吳云虎

(揚州職業(yè)大學, 江蘇 揚州 225009)

在干涉實驗及其派生技術的教學和研究中,經(jīng)常需要通過理論計算或?qū)嶒灉y量法分析干涉光場分布[1]。而相關文獻和教材中干涉實驗圖樣基本是影印,特征雖明確但難以明晰其內(nèi)在變化規(guī)律[2]135-153。通過數(shù)學計算干涉圖樣耗時費力,又不易專注精力于對干涉特征和規(guī)律的探索。在實驗中若能優(yōu)化復雜繁瑣的數(shù)學計算,觀察到特征明顯的物理實驗現(xiàn)象，掌握明晰現(xiàn)象背后存在的規(guī)律,是提高物理實驗教學效率的關鍵。Wolfram公司的Mathematica軟件強大的符號運算、數(shù)值處理和圖形繪制功能,在實驗室物理模型建立和數(shù)據(jù)可視化過程中具有獨特的優(yōu)越性[3-4]。本文通過Mathematica 11數(shù)值運算使楊氏雙縫、等傾和牛頓環(huán)干涉實驗的光場分布可視化,為實驗室光學干涉的特征和規(guī)律分析提供策略與手段,實驗教學效率和實驗真似度得到有效改善。

1 Mathematica基本指令格式規(guī)范

在干涉實驗設計過程中，將實驗特征和規(guī)律可視化的指令分別整合到Manipulate交互指令模塊內(nèi)[5]263-289,便于學習者在實驗操作界面上自行調(diào)試并觀察實驗的特征和規(guī)律。因此，干涉實驗特征可視化設計和指令格式規(guī)范為

Manipulate[SliceDensityPlot3D[I(x,y,z,p1,p2,…),{x==x0},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}],{p1,pmin,pmax},{p2,pmin,pmax}…]

(a)

格式規(guī)范(a)中使用了SliceDensityPlot3D切片繪圖指令在x=x0,ymin≤y≤ymax,zmin≤z≤zmax平面區(qū)域繪制出光場強度I(x,y,z,p1,p2,…)的三維密度圖。借助Manipulate交互指令可以調(diào)試指標參數(shù)p1,p2,…,并觀察指標參數(shù)閾值下干涉實驗的光場強度分布特征。同樣干涉實驗規(guī)律可視化設計和指令格式規(guī)范為

Manipulate[Plot[Table[r(p,p1,p2,…),{p1,pmin,P1},{p2,pmin,P2}…],{p,pmin,pmax},Epilog→Table[{Inset[Row[{“p1=”,p1}],{p,r(p,p1,p2,…)}],…},{p1,pmin,P1},{p2,pmin,P2}…]],{P1,Pmin,Pmax},{P2,Pmin,Pmax}…]

(b)

格式規(guī)范(b)中使用了Plot平面繪圖指令繪制縱向數(shù)據(jù)系列為r(p,p1,p2,…),橫向數(shù)據(jù)系列為p的數(shù)據(jù)線。指標參數(shù)p1,p2,…閾值不同情況采用不同數(shù)據(jù)線繪制在同一繪圖區(qū)內(nèi),并對數(shù)據(jù)線的指標參數(shù)閾值采用數(shù)據(jù)標注以示區(qū)分,采用Inset插圖指令在(p,r(p,p1,p2,…))處標注出p1名稱和數(shù)值。借助Manipulate交互方式調(diào)試P1,P2,…可以控制指標參數(shù)p1,p2,…上限范圍,并能夠觀察到在更寬廣指標參數(shù)閾值區(qū)間內(nèi)干涉實驗的光場變化規(guī)律(主要觀察對象為明暗條紋)。在干涉實驗光場分布特征和變化規(guī)律的圖形可視化過程中,配合使用繪圖附屬的增強效果選項,如邊框樣式、坐標軸樣式、繪圖樣式等設置,就可以設計出更加美觀規(guī)范的圖形界面,所用規(guī)范可參考Mathematica軟件指導手冊[6]。

2 楊氏雙縫干涉實驗

圖1 雙縫干涉實驗指標參數(shù)及光場分布特征

(1)

各級明紋或暗紋與屏中心O距離

z=z(d,D,λ,k)

(2)

S1和S2相干光場強度[2]88-91

(3)

將計算出來的I(z,d,D,λ)和z(d,D,λ,k)分別代入格式規(guī)范(a)和(b)。設I0為1,選取雙縫間距d=0.0004～0.0006m,屏縫距離D=1.0～2.0m(特征量:1.0m,1.5m,2.0m),相干光波長λ=410～660nm(特征量:457nm,589.3nm,632.8nm)為參數(shù)指標,如圖1所示調(diào)試I(z,d,D,λ)中參數(shù)指標數(shù)值,在Z軸z=-0.01～0.01m范圍內(nèi)可以觀察到干涉條紋分布均勻,相鄰明紋或暗紋間距相等的基本特征。圖2選取衍射級數(shù)k=0～3,對條紋中心距離z(d,D,λ,k)數(shù)據(jù)線進行觀察分析,可以明確獲知z(d,D,λ,k)對d、D、λ及級數(shù)k之間的數(shù)學比例關系。

