魏亞楠 嚴(yán)卿

摘 ? 要?數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念的提出，要求數(shù)學(xué)教育中的情境問題能夠考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力、對知識的綜合運用以及思維能力。當(dāng)前情境問題的缺陷在于模式化、脫離現(xiàn)實等。對喻平教授核心素養(yǎng)評價框架進行補充，形成設(shè)計情境問題的一個框架，包括知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新三個水平。

關(guān)鍵詞?綜合 ?情境數(shù)學(xué)思維 ?情境問題

隨著最新版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《課標(biāo)》）的發(fā)布，如何理解和實施這一新的標(biāo)準(zhǔn)成為當(dāng)前理論和實踐中所聚焦的問題?！墩n標(biāo)》的最大特色在于提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，后者是指“學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力”，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析[1]。這六個素養(yǎng)又可以凝聚為“三會”——會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達世界[2]。從這一表述來看，如何將數(shù)學(xué)用于現(xiàn)實世界、建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系并解決實際問題成為一個主線。在數(shù)學(xué)教育中強調(diào)現(xiàn)實問題，主要途徑就是現(xiàn)實情境的引入?！墩n標(biāo)》中對核心素養(yǎng)水平的劃分中，就將“情境與問題”作為一個指標(biāo)，設(shè)置了不同水平的情境。實際上，自本世紀(jì)初呂傳漢、汪秉彝教授開展“情境-問題”教學(xué)實驗以來，創(chuàng)設(shè)情境就成為我國數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的一個固定環(huán)節(jié)，相關(guān)理論與實踐屢見不鮮。然而另一方面，在評價層面上，已有研究對用于評價的問題所屬情境的關(guān)注則比較少見。本研究在對情境問題有關(guān)概念進行梳理的基礎(chǔ)上，針對核心素養(yǎng)培養(yǎng)的新要求，提出核心素養(yǎng)理念下編制情境問題的一些思考。

一、情境問題的內(nèi)涵及相關(guān)概念辨析

在數(shù)學(xué)教育的視域下，對于情境概念，許多學(xué)者都是從教學(xué)情境的角度來闡述。超越教學(xué)背景，有學(xué)者認(rèn)為，情境是“數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的背景”[3]。而對于情境問題，有學(xué)者指出，指“一類具有現(xiàn)實性和思考性的數(shù)學(xué)問題”[4]。這個定義是可以接受的，但是要明確情境問題的外延，還需要對幾個相關(guān)概念做進一步分析。

與情境問題有關(guān)的表述，主要包括如下幾種：應(yīng)用題、真實性問題、情境問題等。這些概念的提出基于不同的歷史背景，相互之間既存在著共性，又有著一定的差異。下面就分別做一簡單介紹。

第一，應(yīng)用題。強調(diào)實用性可以看作我國數(shù)學(xué)史上一個重要特色，《九章算術(shù)》正是以數(shù)學(xué)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用來劃分章節(jié)。應(yīng)用題在我國數(shù)學(xué)教育中的傳統(tǒng)由來已久。在“中國知網(wǎng)”中使用“應(yīng)用題”作為標(biāo)題進行檢索，最早的文章可追溯至上世紀(jì)50年代。伴隨其在1993年高考中的出現(xiàn)，應(yīng)用題逐漸成為教學(xué)實踐、研究中的重點。對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的重視，一方面是在新時代對于數(shù)學(xué)本身價值認(rèn)識深化的結(jié)果，另一方面也體現(xiàn)出素質(zhì)教育的要求。然而，較少有學(xué)者給出應(yīng)用題的明確定義，在為數(shù)不多的定義中，包括“應(yīng)用題是指有實際背景和實際意義的數(shù)學(xué)問題，與純數(shù)學(xué)問題不同”[5]。這樣的定義還不夠清晰，特別是當(dāng)前存在著更多類似概念的情況下。

第二，真實性問題。對真實性問題的關(guān)注來源于對應(yīng)用題的反思。有學(xué)者指出，雖然應(yīng)用題有助于學(xué)生把課內(nèi)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和技能運用到真實生活情境中去，但由于教學(xué)中的應(yīng)用題都是人為簡化處理的問題，導(dǎo)致學(xué)生在解答時傾向于將真實生活知識排除在外，不考慮問題的真實性[6]。可見，真實性問題與應(yīng)用題的區(qū)別是十分明確的，應(yīng)用題強調(diào)了對所學(xué)純粹數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，而真實性問題更加強調(diào)實際情況中對問題的解決。從與現(xiàn)實的聯(lián)系上來說，真實性問題真正把數(shù)學(xué)世界和現(xiàn)實世界聯(lián)系在了一起。當(dāng)然，并非說應(yīng)用題都是不切實際的，只不過這一點并非應(yīng)用題所強調(diào)。

