找到事物的另一面，實(shí)現(xiàn)巧妙的轉(zhuǎn)化
——以四邊形分類新秩序?yàn)槔?/h1>
2019-07-17 08:28江蘇省常州武進(jìn)區(qū)盧家巷實(shí)驗(yàn)學(xué)校岳麗芬
數(shù)學(xué)大世界 2019年13期
江蘇省常州武進(jìn)區(qū)盧家巷實(shí)驗(yàn)學(xué)校 岳麗芬
讀過一個(gè)經(jīng)典的佛理故事，名字叫《佛經(jīng)對(duì)了，佛就笑了》，內(nèi)容是一位禪師，懲罰寺院里一名不守清規(guī)的弟子，罰他面壁思過。墻壁上掛著一幅彌勒佛畫像，禪師給受罰弟子出了一道難題，也算是一次將功補(bǔ)過的機(jī)會(huì)，禪師隨手將畫像撕成很多碎片，讓弟子在一炷香的時(shí)間內(nèi)拼完，按時(shí)完成任務(wù)就可以提前恢復(fù)自由，否則只能乖乖挨罰。
令禪師萬(wàn)萬(wàn)沒想到的是，不到一盞茶的工夫，受罰的弟子就拼完了畫像。禪師感到震驚和納悶，因?yàn)樗堑谝粋€(gè)破解難題，成功逃脫面壁懲罰的弟子，禪師急忙問其究竟。
弟子回答：“佛像背面是一行行用歐體正楷抄寫工整的佛經(jīng)，是《法華經(jīng)》中的一段，我背得滾瓜爛熟，只要把佛經(jīng)還原了，彌勒佛畫像也就拼好了?！惫适陆Y(jié)尾有一句發(fā)人深省的話：“佛經(jīng)對(duì)了，佛就笑了?！?/p>
單從考慮問題的智慧來說，這個(gè)弟子的做法的確出人意料，如果老老實(shí)實(shí)按照要求去做很難完成任務(wù)，可是這個(gè)弟子卻懂得變通，將原問題轉(zhuǎn)換成另一個(gè)問題，降低了難度，順利解決問題，也就是將一個(gè)復(fù)雜的問題（佛像的拼接）轉(zhuǎn)換成另一個(gè)簡(jiǎn)單的問題（佛經(jīng)的拼貼）。
這個(gè)哲理故事告訴我們轉(zhuǎn)化思維多么神奇和重要，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，求圖形的面積時(shí)，轉(zhuǎn)化思維可以大顯神通。
一、接入轉(zhuǎn)化思維，重新分類定秩序
本文著重要講的是四邊形的面積及其分類，先說分類。在教材中，根據(jù)對(duì)邊平行的情況，可以將其分為三類：第一種是沒有對(duì)邊平行，第二種是只有—組對(duì)邊平行，第三種是兩組對(duì)邊都平行。分類情況如下圖：
在這個(gè)分類中，四邊形被分為三大類：只有一組對(duì)邊平行的四邊形（梯形）、兩組對(duì)邊都平行的四邊形（平行四邊形），這是兩大類，空白處為一般四邊形，是小類，極易被忽略。在這種分類法里，極易讓人產(chǎn)生誤會(huì)：四邊形除了梯形就是平行四邊形，二者合并起來構(gòu)成全部四邊形，其實(shí)這種分法欠妥。
在這種分類里，平行四邊形和梯形是并列關(guān)系，平行四邊形里又包含長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形里又包含正方形。
如果我們換種分法，另行設(shè)立分類標(biāo)準(zhǔn)——“有無(wú)對(duì)邊平行”，平行四邊形則被分為兩大類：1.沒有對(duì)邊平行；2.有對(duì)邊平行。在第2類里面又分很多小類，小類的細(xì)化就是不斷增加附屬條件，豐富內(nèi)涵，縮小外延。如僅僅說明一組對(duì)邊平行，則為梯形；若梯形中的另一組對(duì)邊也平行，則為平行四邊形；若梯形的另一組對(duì)邊平行且有一個(gè)內(nèi)角為直角，則為長(zhǎng)方形；若梯形的另一組對(duì)邊平行且含有一個(gè)直角內(nèi)角且鄰邊相等，則為正方形。
在這種分法下，平行四邊形屬于梯形的一部分，是一種比較特殊的梯形，換言之，二者不再是并列關(guān)系，而是包含關(guān)系。分類圖如下：
二、確立新的標(biāo)準(zhǔn)，重新表述縮外延
各種分類方法都有其合理性，那么這種分類的優(yōu)勢(shì)在哪？
