谷 松，李軍瑤，陳善搏

(1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100039； 3.長(zhǎng)光衛(wèi)星技術(shù)有限公司，長(zhǎng)春 130013)

小衛(wèi)星發(fā)射成本占總成本的30%～40%，發(fā)射費(fèi)用需要每千克2萬～4萬美元。為有效控制成本，設(shè)計(jì)者需要嚴(yán)格控制小衛(wèi)星體積和質(zhì)量，特別是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量[1-4]。目前，常用的結(jié)構(gòu)優(yōu)化包括拓?fù)鋬?yōu)化、形狀優(yōu)化、尺寸優(yōu)化和材料優(yōu)化。楊德慶等[5]采用二次規(guī)劃方法對(duì)衛(wèi)星肼瓶支架截面尺寸進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)；鄭侃等[6]提出了一種新型的近似模型管理框架對(duì)衛(wèi)星主承力結(jié)構(gòu)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)；譚陸洋等[7]優(yōu)化了蜂窩夾層板鋪層方式；陳婧等[8]利用Nastran軟件對(duì)衛(wèi)星尺寸和材料進(jìn)行了優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化。

與一般優(yōu)化方式不同的是Naoko等[9]通過研究有孔蟲形態(tài)，提出一種空間系統(tǒng)多面體模塊構(gòu)型和相應(yīng)的幾何裝配規(guī)則，通過折疊天線極大降低了結(jié)構(gòu)質(zhì)量和占用體積。日本成功部署的JAXA 發(fā)射工程測(cè)試衛(wèi)星( ETS-VIII)和射電天文衛(wèi)星( ASTRO-G)同樣基于這種多面體模塊化結(jié)構(gòu)思想。

充分利用材料的性能優(yōu)化構(gòu)型也可以實(shí)現(xiàn)輕量化的效果。為了縮短研發(fā)周期，本文同樣采用仿生設(shè)計(jì)的方法對(duì)衛(wèi)星構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化。在自然界中，深海浮游生物與衛(wèi)星有許多相似之處。首先，在深海環(huán)境中浮力與重力相互抵消，和衛(wèi)星幾乎不受重力在力學(xué)條件上相似；其次，浮游生物從深海到淺海重力緩釋過程與衛(wèi)星從地面發(fā)射到外太空也有異曲同工之處；最后，就形態(tài)而言，從自由邊界的角度看，浮游生物運(yùn)動(dòng)形態(tài)和衛(wèi)星太陽能帆板展開上是一樣的。因此浮生生物的形態(tài)對(duì)衛(wèi)星構(gòu)型優(yōu)化具有參考價(jià)值。

在所有浮游生物中，海月水母呈鐘形，內(nèi)部空間空闊且比表面積較大，封閉造型有利于節(jié)省物料降低質(zhì)量，形態(tài)多變，可重復(fù)設(shè)計(jì)性強(qiáng)。本文通過研究海月水母的自然形態(tài)并提取其數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)出適用于衛(wèi)星的可重復(fù)性輕巧構(gòu)型，以滿足衛(wèi)星結(jié)構(gòu)輕量化日益增長(zhǎng)的需求。

1 形態(tài)仿生設(shè)計(jì)

形態(tài)仿生設(shè)計(jì)是以自然中的素材為基礎(chǔ)，通過研究自然形態(tài)的特征、特點(diǎn)，對(duì)自然形態(tài)的整體或局部運(yùn)用提煉、夸張、減弱、變化、歸納等手法，使造型脫離自然形態(tài)，最終應(yīng)用到產(chǎn)品設(shè)計(jì)當(dāng)中[10]。本文對(duì)衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)就是通過分析生物形態(tài)的合理性和穩(wěn)定性，依據(jù)生物形態(tài)改變衛(wèi)星的構(gòu)型實(shí)現(xiàn)仿生設(shè)計(jì)。

1.1 數(shù)學(xué)模型

海月水母體為圓盤狀，無色透明，直徑為10～40 cm，身體中水的含量達(dá)98%，水母體由外傘、內(nèi)傘、口腕和胃囊4部分組成[11]。海月水母構(gòu)型具有質(zhì)量輕、體積小的優(yōu)點(diǎn)[12]。本文僅考慮水母外形，以外傘作為研究對(duì)象，建立數(shù)學(xué)模型。

