朱雪平

[摘? 要] 數(shù)學(xué)是一門發(fā)展思維能力的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)是拓展學(xué)生思維空間的教學(xué). 筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)際，在思維訓(xùn)練拓展課程與活力課堂的碰撞中發(fā)現(xiàn)，可以通過巧置懸念、激發(fā)觸動(dòng)、縱橫聯(lián)想、另辟蹊徑四個(gè)方面有效地組織學(xué)生進(jìn)行思維活動(dòng)，拓寬學(xué)生的思維空間，彰顯課堂活力.

[關(guān)鍵詞] 拓展課程;思維訓(xùn)練;活力課堂

開展數(shù)學(xué)拓展性課程，是對(duì)現(xiàn)有初中數(shù)學(xué)教材的有力補(bǔ)充，能豐富教學(xué)內(nèi)容，豐富校園文化建設(shè)，促進(jìn)學(xué)校發(fā)展. 而對(duì)于很多農(nóng)村學(xué)校的初中生來說，由于基礎(chǔ)比較薄弱，所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一件相當(dāng)困難的挑戰(zhàn). 數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是進(jìn)行思維訓(xùn)練，由于課堂時(shí)間有限，導(dǎo)致課堂中很多的生成資源得不到有效利用，學(xué)生的思維受到限制. 那如何在新課改的理念下把思維訓(xùn)練拓展課程與活力課堂有效地結(jié)合起來呢？筆者以為可以從以下幾個(gè)方面著手.

巧置懸念，啟迪思維

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師要精心設(shè)計(jì)一系列問題，產(chǎn)生懸念，從而有效地激發(fā)學(xué)生的好奇心，引導(dǎo)并鼓勵(lì)學(xué)生提出質(zhì)疑，因?yàn)樘岢鰡栴}比解決問題更重要. 有疑問才會(huì)有思考，才會(huì)深入探究，才會(huì)觸動(dòng)思維，然后在教師的智慧點(diǎn)撥下，釋疑解惑. 在這個(gè)過程中，學(xué)生可能一開始感到有些費(fèi)力，而后就會(huì)感到柳暗花明又一村，這才是我們所追求的富有靈動(dòng)性的活力課堂.

如教學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)“二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)課”時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)以數(shù)形結(jié)合思想為主線的復(fù)習(xí)課. 由于數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)的問題上應(yīng)用非常普遍，所以筆者就這一問題專門在拓展課上進(jìn)行深入探討，以下是教學(xué)片段.

拓展習(xí)題：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程x2+4=的解有幾個(gè)？這道題的本質(zhì)不是考查我們解方程，而是用數(shù)形結(jié)合思想解決. 于是需要我們抓住本題的本質(zhì)，悟出出題者的本意，即在平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=x2+4和y=的圖像，這兩個(gè)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為原方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù).

這道題充分體現(xiàn)了“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”這句話的真諦. 如果直觀地看，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程可以化為一個(gè)一元三次方程. 在初中階段，學(xué)生還沒有學(xué)過怎樣解一元三次方程，這會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生疑問. 在這種心理狀態(tài)下，學(xué)生開始討論解決疑問的方法，此時(shí)的課堂充滿了思維的張力，能讓原本“難產(chǎn)”的疑問隨著好奇心自然流淌，靈動(dòng)生長(zhǎng).

激發(fā)興趣，觸動(dòng)思維

課堂中能否調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、觸動(dòng)學(xué)生的思維是關(guān)鍵. 只有學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣，才會(huì)積極地思考，才會(huì)快樂地學(xué)習(xí)，才會(huì)提升學(xué)生的學(xué)力，才會(huì)提高學(xué)生探索數(shù)學(xué)世界的主觀能動(dòng)性. 那么在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣呢？筆者以為可以通過引用故事的方式來激發(fā)學(xué)生的興趣.

如教學(xué)“函數(shù)的概念”時(shí)，由于課堂時(shí)間比較緊迫，所以教師往往注重知識(shí)的傳授，而忽視了數(shù)學(xué)史. 既然拓展課程是課堂教育的延伸，于是筆者把函數(shù)概念的歷史教學(xué)放到拓展課上來進(jìn)行.

教學(xué)中，教師可以列舉一些實(shí)際問題，得出函數(shù)的概念：

一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x，y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).

像s=60t，y=50x-0.1這樣，用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，是描述函數(shù)的常用方法. 這種式子叫函數(shù)解析式.

17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家將一個(gè)變量x的不同次冪稱為x的函數(shù).

1718年，約翰·伯努利首次明確提出函數(shù)的新定義：一個(gè)變量與一些常數(shù)的和、積、商、冪、方根的代數(shù)式，稱為這個(gè)變量的函數(shù).

1748年，歐拉首次用“解析式”定義函數(shù)：一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些常量組成的解析式.

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，結(jié)合故事來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、觸動(dòng)學(xué)生的思維，是一種有效的方法. 這種引用歷史故事的方式代替了講授法，能讓學(xué)生穿越時(shí)空，與歷史上的數(shù)學(xué)家“對(duì)話”，從而拉近他們與數(shù)學(xué)之間的距離，讓原本難以“下咽”的函數(shù)概念靈動(dòng)，定格在學(xué)生的腦海中，鑲嵌在學(xué)生的思維里，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

縱橫聯(lián)想，拓寬思路

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力關(guān)鍵在于教給學(xué)生思維方法. 教師應(yīng)善于選擇典型例題，善于發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用多種方法解決問題，這樣既有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 教師要善于采用變式題進(jìn)行教學(xué)，這樣既能開闊學(xué)生的視野，又能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有生長(zhǎng)點(diǎn)和發(fā)展點(diǎn)，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

如教學(xué)“圓和相似三角形的復(fù)習(xí)課”時(shí)，由于課堂時(shí)間有限，所以學(xué)生的多種思路沒有辦法在課堂上一一呈現(xiàn)，于是筆者就這一問題專門上了一節(jié)拓展課，解題成果如下.