對(duì)照下列語(yǔ)句：
對(duì)于一個(gè)四邊形，假若有一組對(duì)邊平行，則為梯形；
對(duì)于一個(gè)四邊形，假若有一組對(duì)邊平行且相等，則為平行四邊形；
對(duì)于一個(gè)四邊形，假若有一組對(duì)邊平行且相等，還有一內(nèi)角為90度，則為長(zhǎng)方形；
對(duì)于一個(gè)四邊形，假若有一組對(duì)邊平行且相等，而且還有一內(nèi)角是90度，此外發(fā)現(xiàn)鄰邊也相等，則為正方形。
可以發(fā)現(xiàn)，隨著對(duì)“梯形”概念內(nèi)涵的拓寬，其外延在不斷縮小。這種一般到特殊的分類符合演繹推理的邏輯思維。
三、越過中間環(huán)節(jié)，一步到位求面積
在小學(xué)數(shù)學(xué)中，要求學(xué)生掌握各種四邊形面積的計(jì)算。
教材中對(duì)各種圖形的面積公式推導(dǎo)，包括三角形在內(nèi)，都是從長(zhǎng)方形開始的。首先規(guī)定各面積單位的原始定義，用數(shù)方格的方法，歸納出長(zhǎng)方形的面積公式：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。
長(zhǎng)方形的面積公式出爐后，繼續(xù)轉(zhuǎn)化，以長(zhǎng)方形面積公式為基礎(chǔ)，用割補(bǔ)法將平行四邊形變換為長(zhǎng)方形，推出平行四邊形面積=底×高。梯形和三角形也是這樣，都是轉(zhuǎn)化為平行四邊形后，再來推導(dǎo)。
在四邊形的新分類法中，可以先由長(zhǎng)方形推出梯形面積，因?yàn)槠渌倪呅魏腿切味伎梢砸暈樘厥獾奶菪?，所以在梯形為轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)的情況下，梯形面積公式可以演變?yōu)槠渌麍D形面積公式。
那么梯形的面積公式從何而來呢？可以按照教材安排，先將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，再將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，導(dǎo)出其面積公式，也可以一步到位，將梯形直轉(zhuǎn)成長(zhǎng)方形，然后推導(dǎo)面積公式。如圖1：
圖1
已知梯形ABCD的上底長(zhǎng)為a，下底長(zhǎng)為b，高為h。求面積。如圖，將梯形分成①、②、③三大區(qū)塊，各區(qū)域面積為：
觀察可知：DG=HC。
所以S1+S2+S3
=DG×h÷2+a×h+HC×h÷2
=h×(DG+HC)÷2+ah
=h×(b-a)÷2+ah
=bh÷2-ah÷2+ah
=bh÷2+ah÷2
=(a+b)h÷2
針對(duì)圖2，圖3這兩個(gè)梯形，可以如法炮制。
圖2
圖3
以梯形面積公式為母本，根據(jù)平行四邊形的上下底相等的特殊性，推導(dǎo)其面積為(a+a)×h÷2=ah。
對(duì)于三角形的面積公式，也可以通過梯形面積轉(zhuǎn)化而來。如圖4，梯形ABCD中，上底長(zhǎng)為a，下底長(zhǎng)為b，高為h。
圖4
設(shè)B點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，沿上底向左移動(dòng)，行至A點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)梯形上底縮短至一個(gè)點(diǎn)，長(zhǎng)度變?yōu)?。梯形同時(shí)變形為三角形，代入公式有：S三角形=（0+b）×h÷2=bh÷2。
不同的思路，會(huì)產(chǎn)生不同的分類標(biāo)準(zhǔn)。所謂轉(zhuǎn)化思想，其實(shí)就是轉(zhuǎn)換一種思路，最終達(dá)到同樣的目標(biāo)。本文僅從四邊形分類與面積重新推導(dǎo)來闡述，紕漏之處還請(qǐng)專家同行批評(píng)指正。
