(1.浙江工業(yè)大學(xué) 設(shè)計藝術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 310023；2.浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310014)

在機(jī)電產(chǎn)品競爭日趨激烈的國際化市場環(huán)境下，對產(chǎn)品提出了快速設(shè)計與制造、大批量、個性化以及低成本等要求，模塊化設(shè)計正是為了滿足這些要求而發(fā)展的機(jī)電產(chǎn)品設(shè)計方法。所謂模塊化設(shè)計是指在對一定范圍內(nèi)的不同功能或相同功能不同性能、不同規(guī)格的產(chǎn)品進(jìn)行功能分析的基礎(chǔ)上，劃分并設(shè)計出一系列功能模塊，通過模塊的選擇和組合構(gòu)成不同的產(chǎn)品，以滿足市場不同需求的設(shè)計方法[1]。模塊化設(shè)計過程中，模塊的選擇和組合方式很多，不同模塊組合的產(chǎn)品，其功能、性能、可靠性和成本等不同，且這些指標(biāo)常常是相互矛盾的，因此設(shè)計者設(shè)計產(chǎn)品需要綜合考慮產(chǎn)品功能[2]、可靠性、制造和維護(hù)成本[3]等多目標(biāo)要求，最終形成一個盡可能滿足多個設(shè)計目標(biāo)要求的方案即博弈均衡。因此如何優(yōu)化模塊化設(shè)計在本質(zhì)上也是一個多目標(biāo)優(yōu)化問題?；诙嗄繕?biāo)的產(chǎn)品優(yōu)化設(shè)計問題與博弈思想的相似性，1991年Rao等[4]率先將博弈論方法應(yīng)用到機(jī)械設(shè)計的多目標(biāo)優(yōu)化問題中，隨后國內(nèi)外眾多學(xué)者開展了這方面的研究，Dingra等[5]基于合作博弈理論證明了博弈論可以作為解決多目標(biāo)優(yōu)化問題的工具，Lewis等[6]結(jié)合飛行器中的多學(xué)科設(shè)計問題，探討了合作、非合作和領(lǐng)導(dǎo)隨從等3 種博弈模型，謝能剛等[7-8]將博弈論方法應(yīng)用于拱壩體型和滑輪組變幅機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，趙健冬等[9]研究了基于Nash均衡的多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計求解方法，并應(yīng)用于挖掘機(jī)工作裝置設(shè)計, 陳亮等[10-11]根據(jù)各博弈方策略集劃分情況，分別構(gòu)建基于合作博弈、非合作博弈和混合博弈等多目標(biāo)設(shè)計決策模型，并探討各種模型的求解方法，Xiao等[12]提出一種非合作環(huán)境下多目標(biāo)多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化問題的新方法，方法基于博弈論的納什均衡。

通過對多目標(biāo)模塊化設(shè)計重用過程的分析，發(fā)現(xiàn)其與博弈論思想的契合度非常高。筆者將多目標(biāo)設(shè)計優(yōu)化的博弈論思想發(fā)展，推廣應(yīng)用于模塊化設(shè)計重用的決策問題，論述產(chǎn)品模塊化設(shè)計重用博弈策略的建立方法，針對合作博弈、非合作博弈與混合博弈等3 種博弈形式，分別建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和求解方法，并以小型健身器械——踏步機(jī)的模塊化設(shè)計為例驗證方法的有效性。

1 模塊化設(shè)計重用問題

(1)

式中：X為一組由可變參數(shù)組成的n維向量，稱為設(shè)計變量或設(shè)計參數(shù)；F(X)為目標(biāo)函數(shù)；fi(X)為各設(shè)計需求(目標(biāo))收益函數(shù)；gi(X)，hj(X)分別稱為不等式約束函數(shù)和等式約束函數(shù)；變量數(shù)n、約束個數(shù)k和l之間是相互獨立的，無任何關(guān)聯(lián)；s.t.(subjected to)表示“受制于”。

采用博弈論方法求解式(1)表示的模塊化多目標(biāo)設(shè)計重用問題，需要對已有模塊進(jìn)行整理，劃分博弈方并建立相應(yīng)的策略空間。

機(jī)電產(chǎn)品一般由功能模塊、控制模塊、動力模塊和基座(機(jī)架)模塊等N個模塊組成。根據(jù)博弈設(shè)計重用的要求，將以上模塊中的各設(shè)計變量(設(shè)計參數(shù))按設(shè)計需求重新劃分與歸類，將它們劃分與歸類為功能參數(shù)、控制參數(shù)、動力參數(shù)、可靠性以及成本等m個設(shè)計需求，作為博弈模型中的m個博弈方P={P1,P2,…,Pm}，如圖1所示。

圖1 機(jī)電產(chǎn)品模塊構(gòu)成和設(shè)計需求劃分Fig.1 Modular structure of electromechanical product and design requirement

(2)

(3)

2 目標(biāo)函數(shù)與求解

2.1 博弈方收益函數(shù)

