陳秀明 （江蘇金山中等專業(yè)學(xué)校）

三角函數(shù)的值域（最值）問題是一個比較復(fù)雜的問題，求法多種多樣，又有很強(qiáng)的技巧性，它往往與二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)函數(shù)圖象、二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（定義域）等知識聯(lián)系在一起。那么如何通過對二次函數(shù)在三角函數(shù)中的應(yīng)用進(jìn)而提升學(xué)生對知識的綜合和揉合能力成為我們追求的目標(biāo)。

三角函數(shù)的值域、最值問題是常見考點(diǎn)之一，我們最常用的方法是借助三角函數(shù)的公式進(jìn)行變換或代數(shù)換元，然后轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)求值域或最值。下面從幾種常見的利用二次函數(shù)求三角函數(shù)值域的幾種題型出發(fā)，來分析探討這類題目的簡便解法。

這類問題的基本特征是表達(dá)式里含有不同名的三角形式，但又無法運(yùn)用三角恒等變換將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的一般形式f(x)=Asin(ωx+ψ)。這時候需要二次函數(shù)作為連接的橋梁，可以通過換元的方式將原函數(shù)看成一個二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，以三角函數(shù)作為內(nèi)函數(shù)，再以多項式函數(shù)或其他基本初等函數(shù)作為外函數(shù)的形式。這里最常見的就是以三角函數(shù)作為內(nèi)函數(shù)，以二次函數(shù)作為一個外函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的模型。

一、二次函數(shù)解析式換元在三角函數(shù)中應(yīng)用的實例展示

“三角函數(shù)”轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)”此類型分為兩種：下面分別用兩個例子來展示。

例 1：已知函數(shù)，f(x)=7cos2x+sin2x-4cosx，f(x)的值域。

分析：此類題目可以轉(zhuǎn)化為f(x)=7cos2x+bcosx+c型的三角函數(shù)的最值問題。

因為cosx∈[-1,1]

所以cosx=-1時，f(x)取得最大值

這種三角函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合的復(fù)合函數(shù)的基本特征是解析式化為同角式三角函數(shù)，就比較容易識別，一般的解題步驟可總結(jié)如下：

（1）將原來的三角函數(shù)解析式化為一個二次函數(shù)的形式，統(tǒng)一化為相同角的同一三角函數(shù)名的形式；

（2）就是換元，外函數(shù)表示為二次函數(shù)或其他簡單的初等函數(shù)，而內(nèi)函數(shù)就是一個相對簡單的三角函數(shù)；

（3）最后利用二次函數(shù)的最值問題及sinx，及cosx的取值范圍進(jìn)行解題。

但解析此類題目時應(yīng)特別注意的是對“內(nèi)函數(shù)”范圍的限制非常關(guān)鍵，常見的像-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1，如果忽視這個問題就得到錯誤的答案。

一種為另一種是令t=sinx+cosx的形式

例 2：求函數(shù) y=（sinx+2）（cosx+2）的值域。

解：由 y=（sinx+2）（cosx+2）展開得

y=sinxcosx+2sinx+2cosx+4

此題利用的是（sinx+cosx）2=sinx2+2cosxsinx+cosx2，又與sinx2+cosx2=1之間存在互相轉(zhuǎn)化的公式，將不同名的三角函數(shù)名化為用同一個常數(shù)來進(jìn)行替代后，我們發(fā)現(xiàn)本題就化為是閉區(qū)間上的二次函數(shù)求最值的問題，將繁瑣的三角函數(shù)類的題目轉(zhuǎn)化為一個我們比較熟悉的二次函數(shù)類的題目，符合化繁為簡的規(guī)律。

二、二次函數(shù)在三角函數(shù)中應(yīng)用的注意點(diǎn)和學(xué)生產(chǎn)生的問題

通過三角函數(shù)的教學(xué)實踐，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的處理一般都是單方面的，應(yīng)注重提高學(xué)生的三角函數(shù)換元方面的能力，一定要注意的是t的范圍，這也是學(xué)生很容易忽略的問題，通過教學(xué)實際，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在“基礎(chǔ)性轉(zhuǎn)化”即只有一個知識點(diǎn)的轉(zhuǎn)化問題上有著比較高的能力，而知識點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化卻有一定的困難。

三、二次函數(shù)解析式換元在三角函數(shù)中應(yīng)用的解決辦法及能力提升

要從知識整體性的高度上提點(diǎn)學(xué)生，認(rèn)識三角函數(shù)背后所闡述的數(shù)學(xué)本質(zhì)問題，從而加強(qiáng)學(xué)生猜想轉(zhuǎn)換的綜合能力。對上面問題研究,著重要培養(yǎng)學(xué)生從知識融合的高度開始，數(shù)學(xué)最基本的教學(xué)在于概念教學(xué)和基本知識、基本能力的教學(xué)，在此基礎(chǔ)上的問題正是引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識間合并的思考。通過這方面題目的訓(xùn)練對職高起步階段的學(xué)生進(jìn)行思維的推動和興趣的提高。