第三，情境問題?！扒榫场备拍钤谖覈鴶?shù)學(xué)教育中得到重視，始于呂傳漢、汪秉彝在本世紀(jì)初開展的“情境-問題”教學(xué)實驗。時至今日，“創(chuàng)設(shè)情境”已經(jīng)成為課堂教學(xué)中公認(rèn)不可缺少的一個環(huán)節(jié)。這是就實踐而言。在理論上，作為情境認(rèn)知理論在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中影響力的體現(xiàn)，越來越多學(xué)者開始關(guān)注情境對學(xué)習(xí)的影響。不過具體到“情境問題”概念的出現(xiàn)，則來源于影響力越來越大的PISA測試。PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試將任務(wù)情境作為一個重要維度，按照與學(xué)生生活的遠近程度劃分為6個水平——無情境、個人情景、教育情境、職業(yè)情境、公共情境、科學(xué)情境。從而，“情境問題”不再只是簡單的涉及現(xiàn)實的問題，情境不再等同于應(yīng)用，而有了更豐富的內(nèi)涵。

綜合以上分析，三類問題都體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)知識運用的重視，都是相對于純粹數(shù)學(xué)知識而言。相比而言，應(yīng)用題側(cè)重點在應(yīng)用，而應(yīng)用是指對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，也就是說，存在著明確對應(yīng)著的具體數(shù)學(xué)知識，這種應(yīng)用本身也是對這一知識掌握水平的考察;真實性問題則與此相對應(yīng)，它的出發(fā)點并不在某個領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識，而來自于真實世界，不會為了迎合某個具體數(shù)學(xué)知識而設(shè)置，也不用來考察這一知識的掌握情況;與這兩種問題相比，情境問題有著更大的包容性，與其說它為自己劃定了一個明確的界限，不如說情境問題的提法使人們對情境本身顯露出更大的興趣，并進行更深入的研究。因此，不論是應(yīng)用題、還是真實性問題，都理應(yīng)內(nèi)含于情境問題的范疇中。

二、《課標(biāo)》對“情境問題”的要求

根據(jù)上文的分析，雖然情境問題這一提法不及創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境普遍，但以應(yīng)用題為代表，在我國數(shù)學(xué)教育中有著長久的傳統(tǒng)。當(dāng)前，在新《課標(biāo)》的背景下，在核心素養(yǎng)理念的引領(lǐng)下，我們應(yīng)當(dāng)如何來重新認(rèn)識情境問題？《課標(biāo)》中不乏強調(diào)情境的表述，但首要一個問題是，情境問題用來實現(xiàn)什么目的？要明確設(shè)置情境問題的應(yīng)然價值，即理論上應(yīng)具備的功能。

首先，情境問題應(yīng)用于考察學(xué)生的問題提出與發(fā)現(xiàn)能力。不論是2011版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，還是此次發(fā)布的高中《課標(biāo)》，在課程目標(biāo)中，都在“分析和解決問題”的基礎(chǔ)上，加入了“發(fā)現(xiàn)和提出問題能力”。這些能力作為培養(yǎng)的目標(biāo)，理應(yīng)體現(xiàn)在評價中，而不僅僅反應(yīng)在教學(xué)過程中。進一步地，數(shù)學(xué)問題的提出總是基于一定的情境，沒有合適的情境，學(xué)生不可能憑空提出問題。《課標(biāo)》中各核心素養(yǎng)水平的描述中，也多次提及“在熟悉、關(guān)聯(lián)、綜合的情境中，發(fā)現(xiàn)或提出問題”。因此，與課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境類似，在評價中，問題情境同樣應(yīng)當(dāng)被精心創(chuàng)設(shè)，從而考察學(xué)生從中提出問題的能力。

其次，情境問題應(yīng)考察學(xué)生綜合運用知識的能力。注重不同知識間的整合，是這次新《課標(biāo)》的一個重要特征，體現(xiàn)了發(fā)展核心素養(yǎng)這一指導(dǎo)思想相對于掌握知識、訓(xùn)練技能的超越。例如，在課程內(nèi)容確定的原則里包括“關(guān)聯(lián)性”原則，要求“關(guān)注學(xué)科間的聯(lián)系與整合”。應(yīng)該說，分科課程與綜合課程之爭長期存在，分科的依據(jù)在于知識，因此在強調(diào)知識掌握的時期，分科課程會得到更多的重視;另一方面，我們在生活中面對的問題往往都涉及多方面知識，因此當(dāng)課程設(shè)計者關(guān)注對知識的運用——即素養(yǎng)（能力），自然會開始加強對綜合課程的重視。從以上分析中不難理解，為何情境問題在強調(diào)綜合性的課程中有著重要的意義。綜合課程的出發(fā)點就在于解決現(xiàn)實中遇到的問題，同時，也只有在一定的情境中，不同的知識才有可能被匯聚在一起。因而，為了考察學(xué)生綜合運用知識的能力，在設(shè)計情境問題時要注意知識點的關(guān)聯(lián)性。在注重整合的同時也要防止人為制造的統(tǒng)一[7]。強調(diào)綜合性不應(yīng)以學(xué)科本身價值的喪失為代價，要避免“去科學(xué)化”。