如圖1，已知A，P，B，C是☉O上的四點(diǎn)，∠APC=∠BPC=60°，AB與PC交于點(diǎn)Q.

（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論;

（2）直接寫出所有與△APQ相似的三角形;

（3）若AP=6，=，求PB的長(zhǎng).

對(duì)于第（1）問，只要運(yùn)用圓周角的性質(zhì)，學(xué)生很快就能解決;第（2）問也相對(duì)比較簡(jiǎn)單，而第（3）問有很多解決方法，具體呈現(xiàn)如下.

設(shè)AQ=3x，則BQ=5x，BC=AB=8x.

方法一，因?yàn)椤鰽PQ ∽△CBQ，所以=，解得PQ=. 又△APQ ∽△CPB，所以=，解得PB=10.

方法二，因?yàn)椤鰽PQ∽△CPB，所以=，解得PC=16. 又△BCQ ∽△PCB，所以=，解得PB=10.

方法三，因?yàn)椤鰽PQ ∽△CBQ，所以=，解得CQ=4x2. 又△PBQ ∽△ACQ，所以=，解得PB=10.

方法四，如圖2，過點(diǎn)A作AM⊥PC于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥PC于點(diǎn)N. 因?yàn)椤鰽MQ∽△BNQ，所以==. 又△APM ∽△BPN，所以==. 所以PB=10.

方法五，因?yàn)椤鰽MQ ∽△BNQ，所以 ==. 容易求得AM=APsin60°，BN=BPsin60°，所以=. 所以PB=10.

方法六，如圖3，運(yùn)用面積方法建立比例求解. 過點(diǎn)Q分別作QE⊥PA于點(diǎn)E，QF⊥PB于點(diǎn)F. 因?yàn)椤螦PC=∠BPC=60°，所以QE=QF. 所以===，即=，解得PB=10.

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，變式教學(xué)和一題多解顯得尤為重要. 教學(xué)中，我們應(yīng)讓學(xué)生在變式中抓住問題的本質(zhì)，洞察問題的結(jié)構(gòu)，追求“做一題，會(huì)一類，通一片”. 一題多解屬于發(fā)散性思維的范疇，如果教師善于選題，善于啟發(fā)，善于捕捉學(xué)生思維的“星星之火”，那么課堂的氣氛就會(huì)引發(fā)為“燎原之勢(shì)”，這樣就會(huì)使課堂教學(xué)產(chǎn)生一種吸引人的魅力.

另辟蹊徑，激活思維

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生常常會(huì)陷入一種思維怪圈，也就是我們經(jīng)常所說的思維定式，即在頭腦中用一種固定的思維模式去思考問題. 每當(dāng)呈現(xiàn)給學(xué)生的問題跟他們的已有認(rèn)知水平發(fā)生沖突時(shí)，學(xué)生就會(huì)感到束手無(wú)策. 在這一關(guān)鍵時(shí)刻，教師應(yīng)啟示一條全新的思維路子，使學(xué)生燃起新的希望，讓希望在數(shù)學(xué)課堂上落地生根，在數(shù)學(xué)的天地里播撒思維種子.

在初中階段，幾何學(xué)習(xí)是一個(gè)基礎(chǔ)，一道好的幾何試題可以涉及很多的知識(shí)點(diǎn)，包括三角形、四邊形、圓，甚至包括考查知識(shí)遷移能力和知識(shí)整合能力. 對(duì)于學(xué)生來說，幾何是一種對(duì)思維深度和梯度的考驗(yàn)，而且?guī)缀晤}往往解題思路比較多，所以能充分激活學(xué)生的思維. 下面是一節(jié)拓展課的教學(xué)片段.

如圖4，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為a，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥AB交AF于點(diǎn)M，作PN∥CD交DE于點(diǎn)N.

（1）∠MPN=______;

（2）求證：PM+PN=3a.

此題的第（1）問比較簡(jiǎn)單，學(xué)生自己便可以解決. 第（2）問的證法比較多，在拓展課上，筆者展示了常規(guī)思維的證法和巧妙獨(dú)到的證法. 第（2）問的普遍證法如下：

如圖5，分別過A，B兩點(diǎn)作PM的垂線，垂足分別為Q，S，分別過C，D兩點(diǎn)作PN的垂線，垂足分別為T，R. 因?yàn)椤螧PS=∠CPT=60°，所以SP=BP，PT=CP. 所以SP+PT=. 又四邊形ABPM和四邊形CDNP都是等腰梯形，所以MQ=PS，NR=PT，QS=AB，RT=CD. 所以PM+PN=3a.

教師引導(dǎo)學(xué)生走另外一種思路：能不能在六邊形的外面作輔助線來解決？學(xué)生通過思考和合作交流，馬上想到了形外連線的方法.

新穎的證法：（形外連線）如圖6，延長(zhǎng)FA，CB交于點(diǎn)I，延長(zhǎng)BC，ED交于點(diǎn)J，則△ABI，△DCJ，△PMI，△PNJ均為等邊三角形. 所以PM+PN=PI+PJ=BI+BC+CJ=3a.

“拓展課程”是“基礎(chǔ)課程”的補(bǔ)充，重要的不是開發(fā)，而是轉(zhuǎn)變教師的教學(xué)方式，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式. 我們要以課堂教學(xué)為主陣地，以加強(qiáng)學(xué)生的思維訓(xùn)練為突破口，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，拓寬學(xué)生的思維空間，使課堂煥發(fā)出無(wú)限的精彩和活力.