圖1 海月水母的生長(zhǎng)模型圖

為驗(yàn)證該數(shù)學(xué)模型的合理性，設(shè)置合理參數(shù)，對(duì)比生長(zhǎng)模型和實(shí)物。圖2為模型結(jié)果和海月水母實(shí)物圖片對(duì)比。以下為參數(shù)設(shè)置：圖2d中θ=95°，h=400，r=800；圖2e中θ=90°，h=600，r=800；圖2f中θ=130°，h=400，r=800。

圖2 海月水母(a、b、c)和數(shù)學(xué)模型(d、e、f)對(duì)比圖

可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)了與水母形態(tài)相似的生長(zhǎng)形式，可用此數(shù)學(xué)模型進(jìn)行下一步研究。為保證衛(wèi)星底部有足夠安裝面積，一般取θ=90°進(jìn)行設(shè)計(jì)。

1.2 理論分析

應(yīng)用曲面結(jié)構(gòu)主要考慮結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和基礎(chǔ)頻率。薄殼失穩(wěn)全分析過程描述需要用動(dòng)力學(xué)方程。動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

先利用靜力學(xué)方法求解載荷與變位之間的關(guān)系，可描述為

[K]{δ}={P}

(2)

式(2)中，[K]為幾何系統(tǒng)的剛度矩陣，{δ}為位移向量，{P}為激勵(lì)載荷向量。在靜力學(xué)描述的基礎(chǔ)上考慮振動(dòng)效果，各平衡位置上加設(shè)幅值很小的振動(dòng)，求解方程為

(3)

振動(dòng)過程中系統(tǒng)為無阻尼振動(dòng)，阻尼矩陣[C]為零矩陣。瞬時(shí)平衡位置的自由振動(dòng)方程和特征方程式

(4)

式(4)中ω為系統(tǒng)的特征值，其余各矩陣代表含義與上同。經(jīng)過正交變換后可得在整體坐標(biāo)系下表達(dá)式為

(5)

[M]=[M0]+[Mp]

(6)

式(6)中[M0]為系統(tǒng)原本的質(zhì)量矩陣，[Mp]為瞬時(shí)動(dòng)載作用等效的質(zhì)量矩陣。系統(tǒng)總合成質(zhì)量矩陣隨著動(dòng)載大小方向變化而變化。當(dāng)動(dòng)載荷加速度量級(jí)不斷增大，瞬時(shí)動(dòng)載等效質(zhì)量矩陣越大。將疊加后的質(zhì)量矩陣代入原系統(tǒng)中得到

(7)

質(zhì)量矩陣的變化表征為外加載重的增加，也可以看作是系統(tǒng)本身質(zhì)量的缺失。剛度矩陣[Kω]中與之對(duì)應(yīng)的值也隨之降低，即剛度矩陣[Kω]對(duì)角元素中一些值不斷降低，甚至趨于零。

根據(jù)公式(1)～(7)表征結(jié)果，認(rèn)為在動(dòng)載作用下影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的主要原因有兩個(gè)：一是隨著系統(tǒng)剛度下降和過載的增加，系統(tǒng)內(nèi)部附加質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)造成的破壞;二是由于剛度下降導(dǎo)致系統(tǒng)的基礎(chǔ)頻率也隨之下降，系統(tǒng)和外部激勵(lì)間產(chǎn)生共振而產(chǎn)生破壞。

表征結(jié)構(gòu)的初始穩(wěn)定性一般使用結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)頻率來說明，結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)頻率通過動(dòng)力學(xué)方程可以得到

fn=ωl/2π,{ωl}=([K]/[M])1/2

(8)

式(8)中ωl為圓頻率，[K]為結(jié)構(gòu)剛度矩陣，[M]為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣。

依據(jù)虛功原理推出剛度方程為

(9)

式(9)中[B]為單元應(yīng)變矩陣，[D]為材料相關(guān)的彈性矩陣。結(jié)構(gòu)性能主要受剛度影響，而剛度則與質(zhì)量分布有關(guān)。本文使用曲面結(jié)構(gòu)以期望通過改變動(dòng)載傳遞路徑和效果，達(dá)到充分利用材料性能的目的。依靠平滑的過渡方式，減少了局部缺陷的產(chǎn)生，減少斷點(diǎn)與連接。