最后，情境問題應(yīng)考察學(xué)生的思維。論及數(shù)學(xué)課程的價值，存在這樣一個共識：就知識本身而言，對將來生活有用的部分其實非常有限，之所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，原因在于能夠培養(yǎng)人的思維。這正是核心素養(yǎng)理念在數(shù)學(xué)教育中的體現(xiàn)。而說到培養(yǎng)思維，往往使人聯(lián)想到具有挑戰(zhàn)性的純數(shù)學(xué)題，情境問題則被認(rèn)為側(cè)重點在于聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界。實際上，這一觀點弱化了情境問題對于思維培養(yǎng)的價值。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對思維的培養(yǎng)可以從兩個層面上來把握，首先是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，然后在此基礎(chǔ)上、通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維，即思考問題更清晰、更全面、更深刻、更合理[7]。情境問題對于后一層面思維的考察尤其重要。顯然，偏離現(xiàn)實、違背常識的問題不僅不利于學(xué)生一般性思維的發(fā)展，甚至?xí)a(chǎn)生相反的效果。在設(shè)計情境問題的時候，如何在考察數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)上，融入一般性思維的考察，是一個值得思考的問題。

三、情境問題的研究現(xiàn)狀

接下來對數(shù)學(xué)教育中有關(guān)情境問題的研究進行一個梳理?？傮w而言，專門針對情境問題的研究并不多，以比較研究為主，涉及教材、考試中的情境問題。陳志輝構(gòu)建了包括數(shù)學(xué)特征水平、情境類判別等的情境問題分析框架，研究發(fā)現(xiàn)：上海教材中函數(shù)部分的情境重復(fù)率偏高，教育情境偏多;上海中考在多樣性上遜色于PISA和新加坡，等等[8][9]。沈陽采用SEC方法對南京中考試題與PISA試題在內(nèi)容、情境等方面進行了比較，發(fā)現(xiàn)南京市中考試題多數(shù)都是無情境的，PISA中的開放式問題多于南京中考[10]。嚴(yán)卿對中國和日本初中數(shù)學(xué)教材中的問題提出進行了比較，發(fā)現(xiàn)后者中有65%設(shè)置了情境，而中國教材僅為30%左右，說明中國教材對于情境中提出問題的能力缺乏重視[11]。

此外，一些使用情境問題的測驗研究也反映出該類問題在日常教學(xué)中的現(xiàn)狀。張民選基于上海市學(xué)生在PISA2012中的結(jié)果指出：結(jié)構(gòu)不良的問題訓(xùn)練較少;作業(yè)往往都是當(dāng)日完成，較少接觸需要深度思考的問題;情境問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)換、以及將數(shù)學(xué)結(jié)果運用于情境中的能力相對較弱[12]。張永雪使用真實性問題對學(xué)生解題情況進行考察，揭示了當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用題使用的一些問題，例如：平常的經(jīng)驗與數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練形成的習(xí)慣產(chǎn)生了沖突、課本上的應(yīng)用題老套，等等[13]。

基于這些研究的結(jié)果，可以總結(jié)出如下問題：情境種類偏少，重復(fù)且老套，脫離真實;應(yīng)用題的訓(xùn)練模式化;探究類、開放性問題、問題提出型任務(wù)較為缺乏。這些問題中的一部分正是前文的分析中所指向的，例如對提出問題的強調(diào);又如，要培養(yǎng)學(xué)生一般性的思維能力，老套、模式化的題目肯定難以勝任，而脫離真實的情境甚至對思維能力的培養(yǎng)是有害的——當(dāng)學(xué)生不得不去完成一道違背常識的題目時，他必須暗示自己放棄理性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎?。另一方面，對情境問題綜合性特征的研究則比較少見。

四、改進情境問題的思考

以上分別闡述了情境問題的概念、應(yīng)然的價值以及在當(dāng)前數(shù)學(xué)教育中的現(xiàn)狀。現(xiàn)在的問題即是，應(yīng)如何設(shè)計情境問題，從而既能克服當(dāng)前的缺陷，又能滿足核心素養(yǎng)培養(yǎng)的要求。情境問題是數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實情境的結(jié)合，在形式上是多樣化、經(jīng)驗化的情境，在實質(zhì)上依然是數(shù)量關(guān)系與空間形式，因此，合理的設(shè)計框架理應(yīng)兼顧這兩個維度。合適的情境問題不能是過于情境化而忽視對數(shù)學(xué)思維方法的考量，這正是PISA測試所欠缺的地方;同時，單純用問題的復(fù)雜程度來刻畫問題水平的框架也是不合適的，因為情境問題理應(yīng)考察提出、發(fā)現(xiàn)問題的能力，且無法用問題的復(fù)雜性來刻畫，且情境問題的價值追求并不在于復(fù)雜程度;此外，出于可行性和推廣性的考慮，情境問題的設(shè)計框架不應(yīng)是過于繁瑣的。

