型和線段模型差距很大。如把長方形紙條（平面模型）視為單位“1”，涂色部分就占?！翱偣灿?個。每一份都可以用表示，即是但是，紙條抽象為數(shù)軸后，0～1之間被三等分，每一段長度是，但第一個三等分點表示數(shù)字，第二個三等分點表示數(shù)字

在線段圖上，0～1還是被視為單位“1”，但是脫離了份數(shù)的束縛，這里的是表示到原點距離小于“1”的“新”數(shù)。

對分?jǐn)?shù)的不同定義，需要不同的認(rèn)知。不同定義之間的緊密關(guān)系如果被隔斷，不利于學(xué)生靈活理解，運用分?jǐn)?shù)。通過加入“數(shù)數(shù)測量”活動，豐富學(xué)習(xí)素材，避免形成對分?jǐn)?shù)的片面理解，通過加入除法定義，打破了唯份數(shù)定義獨尊的局面，溝通了分?jǐn)?shù)、除法、比之間的聯(lián)系，彌合了各種定義的孤立狀態(tài)，有效減輕了知識發(fā)展障礙。