圖2 雙縫干涉實驗條紋中心距離z(d,D,λ,k)的變化規(guī)律

3 等傾干涉實驗

實驗室中普通單色光λ以入射角i進入厚度為d,折射率為n(空氣折射率n1

圖3 等傾干涉實驗指標參數(shù)及光場分布特征

相干平行光的光程差(上表面有半波損失)、明紋及暗紋干涉級數(shù)為

(4)

(5)

以薄膜法向為會聚透鏡主光軸(X軸)方向,由式(4)推導出干涉級數(shù)為k的條紋在焦平面上中心距離

r(k)=ftani

(6)

相干光場強度

(7)

將計算出來的I(y,z)代入格式規(guī)范(a),r(k)和r(k+1)-r(k)分別代入格式規(guī)范(b)。設I0為1,選取透鏡焦距f=0.60m、相干光波長λ=632.8nm,薄膜介質(zhì)ZnS折射率n=2.4,空氣折射率n1=1,薄膜厚度d=0.0004m為參數(shù)指標,如圖3所示在y=-0.2～0.2m,z=-0.2～0.2m范圍內(nèi)可以觀察到干涉條紋間距r(k+1)-r(k)分布不均勻,呈現(xiàn)中心疏,邊緣密的基本特征。觀察分析圖4等傾干涉r(k)數(shù)據(jù)線。

(a)條紋中心距離r(k)與級數(shù)k的關系

(b)相鄰條紋間距r(k+1)-r(k)與級數(shù)k的關系圖4 等傾干涉實驗條紋中心距離、相鄰條紋間距的變化規(guī)律

條紋中心距離r(k)隨級數(shù)k增加而非線性遞減。焦平面上干涉級數(shù)中心高,邊緣低;對等傾干涉r(k+1)-r(k)數(shù)據(jù)線觀察分析可知,相鄰條紋間距r(k+1)-r(k)變化存在拐點k0,中心級到k0區(qū)間快速遞減,k0外側(cè)區(qū)間緩慢遞增。

4 牛頓環(huán)等厚干涉實驗

實驗室中普通單色光λ垂直照射放置在平板玻璃上曲率半徑為R平凸透鏡,在透鏡下方空氣膜層上下表面反射形成相干光,如圖5所示。兩束相干光光程差(下表面有半波損失)、明紋和暗紋干涉級數(shù)為

圖5 等厚干涉實驗指標參數(shù)及光場分布特征

(8)

從中心向邊緣區(qū)域(Y-Z平面)光程差δ每增加λ/2,就依次出現(xiàn)明或暗的條紋。根據(jù)幾何關系計算出k級條紋中心距離

r(k)=r(R,λ,k)

(9)

相干光場強度

(10)

將計算出來的I(y,z,R,λ)代入格式規(guī)范(a),r(R,λ,k)和r2(R,λ,k+m)-r2(R,λ,k)分別代入格式規(guī)范(b)。設I0為1,選取透鏡曲率半徑R=0.8～1.6m,相干光波長λ的457nm,589.3nm,632.8nm為參數(shù)指標,如圖5所示調(diào)試參數(shù)可以在y=-0.003～0.003m,z=-0.003～0.003m范圍內(nèi)觀察到干涉條紋分布不均勻,呈現(xiàn)中心疏,邊緣密,在空氣膜厚度相等處形成同級干涉條紋,中心處為暗斑的基本特征。

對圖6等厚干涉r(R,λ,k)數(shù)據(jù)線觀察分析可知,從中心0級暗紋向邊緣區(qū)域干涉級數(shù)k增加。條紋中心距離r(R,λ,k)分別隨干涉級數(shù)k或曲率半徑R增加減速遞增;對等厚干涉r2(R,λ,k+m)-r2(R,λ,k)數(shù)據(jù)線觀察分析可知,級差為m的兩級干涉條紋中心距離的平方差r2(R,λ,k+m)-r2(R,λ,k)分別與級差m和半徑R成正比,這也是牛頓環(huán)干涉實驗測量的理論基礎[7]60-65。

(a)條紋中心距離r與透鏡曲率半徑R、級數(shù)k的關系

(b)兩級干涉條紋中心距離平方差與透鏡曲率半徑R、級數(shù)k、級差m的關系圖6 等厚干涉實驗條紋中心距離、具有級差的兩級干涉條紋中心距離平方差的變化規(guī)律

5 結果與討論

基于幾何光學計算出楊氏雙縫、等傾和牛頓環(huán)干涉實驗光場分布，使用Mathematica軟件圖形指令進行可視化仿真。在仿真界面上依次調(diào)試光場分布解析式中的參數(shù)值可以觀察到不同閾值條件下光場強度分布的特征。本文在實驗中還進一步使用數(shù)據(jù)線方式可視化了光場分布與指標參數(shù)的連續(xù)性關系。實踐表明,該方法在干涉實驗教學中能夠做到使學生深刻認識光場分布的特征并系統(tǒng)掌握光場分布的內(nèi)在規(guī)律,提高了教學效率。