對于圖1所示的m個博弈方(設(shè)計需求)P={P1,P2,…,Pm}中任一博弈方Pj及相應(yīng)的策略空間Sj(X)，建立收益函數(shù)。建立收益函數(shù)的基本原則：1) 能夠體現(xiàn)各設(shè)計變量在各設(shè)計需求中的重要性；2) 能夠體現(xiàn)各模塊在各設(shè)計需求中的重要性。根據(jù)這兩條基本原則，可以建立的收益函數(shù)形式很多，筆者建立的收益函數(shù)為

(4)

在各博弈方收益函數(shù)式(4)的基礎(chǔ)上，根據(jù)產(chǎn)品的類型與模塊化設(shè)計要求等，從合作博弈、非合作博弈和混合博弈等3 種博弈類型出發(fā)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并求解。

2.2 合作博弈

合作博弈將整體收益最佳作為決策目標(biāo)，因此整體收益函數(shù)應(yīng)與各博弈方收益函數(shù)正向相關(guān)。建立整體收益函數(shù),即式(1)中的目標(biāo)函數(shù)F(X)為

(5)

式中bj(0≤bj≤1)表示第j項需求對整體產(chǎn)品的重要性，稱為需求-產(chǎn)品重要性指數(shù)。

合作博弈的目標(biāo)函數(shù)及最后的求解結(jié)果，能較準(zhǔn)確地體現(xiàn)各設(shè)計需求對產(chǎn)品整體的重要性，該模型適用于各設(shè)計需求對產(chǎn)品整體的相對重要性較為明確的產(chǎn)品設(shè)計。

2.3 非合作博弈

(6)

式中：Xi為第i個設(shè)計方案；M為可選的模塊化設(shè)計方案總個數(shù)。根據(jù)納什均衡，對于每一個博弈方j(luò)，其對任一設(shè)計方案的收益期望值相等，即

(7)

(8)

(9)

非合作博弈模型不能體現(xiàn)各設(shè)計需求對產(chǎn)品整體的相對重要性，故其適用于各博弈方設(shè)計需求對產(chǎn)品整體的相對重要性較模糊或者無法確定的產(chǎn)品設(shè)計。

2.4 混合博弈

在合作博弈與非合作博弈均不非常適合的情況下，可以將兩者結(jié)合，采用混合博弈模型，即將關(guān)系緊密的博弈方組成博弈同盟，在同盟內(nèi)部進(jìn)行合作博弈，在同盟外部進(jìn)行非合作博弈。

設(shè)共有m個博弈方，其中k個博弈方P1,P2,…,Pk組成一個博弈同盟，同盟內(nèi)部進(jìn)行合作博弈，參照合作博弈整體收益函數(shù)式(5)，博弈同盟收益函數(shù)fco(X)為

(10)

式中：fl(X)為博弈同盟中第l個博弈方的收益函數(shù)，其計算同式(4)；bl(0≤bl≤1)表示第l個博弈方需求對同盟的重要性，稱為需求-同盟重要性指數(shù)。

將博弈同盟作為一方(收益函數(shù)為fco)，與不參與同盟的m-k個博弈方(收益函數(shù)為fj)組成非合作博弈，并按前述非合作博弈方法求解。這種博弈方法稱為混合博弈，當(dāng)博弈同盟不止一個時，同樣適用。

2.5 模型的求解

由以上3 種博弈模型的分析可知：模塊化設(shè)計重用的目標(biāo)函數(shù)F(X)可以統(tǒng)一寫成

(11)

式中指數(shù)wj對于不同的博弈模型，其意義有所不同，如式(5，10)所述，其中對于非合作博弈，wj=1,j=1,2,…,m。

實際產(chǎn)品設(shè)計過程中，不論采用何種博弈模型，其最終的最優(yōu)策略應(yīng)該是相近的，甚至是一致的。式(11)表示的3 種博弈模型最終目標(biāo)函數(shù)的統(tǒng)一性正是反映了這種特性。

由于合作博弈體現(xiàn)了各設(shè)計需求對產(chǎn)品整體的相對重要性，而非合作博弈模型不能體現(xiàn)這種相對重要性(混合博弈介于二者之間)，因此，在一般情況下應(yīng)優(yōu)先考慮采用合作博弈模型。

3 設(shè)計簡例

將以上博弈論方法用于踏步機(jī)產(chǎn)品的模塊化設(shè)計重用。踏步機(jī)是一種小型健身器材，主要用于腿部運動健身，其主要模塊包括踏板模塊、運動機(jī)構(gòu)模塊和機(jī)架模塊，如圖2所示。該款機(jī)型當(dāng)前可供設(shè)計重用的歷史方案共有4 種，分別為方案1～方案4，它們各功能模塊的相關(guān)變量如表1所示。這些歷史方案的模塊重組后可以組成的設(shè)計方案共有4×4×4=64 種。新的設(shè)計就是從這64 種方案中選取較為合適的參考設(shè)計方案。