圖3是將曲面結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成曲線，并將曲線利用有限元的方法，用兩根二力桿來近似代替。載荷在傳遞的過程中，距離受力點(diǎn)越遠(yuǎn)的地方，二力桿與水平方向夾角越小，載荷分解后垂直于桿的力越小，產(chǎn)生的力矩減小使得桿垂直方向的應(yīng)變減小。通過分化變形效果，充分利用材料的抗壓和抗彎的能力來減小整體變形量。

圖3 曲面結(jié)構(gòu)受力分析圖

在彈性系統(tǒng)中，衡量一個(gè)系統(tǒng)的剛度可以用

[K]={F}/[δ][K]={F}/[δ]

(10)

式(10)中[K]為系統(tǒng)剛度矩陣，{F}為外載荷，[δ]為系統(tǒng)變形量矩陣。同等載荷作用下變形量變小，說明改變構(gòu)型加強(qiáng)了結(jié)構(gòu)的剛度。依據(jù)這個(gè)原理，將衛(wèi)星構(gòu)型仿照水母形態(tài)設(shè)計(jì)成橢球薄殼構(gòu)型，以更好的穩(wěn)定性和封閉造型減少其他冗余設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)輕量化。

2 算例驗(yàn)證

2.1 布局分析

某光學(xué)小衛(wèi)星的主載荷是同軸三反光學(xué)相機(jī)。推進(jìn)系統(tǒng)位于星體上端，衛(wèi)星帆板使用薄膜式柔性太陽翼[13]緊貼殼體。相機(jī)和推進(jìn)系統(tǒng)通過3個(gè)埋件與主結(jié)構(gòu)連接，星敏和陀螺儀安裝在相機(jī)主背板上。殼體使用厚度為1 mm、型號(hào)為T700的碳纖維材料，底部承力結(jié)構(gòu)使用厚20 mm的蜂窩板，綜合電箱、蓄電池和相控陣天線等單機(jī)與蜂窩底板直接相連。整星布局和構(gòu)型圖如圖4所示，整星初始質(zhì)量分配如表1所示，表1中結(jié)構(gòu)質(zhì)量包括殼體、底板和部分主要支架質(zhì)量，天線支架和帆板結(jié)構(gòu)質(zhì)量未包含在內(nèi)。

圖4 布局圖和構(gòu)型圖

表1 衛(wèi)星初始質(zhì)量分配

2.2 強(qiáng)度校核

根據(jù)火箭所給載荷條件和安全裕度，要求縱向過載系數(shù)取10 g,橫向過載系數(shù)取2 g,安全裕度大于0.25。結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度校核是驗(yàn)證在橫向和縱向的組合工況作用下，結(jié)構(gòu)的安全裕度值是否滿足要求。用有限元軟件計(jì)算的結(jié)果如圖5所示。

分析結(jié)果顯示，組合工況下整星應(yīng)力最大值出現(xiàn)在上殼與中殼連接處，最大應(yīng)力值為89.9 MPa。殼體采用T700材料，鋪層方式為0°、±45°、±90°標(biāo)準(zhǔn)鋪層，根據(jù)蔡希強(qiáng)度準(zhǔn)則得到材料的破壞應(yīng)力為328 MPa。安全系數(shù)按照局部安全系數(shù)取1.8，該結(jié)構(gòu)安全裕度計(jì)算結(jié)果如表2所示。

圖5 最大應(yīng)力計(jì)算結(jié)果圖

表2 整星安全裕度計(jì)算

由表2計(jì)算結(jié)果可知，結(jié)構(gòu)的安全裕度滿足設(shè)計(jì)和使用要求，并可進(jìn)一步優(yōu)化。

2.3 靈敏度分析與迭代優(yōu)化

靈敏度分析[14]是結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化過程中的重要步驟，其結(jié)果大小直接決定了結(jié)構(gòu)優(yōu)化的方向和優(yōu)化參數(shù)的取值。結(jié)構(gòu)的固有頻率與其彈性模量及構(gòu)型有關(guān)，可利用結(jié)構(gòu)振動(dòng)固有頻率的靈敏度來指導(dǎo)構(gòu)型參數(shù)選取。結(jié)構(gòu)無阻尼特征方程為

([K]-ω2[M])δ=0

(11)

式(11)中[M]為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣,[K]為結(jié)構(gòu)剛度矩陣,ω為固有頻率,δ為模態(tài)向量。

