胡晶晶韋煜明彭華勤

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引言

傳染病作為一種常見(jiàn)病和多發(fā)病，是世界上造成死亡的第二大原因，所以傳染病的預(yù)防和控制就尤為重要，為了減少易感人群被感染的風(fēng)險(xiǎn)，隔離感染者是一種有效控制疾病傳播的方法.自Kermack和Mc Kendrick[1]提出SIR倉(cāng)室模型以來(lái)，大量的數(shù)學(xué)模型被建立并用來(lái)描述傳染病動(dòng)力學(xué)，[2-6]幫助制定有效的措施來(lái)控制傳染病的傳播，所以數(shù)學(xué)模型在流行病學(xué)研究中發(fā)揮著重要作用.近些年來(lái)各種流行病模型的提出和廣泛探索，使得疾病防治研究取得了很大進(jìn)展.魏等人[7]提出了一個(gè)具有校正隔離率的SIQS模型：

其中，S(t)為易感者在t時(shí)刻的人口數(shù)量，I(t)為t時(shí)刻染病者的人口數(shù)量，Q(t)為在t時(shí)刻已接受隔離的人口數(shù)量，參數(shù)Λ，d1，d2，d3，為正常數(shù)，δ，ε，γ，a1，a2為非負(fù)常數(shù)，Λ為人口輸入率，β為易感者與染病者的接觸率，d1為易感者的自然死亡率，d2為感染者由疾病引起的死亡率，d3是隔離者由疾病引起的死亡率，δ為感染者的隔離率，γ，ε分別是感染者與隔離者重新回到易感者的比率，表示的是不含隔離者，且依賴易感者和感染者的校正隔離率，B i(i=1，2，3，4)是獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)，代表白噪音的強(qiáng)度.魏等人討論了解沿?zé)o病平衡點(diǎn)滅絕的充分條件以及正解的平穩(wěn)分布.Cao等人[8]研究了帶有quarantine-adjusted發(fā)病率的SIQR傳染病模型，此時(shí)接觸率為，并對(duì)接觸率和種群白噪音擾動(dòng)，得到了疾病滅絕與遍歷分布的充分條件.基于以上學(xué)者的研究，本文討論了帶有Beddington-DeAngelis發(fā)生率的SIQS傳染病模型，對(duì)接觸率β白噪音擾動(dòng)，即，并假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)每個(gè)種群是線性擾動(dòng)，因此得到如下模型：

d是自然死亡率，α是因病死亡率，且，其他參數(shù)含義與模型(1)相同.

本文通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，利用It?公式，鞅的強(qiáng)大數(shù)定理等相關(guān)的隨機(jī)微分方程的知識(shí)，討論在一定條件下隨機(jī)SIQS系統(tǒng)(2)的消亡與存在遍歷性平穩(wěn)分布問(wèn)題.

1 全局正解的存在唯一性

1.1 預(yù)備知識(shí)

令(Ω，F(xiàn)，{F}t≥0，P)是完備概率空間，函數(shù)B i(t)(i=1，2，3，4)是定義在完備概率空間上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，令X(t)是d-維的Ito過(guò)程，則

令V∈C2，1(R d×[t，∞];R+)，則V(X，t)也是It?過(guò)程且定義如下：

對(duì)于系統(tǒng)(2)這樣一個(gè)隨機(jī)微分方程，我們首先考慮其解的存在唯一性.

1.2 全局正解的存在唯一性

定理1對(duì)任意初值，系統(tǒng)(2)存在唯一的全局正解(S(t)，I(t)，Q(t))，并且該解依概率1位于中，即.

證明：因?yàn)橄到y(tǒng)(2)的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件，不滿足線性增長(zhǎng)條件，則對(duì)任意初值，系統(tǒng)(2)在[0，τe)上存在唯一的局部解，τe為爆破時(shí)刻.為了證明解是全局的，我們只需證τe=∞.a.s.設(shè)η0＞0且滿足S(0)＞η0，I(0)＞η0，Q(0)＞η0，對(duì)任意η≤η0，定義停時(shí)列：

記infΦ=∞(Φ表示空集).由停時(shí)的定義知，當(dāng)η→0時(shí)，τη單調(diào)遞增.令，顯然τ0≤τe，若能證得τ0=∞.a.s.則τe=∞.a.s.故只需證明τ0=∞.a.s.現(xiàn)用反證法證明，如果τ0＜∞，則存在T＞0和ζ∈(0，1)，使得P(τ0≤T)＞ζ，因此存在一個(gè)正整數(shù)η1∈(0，η0)使得當(dāng)η∈(0，η1)時(shí)，