圖2 踏步機(jī)及功能模塊Fig.2 Step machine and its functional modules

模塊分類參數(shù)方案1方案2方案3方案4踏板模塊設(shè)計承重/kN0.600.700.800.90設(shè)計壽命/萬次200100150120制造成本/元8.011.013.014.0運動機(jī)構(gòu)模塊設(shè)計承重/kN0.800.901.001.10行程高度/mm200200230230最大傾角/( °)25263030設(shè)計壽命/萬次2 0001 5001 2001 000制造成本/元100.0120.0130.0140.0機(jī)架模塊設(shè)計承重/kN0.800.901.001.10制造成本/元20.024.027.029.0

按式(3)對表1各設(shè)計變量進(jìn)行歸一化處理，得到表2所示歸一化設(shè)計變量。其中踏板行程高度與最大角度為有最優(yōu)值的參數(shù)，最優(yōu)行程高度為220 mm，最優(yōu)最大角度為28°；設(shè)計承重與設(shè)計壽命為無最優(yōu)值參數(shù)，為正向指標(biāo)，制造成本為無最優(yōu)值參數(shù)，為逆向指標(biāo)。

表2 歸一化設(shè)計變量Table 2 Normalized design variables

本次設(shè)計要求：利用已有模塊進(jìn)行重組，設(shè)計1 臺踏板承重W1≥0.75 kN的新樣機(jī)，其中約束條件為W3≥1.1W1。因此，方案1及方案2的踏板模塊被排除出本次設(shè)計策略空間。

根據(jù)設(shè)計變量的屬性，將各設(shè)計變量劃分為3 類設(shè)計需求(3 個博弈方)：功能需求(設(shè)計承重、行程高度和最大角度)、制造成本需求以及可靠性需求(設(shè)計壽命)。根據(jù)踏步機(jī)的特點，設(shè)定模塊-需求權(quán)重系數(shù)aij如表3所示。

表3 模塊-需求權(quán)重系數(shù)aijTable 3 Module-requirement weight coefficient aij

對所有的設(shè)計方案，用編號ijk表示，其中i,j,k依次為踏板模塊、運動機(jī)構(gòu)模塊和機(jī)架模塊的選擇方案編號，例如324方案表示選擇方案3的踏板模塊、方案2的運動機(jī)構(gòu)模塊以及方案4的機(jī)架模塊的設(shè)計方案。將表2變量值代入式(12)，計算得到不同設(shè)計方案時各博弈方的收益函數(shù)值，列于表4。

表4 不同設(shè)計方案對應(yīng)的各博弈方收益函數(shù)Table 4 Benefit of each player for different design scheme

以下分別通過合作博弈、非合作博弈和混合博弈等3 種模型進(jìn)行設(shè)計求解。

1) 合作博弈：根據(jù)各博弈方需求對踏步機(jī)整體的重要性，確定需求-產(chǎn)品重要性系數(shù)bj為功能需求b1=1.0，成本需求b2=1.0，可靠性需求b3=0.5,代入式(5)，有

(13)

2) 非合作博弈：由式(9)可得

F(X)=f1(X)f2(X)f3(X)

(14)

3) 混合博弈：將功能需求與可靠性需求組成博弈同盟，取功能需求與可靠性需求的需求-同盟重要性指數(shù)分別為b1=0.7和b2=0.3，由式(9，5)可得

(15)

將表4所有設(shè)計方案的各博弈方收益函數(shù)分別逐一代入式(13～15)，求出各個博弈模型的各個設(shè)計方案相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值F(Xi)，分別按其數(shù)值大小排序，取函數(shù)值最大的若干個方案作為本次設(shè)計的備選方案。本次設(shè)計結(jié)果：合作博弈和混合博弈排序前3 個設(shè)計方案完全相同，均為422，322和423，而非合作博弈排序前3 個設(shè)計方案為322,323和324。由此可見：3 種博弈方法的博弈結(jié)果是相近的，由于非合作博弈沒有考慮需求-產(chǎn)品重要性系數(shù)，因此與另2 種博弈模型結(jié)果略有差別。該設(shè)計雖然相對簡單，但在一定程度上驗證了筆者所建立方法的可行性和有效性。

4 結(jié) 論

據(jù)模塊化設(shè)計重用的博弈要求，將機(jī)電產(chǎn)品劃分為功能參數(shù)、控制參數(shù)、動力參數(shù)、成本以及可靠性等設(shè)計需求，并構(gòu)建相應(yīng)的策略空間，劃分方法具有一定的科學(xué)性和普遍性，對于模塊化設(shè)計重用，完全是合適的；提出了構(gòu)建各博弈方收益函數(shù)的基本原則，并構(gòu)建了相應(yīng)的收益函數(shù)，構(gòu)建的收益函數(shù)綜合考慮各個模塊及各個設(shè)計變量在整個產(chǎn)品中的重要性，符合產(chǎn)品設(shè)計的基本要求；從合作博弈、非合作博弈和混合博弈等3 種博弈方式出發(fā)，分別建立了相應(yīng)的設(shè)計決策模型以及統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)和求解方法。將所建立的博弈模型及求解方法用于小型健身器材的模塊化設(shè)計重用，算例結(jié)果表明：求解結(jié)果基本符合實際設(shè)計情況，具有指導(dǎo)意義，建立的博弈模型和求解方法是可行和有效的。