設(shè)計(jì)變量為各殼厚度ti，先看圓頻率對(duì)厚度的敏感程度，則將特征方程對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行求偏導(dǎo)計(jì)算，表示式為

(?K/?ti)δ+K(?δ/?ti)-(?ω2/?ti)Mδ-(?M/?ti)ω2δ-ω2M(?δ/?ti)=0

(12)

可得圓頻率與厚度的關(guān)系為

?ω2/?ti=((δT(?K/?ti)δ)-(ω2δT(?M/?ti)δ))/δTMδ

(13)

最終得到頻率的靈敏度方程為

?f/?ti=δT/8π2(?K/?ti)δ-fδT/2(?M/?ti)δ

(14)

靈敏度分析的目的是降低對(duì)基頻靈敏度低的殼體厚度，以降低結(jié)構(gòu)質(zhì)量實(shí)現(xiàn)輕量化。本文利用有限元軟件對(duì)結(jié)構(gòu)殼體厚度進(jìn)行靈敏度計(jì)算，結(jié)構(gòu)的殼體初始厚度為1 mm，分別分析三段殼體減少0.1 mm時(shí)，計(jì)算整星的一階頻率。得到的分析數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 整星各向頻率與殼體厚度關(guān)系

由表1可知三段殼的殼體厚度都對(duì)頻率影響不大，說明該構(gòu)型具有很好的穩(wěn)定性。為減少迭代次數(shù)，現(xiàn)同時(shí)降低三段殼體厚度并取同等厚度進(jìn)行輕量化。以橫向一階頻率不低于35 Hz為設(shè)計(jì)目標(biāo)進(jìn)行迭代，初始整星質(zhì)量51.4 kg，結(jié)構(gòu)質(zhì)量和質(zhì)量占比計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 迭代優(yōu)化后質(zhì)量占比變化

結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與材料的分布情況密切相關(guān)，在衛(wèi)星設(shè)計(jì)過程中，應(yīng)當(dāng)靈活考慮有效載荷的需求，對(duì)衛(wèi)星結(jié)構(gòu)做出合理的改變?？紤]衛(wèi)星一體化設(shè)計(jì)差異，難以與其他衛(wèi)星形成有效對(duì)比體現(xiàn)特性，所以選用普遍的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)質(zhì)量占比來衡量該結(jié)構(gòu)的輕量化程度。根據(jù)國(guó)外對(duì)部分衛(wèi)星的質(zhì)量占比統(tǒng)計(jì)結(jié)果[15-16]，衛(wèi)星結(jié)構(gòu)質(zhì)量占比為22%～29%，而通過各種先進(jìn)技術(shù)和先進(jìn)材料的選用，目前能做到較小的結(jié)構(gòu)質(zhì)量占比為7%，未考慮帆板結(jié)構(gòu)質(zhì)量和天線支架質(zhì)量的情況下，仿水母結(jié)構(gòu)質(zhì)量占比為4.9%，說明通過仿水母構(gòu)型優(yōu)化能夠?qū)崿F(xiàn)衛(wèi)星的輕量化。

3 結(jié)論

每種小衛(wèi)星有其各自需求和特點(diǎn)，可根據(jù)不同小衛(wèi)星有效載荷需求靈活設(shè)計(jì)衛(wèi)星構(gòu)型，通過構(gòu)型優(yōu)化的方式實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化，降低結(jié)構(gòu)質(zhì)量占比。從衛(wèi)星的失穩(wěn)原因和基礎(chǔ)頻率來看，結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布很大程度決定了結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。本文提出利用曲面結(jié)構(gòu)代替直板結(jié)構(gòu)，繼承承力筒式和箱板式的部分特點(diǎn)，仿水母形態(tài)設(shè)計(jì)了橢球薄殼結(jié)構(gòu)作為主構(gòu)型，以封閉構(gòu)型提高材料使用效率。構(gòu)型靈敏度分析結(jié)果顯示該構(gòu)型穩(wěn)定性良好，對(duì)于殼體厚度變化不太敏感。以整星一階頻率不低于35 Hz為優(yōu)化目標(biāo)，得到最優(yōu)厚度為0.1 mm，此時(shí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量占比為4.9%，說明通過構(gòu)型優(yōu)化的方式能有效的實(shí)現(xiàn)輕量化。