定義一個(gè)C2函數(shù)：

根據(jù)It?公式可得

其中

因此，

對(duì)(4)式兩邊同時(shí)從0到τη∧T積分，有

對(duì)上式取期望，則有

設(shè)Ωη={τη≤T}，則P(Ωη)≥ζ，對(duì)每個(gè)ω∈Ωη，由停時(shí)的定義可知，在S(τη，ω)，I(τη，ω)，Q(τη，ω)中至少有一個(gè)等于η，所以

由(5)可知，

所以τ0=∞.a.s.即系統(tǒng)(2)存在全局唯一正解.

2 遍歷平穩(wěn)分布

定義閾值為：

定理2令(S(t)，I(t)，Q(t))是系統(tǒng)(2)關(guān)于初值的解，如果

疾病存在遍歷性平穩(wěn)分布，即疾病持久.

這里θ1是足夠小的正常數(shù).在集合選擇足夠小的θ1滿足下面的條件：

這里M＞0，F(xiàn)是正常數(shù)，且滿足

首先給出系統(tǒng)(2)的擴(kuò)散矩陣：

由系統(tǒng)(2)和It?公式可知，

定義C2函數(shù)，

這里c1，c2是正常數(shù)，根據(jù)公式It?可知

即(14)式可寫成

且M滿足(12)式，則有，

因此，

接下來(lái)考慮下面4種情況.

情況1：如果(S，I，Q)∈D1，有

綜合(9)可得

情況2：如果(S，I，Q)∈D2，有

因此

情況3：如果(S，I，Q)∈D3，有

情況4：如果(S，I，Q)∈D4，有

結(jié)合(16)(17)(18)(19)可知，系統(tǒng)(2)存在遍歷性平穩(wěn)分布，即疾病持久.

3 疾病的消亡

流行病爆發(fā)時(shí)，不只需要研究疾病的持久性，更重要的是討論疾病在什么條件下消亡，本節(jié)主要討論系統(tǒng)(2)的消亡.

定理3如果對(duì)于任意給定的初值是系統(tǒng)(2)的解，若

證明：應(yīng)用It?公式可得

對(duì)(23)式從0到t積分得

考慮在條件(21)下，

對(duì)(26)式兩邊同除以t并令t→∞，又由(25)有

對(duì)(27)式兩邊同時(shí)取極限并除以t，由(22)(25)，則

4 數(shù)值模擬與結(jié)論

利用Euler Maruyama(EM)方法[10]和Matlab軟件數(shù)值模擬在不同白噪聲下疾病遍歷平穩(wěn)分布和消亡問(wèn)題，首先給出系統(tǒng)(2)的離散化形式：

其中ζk(k=1，2，3，…)是服從N(0，1)分布的高斯隨機(jī)變量.

考慮疾病的遍歷平穩(wěn)分布，參數(shù)取值如下：Λ=1，d=0.2，β=0.66，a1=1，a2=1，σ1=0.01，σ2=0.002，σ3=0.2，σ4=0.3，δ=0.1，α=0.01，γ=0.1，ε=0.004，

由圖1可知疾病持久，驗(yàn)證了定理2.

圖1 系統(tǒng)(2)在初值為(2.4，2.4，1.2)時(shí)S(t)，I(t)，Q(t)的軌跡圖Fig.1 The path of S(t)，I(t)，Q(t)for system(2)with initial values

考慮疾病的消亡情況，取參數(shù)如下：Λ=0.1，d=0.15，β=0.15，a1=1，a2=2，δ=0.004，α=0.25，γ=0.1，ε=0.004，σ2=0.002，σ3=0.2，σ4=0.3.

圖2 系統(tǒng)(2)在初值為(2.4，2.4，1.2)和σ1 分別為0.1(a)，0.45(b)時(shí)S(t)，I(t)，Q(t)的軌跡圖Fig.2 The path of S(t)，I(t)，Q(t)for system(2)with initial values with(2.4，2.4，1.2)

本文主要討論了Beddington-De Angelis發(fā)生率的SIQS傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為，證明了隨機(jī)系統(tǒng)(2)存在唯一的全局解，得到了基本再生數(shù)在一定條件下可控制疾病遍歷性平穩(wěn)分布和消亡，并且發(fā)現(xiàn)大的隨機(jī)白噪聲會(huì)抑制疾病的爆發(fā)，這在生物學(xué)意義上為我們提供了控制疾病的有效方法.