從數(shù)學(xué)知識維度著手，可考慮引入喻平教授提出的核心素養(yǎng)評價框架。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)產(chǎn)生于知識，那么評價的水平劃分就應(yīng)當(dāng)從知識的角度切入，并將知識學(xué)習(xí)分為3種形態(tài)（水平）。知識理解水平指對知識的本質(zhì)、類屬以及與其他知識之間的種種聯(lián)系的理解，以及基本技能的形成和發(fā)展。知識遷移水平指知識在新情境中的應(yīng)用，以及知識的綜合應(yīng)用。知識創(chuàng)新水平指學(xué)習(xí)者能夠解決一些非常規(guī)的開放性問題，或者生成超越教材規(guī)定內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識，或者對問題進行推廣與變式得到一個新的問題[14]。

這一框架以知識的學(xué)習(xí)形態(tài)為線索劃分出三個水平，具有較強的理論基礎(chǔ)，其所給出的“知識的綜合應(yīng)用”“進行推廣得到新問題”等指標(biāo)也與本研究訴求相一致。但由于該框架并非專門針對情境問題設(shè)計，因此有必要在情境維度進行更為精細的刻畫。情境水平的設(shè)置與知識維度有一定對應(yīng)關(guān)系，而不是完全獨立的。例如，既然知識遷移維度涉及到多個知識點，那么對應(yīng)的情境絕不可能太簡單，否則滿足不了知識上的要求。此處沿用知識理解-知識遷移-知識創(chuàng)新的表述，并分“數(shù)學(xué)維度”和“情境維度”分別表述，具體見表1。

此外，無論在哪個水平上，情境都不能和生活常識相違背。這個框架著眼于當(dāng)前情境問題的缺陷以及核心素養(yǎng)培養(yǎng)的新要求，對情境問題水平的劃分做了明確規(guī)定，適合用于情境問題的設(shè)計。此外，也不必過度局限于框架，并非每一道情境問題都必須包括兩個維度上的每一個水平。以下借助一個具體例子來進一步說明該設(shè)計框架。

我們生活中所使用的書籍、紙張有一套固定的尺寸規(guī)格，例如，在打印店經(jīng)常用到A4紙，我們考試的試卷用的是A3紙。這些紙張的長、寬是怎樣規(guī)定的呢？以A3和A4紙為例，它們的長寬比是一樣的;并且，兩張A4紙拼在一起就相當(dāng)于一張A3紙的大小，如圖1所示。

（1）請問A3、A4紙張的長寬比是多少？

（2）除了紙張的長寬比，數(shù)學(xué)中另一個有名的比例就是黃金分割比，這一比例在建筑、繪畫藝術(shù)中十分普遍，能夠給人帶來美感。假如有兩個長寬比為黃金分割比的長方形，將小長方形置于大長方形上面，且小長方形的長與大長方形的寬正好重合，如圖2，則大長方形多余的部分正好是一個正方形。請計算黃金分割比。

（3）五角星是生活中非常常見的圖形，連接正五邊形任意兩個頂點，可以畫出五角星的圖案，如圖3。從中你又能發(fā)現(xiàn)哪些比例呢？

第一小問在情境上選取了學(xué)習(xí)者比較熟悉的日常生活情境，知識點上雖然涉及圖形的相似，并要求能夠據(jù)此列出方程求解，但數(shù)量關(guān)系在已知條件中就十分清晰，方程的求解也十分簡單，因此仍屬于知識理解水平;第二小問在情境上較第一問陌生，在知識點上與第一問類似，但難度有了延伸，需通過理解題意抽象出數(shù)量關(guān)系，列方程需要一定的技巧，求解也更復(fù)雜，屬于知識遷移水平。第三小問的情境與前兩問相比有一定的跳躍，但蘊含的基本思想類似;在知識上進一步納入了圓與正多邊形的內(nèi)容，一些條件隱藏較深，且要求學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)線段間的關(guān)系，是一道開放性的問題，屬于知識創(chuàng)新水平。

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[作者：魏亞楠（1994-），女，江蘇南通人，南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在讀碩士研究生;嚴(yán)卿（1987-），男，湖北武漢人，南京師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所在讀博士研究生。]

【責(zé)任編輯 ?劉永慶】