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江蘇省常州武進(jìn)區(qū)盧家巷實(shí)驗(yàn)學(xué)校 岳麗芬
讀過一個(gè)經(jīng)典的佛理故事，名字叫《佛經(jīng)對(duì)了，佛就笑了》，內(nèi)容是一位禪師，懲罰寺院里一名不守清規(guī)的弟子，罰他面壁思過。墻壁上掛著一幅彌勒佛畫像，禪師給受罰弟子出了一道難題，也算是一次將功補(bǔ)過的機(jī)會(huì)，禪師隨手將畫像撕成很多碎片，讓弟子在一炷香的時(shí)間內(nèi)拼完，按時(shí)完成任務(wù)就可以提前恢復(fù)自由，否則只能乖乖挨罰。
令禪師萬(wàn)萬(wàn)沒想到的是，不到一盞茶的工夫，受罰的弟子就拼完了畫像。禪師感到震驚和納悶，因?yàn)樗堑谝粋€(gè)破解難題，成功逃脫面壁懲罰的弟子，禪師急忙問其究竟。
弟子回答：“佛像背面是一行行用歐體正楷抄寫工整的佛經(jīng)，是《法華經(jīng)》中的一段，我背得滾瓜爛熟，只要把佛經(jīng)還原了，彌勒佛畫像也就拼好了?！惫适陆Y(jié)尾有一句發(fā)人深省的話：“佛經(jīng)對(duì)了，佛就笑了?！?/p>
單從考慮問題的智慧來說，這個(gè)弟子的做法的確出人意料，如果老老實(shí)實(shí)按照要求去做很難完成任務(wù)，可是這個(gè)弟子卻懂得變通，將原問題轉(zhuǎn)換成另一個(gè)問題，降低了難度，順利解決問題，也就是將一個(gè)復(fù)雜的問題（佛像的拼接）轉(zhuǎn)換成另一個(gè)簡(jiǎn)單的問題（佛經(jīng)的拼貼）。
這個(gè)哲理故事告訴我們轉(zhuǎn)化思維多么神奇和重要，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，求圖形的面積時(shí)，轉(zhuǎn)化思維可以大顯神通。
一、接入轉(zhuǎn)化思維，重新分類定秩序
本文著重要講的是四邊形的面積及其分類，先說分類。在教材中，根據(jù)對(duì)邊平行的情況，可以將其分為三類：第一種是沒有對(duì)邊平行，第二種是只有—組對(duì)邊平行，第三種是兩組對(duì)邊都平行。分類情況如下圖：
在這個(gè)分類中，四邊形被分為三大類：只有一組對(duì)邊平行的四邊形（梯形）、兩組對(duì)邊都平行的四邊形（平行四邊形），這是兩大類，空白處為一般四邊形，是小類，極易被忽略。在這種分類法里，極易讓人產(chǎn)生誤會(huì)：四邊形除了梯形就是平行四邊形，二者合并起來構(gòu)成全部四邊形，其實(shí)這種分法欠妥。
在這種分類里，平行四邊形和梯形是并列關(guān)系，平行四邊形里又包含長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形里又包含正方形。
如果我們換種分法，另行設(shè)立分類標(biāo)準(zhǔn)——“有無(wú)對(duì)邊平行”，平行四邊形則被分為兩大類：1.沒有對(duì)邊平行；2.有對(duì)邊平行。在第2類里面又分很多小類，小類的細(xì)化就是不斷增加附屬條件，豐富內(nèi)涵，縮小外延。如僅僅說明一組對(duì)邊平行，則為梯形；若梯形中的另一組對(duì)邊也平行，則為平行四邊形；若梯形的另一組對(duì)邊平行且有一個(gè)內(nèi)角為直角，則為長(zhǎng)方形；若梯形的另一組對(duì)邊平行且含有一個(gè)直角內(nèi)角且鄰邊相等，則為正方形。
在這種分法下，平行四邊形屬于梯形的一部分，是一種比較特殊的梯形，換言之，二者不再是并列關(guān)系，而是包含關(guān)系。分類圖如下：
二、確立新的標(biāo)準(zhǔn)，重新表述縮外延
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對(duì)照下列語(yǔ)句：
對(duì)于一個(gè)四邊形，假若有一組對(duì)邊平行，則為梯形；
對(duì)于一個(gè)四邊形，假若有一組對(duì)邊平行且相等，則為平行四邊形；
對(duì)于一個(gè)四邊形，假若有一組對(duì)邊平行且相等，還有一內(nèi)角為90度，則為長(zhǎng)方形；
對(duì)于一個(gè)四邊形，假若有一組對(duì)邊平行且相等，而且還有一內(nèi)角是90度，此外發(fā)現(xiàn)鄰邊也相等，則為正方形。
可以發(fā)現(xiàn)，隨著對(duì)“梯形”概念內(nèi)涵的拓寬，其外延在不斷縮小。這種一般到特殊的分類符合演繹推理的邏輯思維。
三、越過中間環(huán)節(jié)，一步到位求面積
在小學(xué)數(shù)學(xué)中，要求學(xué)生掌握各種四邊形面積的計(jì)算。
教材中對(duì)各種圖形的面積公式推導(dǎo)，包括三角形在內(nèi)，都是從長(zhǎng)方形開始的。首先規(guī)定各面積單位的原始定義，用數(shù)方格的方法，歸納出長(zhǎng)方形的面積公式：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。
長(zhǎng)方形的面積公式出爐后，繼續(xù)轉(zhuǎn)化，以長(zhǎng)方形面積公式為基礎(chǔ)，用割補(bǔ)法將平行四邊形變換為長(zhǎng)方形，推出平行四邊形面積=底×高。梯形和三角形也是這樣，都是轉(zhuǎn)化為平行四邊形后，再來推導(dǎo)。
在四邊形的新分類法中，可以先由長(zhǎng)方形推出梯形面積，因?yàn)槠渌倪呅魏腿切味伎梢砸暈樘厥獾奶菪?，所以在梯形為轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)的情況下，梯形面積公式可以演變?yōu)槠渌麍D形面積公式。
那么梯形的面積公式從何而來呢？可以按照教材安排，先將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，再將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，導(dǎo)出其面積公式，也可以一步到位，將梯形直轉(zhuǎn)成長(zhǎng)方形，然后推導(dǎo)面積公式。如圖1：
圖1
已知梯形ABCD的上底長(zhǎng)為a，下底長(zhǎng)為b，高為h。求面積。如圖，將梯形分成①、②、③三大區(qū)塊，各區(qū)域面積為：
觀察可知：DG=HC。
所以S1+S2+S3
=DG×h÷2+a×h+HC×h÷2
=h×(DG+HC)÷2+ah
=h×(b-a)÷2+ah
=bh÷2-ah÷2+ah
=bh÷2+ah÷2
=(a+b)h÷2
針對(duì)圖2，圖3這兩個(gè)梯形，可以如法炮制。
圖2
圖3
以梯形面積公式為母本，根據(jù)平行四邊形的上下底相等的特殊性，推導(dǎo)其面積為(a+a)×h÷2=ah。
對(duì)于三角形的面積公式，也可以通過梯形面積轉(zhuǎn)化而來。如圖4，梯形ABCD中，上底長(zhǎng)為a，下底長(zhǎng)為b，高為h。
圖4
設(shè)B點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，沿上底向左移動(dòng)，行至A點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)梯形上底縮短至一個(gè)點(diǎn)，長(zhǎng)度變?yōu)?。梯形同時(shí)變形為三角形，代入公式有：S三角形=（0+b）×h÷2=bh÷2。
不同的思路，會(huì)產(chǎn)生不同的分類標(biāo)準(zhǔn)。所謂轉(zhuǎn)化思想，其實(shí)就是轉(zhuǎn)換一種思路，最終達(dá)到同樣的目標(biāo)。本文僅從四邊形分類與面積重新推導(dǎo)來闡述，紕漏之處還請(qǐng)專家同行批評(píng)指正。
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