郭住財(cái)

摘要：章節(jié)復(fù)習(xí)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，一線教師應(yīng)注重結(jié)合教學(xué)實(shí)際不斷探索和總結(jié)有效的復(fù)習(xí)策略，本文以華師大版《二次函數(shù)》為例簡(jiǎn)要探討了初三數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)的兩點(diǎn)基本策略，即梳理重點(diǎn)知識(shí)，細(xì)化知識(shí)結(jié)構(gòu);綜合習(xí)題演練，突出數(shù)形結(jié)合，觀點(diǎn)主要來(lái)自于作者自身的教學(xué)實(shí)踐及思考，望能帶給大家一些教學(xué)上的幫助。

關(guān)鍵詞：章節(jié)復(fù)習(xí);初中數(shù)學(xué);二次函數(shù);基本策略;教學(xué)思考

眾所周知，章節(jié)復(fù)習(xí)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，其作用和意義主要在于，引導(dǎo)和幫助學(xué)生串聯(lián)起平時(shí)所學(xué)的相對(duì)零散的知識(shí)，構(gòu)建合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，同時(shí)對(duì)重要知識(shí)加以強(qiáng)化，查漏補(bǔ)缺的同時(shí)促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)內(nèi)化過(guò)程。某種意義上說(shuō)，章節(jié)復(fù)習(xí)不僅僅是單純復(fù)習(xí)，而是一種知識(shí)再創(chuàng)造和融會(huì)貫通的過(guò)程。以下擬結(jié)合筆者教學(xué)實(shí)踐及體會(huì)，以華師大版《二次函數(shù)》一章為例談一些個(gè)人看法，冀對(duì)相關(guān)教學(xué)工作者有所助益。

一、梳理重點(diǎn)知識(shí)，細(xì)化知識(shí)結(jié)構(gòu)

以下是筆者與學(xué)生一起梳理的二次函數(shù)一章的知識(shí)重點(diǎn)：

1、二次函數(shù)的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式的三種基本形式（一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式）。

2、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，如下表：

二次函數(shù) y=ax2+bx+c y=a（x-h）2+k

開口 a>0開口向上 a>0開口向上

方向 a<0開口向下 a<0開口向下

對(duì)稱軸 x=- x=h

頂點(diǎn)坐標(biāo) （-b/2a，（4ac-b2）/4a） （h，k）

最值 a>0時(shí)，y最小=（4ac-b2）/4a

a<0時(shí)，y最大=（4ac-b2）/4a a>0時(shí)，y最小=k

a<0時(shí)，y最大=k

單調(diào)性 a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊遞減，右邊遞增;a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊遞增，右邊遞減 a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊遞減，右邊遞增;a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊遞增，右邊遞減

3、二次函數(shù)圖像的平移：

任意拋物線y=a（x-h）2+k可以由拋物線y=ax2經(jīng)過(guò)平移得到（注意“上加下減”和“左加右減”）。

4、二次函數(shù)表達(dá)式的求法：

一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）：若已知條件是圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0），將已知條件代入，求出a，b，c的值。頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0）：若已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值或最小值，則設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0），將已知條件代入，求出待定系數(shù)的值，最后將解析式化為一般式。交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）：若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，則設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），將第三點(diǎn)的坐標(biāo)或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)a的值，最后將解析式化為一般式。

5、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時(shí)自變量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。ax2+bx+c=0根的個(gè)數(shù)、判別式符號(hào)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相對(duì)應(yīng)，具體如下表所示：

y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn) ax2+bx+c=0的根的情況 ax2+bx+c=0的根的判別式情況

2個(gè) 有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根 b2-4ac>0

1個(gè) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 b2-4ac=0

0個(gè) 無(wú)實(shí)數(shù)根 b2-4ac<0

6、二次函數(shù)的應(yīng)用：

二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下兩個(gè)方面：用二次函數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題變量之間的關(guān)系，解決最大化問(wèn)題（即最值問(wèn)題）;利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根及一元二次不等式的解集。一般步驟為：找出問(wèn)題中的變量和常量以及它們之間的函數(shù)關(guān)系;列出函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍;利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題;檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，是否符合實(shí)際意義。

二、綜合習(xí)題演練，突出數(shù)形結(jié)合

在章節(jié)復(fù)習(xí)中，習(xí)題演練亦占有重要地位，目的是讓學(xué)生及時(shí)鞏固并鍛煉知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。筆者認(rèn)為，除了教材中章節(jié)小結(jié)之后的復(fù)習(xí)題外，教師還應(yīng)適當(dāng)引入一些較為典型的二次函數(shù)綜合題，并在題目講練中注重突出數(shù)形結(jié)合思想。這是因?yàn)槎魏瘮?shù)是比較容易與其他知識(shí)結(jié)合的知識(shí)板塊，從近年的中考試題來(lái)看，二次函數(shù)綜合題亦占據(jù)相當(dāng)重要的地位，是理念的重點(diǎn)題型之一。而對(duì)于這類題目來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于順利解題往往起著關(guān)鍵性作用，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像規(guī)律性較強(qiáng)，又與方程、不等式等代數(shù)知識(shí)有著緊密聯(lián)系，且包含幾何元素的二次函數(shù)綜合題亦為近些年所常見(jiàn)。

下面是一道較典型的習(xí)題：

已知在平面直角坐標(biāo)系x-O-y中，直線y=kx與二次函數(shù)y=ax2-（a+1）x的一個(gè)交點(diǎn)為A（4，8），試解答以下三問(wèn)：①求出該直線和二次函數(shù)的解析式;②若點(diǎn)P為線段OA上一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)做y軸的平行線交本題中二次函數(shù)于點(diǎn)Q，則線段PQ的最大長(zhǎng)度為多少？③設(shè)本題中二次函數(shù)的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)N為二次函數(shù)上一點(diǎn)，若使四邊形AOMN為梯形，則點(diǎn)N的坐標(biāo)及梯形AOMN的面積分別是多少？

解析：首先要說(shuō)的是本題的原題是沒(méi)有給出圖形的，需要學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線和二次函數(shù)的圖像，并根據(jù)題意標(biāo)出重要的點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分析和解答。前兩位問(wèn)題很簡(jiǎn)單，在此從略。第三問(wèn)的大體解答過(guò)程如下：從第一問(wèn)求出的二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2-2x可知頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1），過(guò)點(diǎn)M作直線OA的平行線交二次函數(shù)于點(diǎn)N，如下圖所示，四邊形AOMN為梯形，直線MN可看作是由直線OA向下平移b個(gè)單位得到，由此可得直線MN的方程為y=2x-b，將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入此方程得到b=3，故直線MN的方程為y=2x-3。將此式與二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=x2-2x聯(lián)立可得x1=1，x2=3。據(jù)此易知MN與二次函數(shù)的交點(diǎn)N的坐標(biāo)（3，3）。如圖，分別過(guò)點(diǎn)M、N作y軸的平行線交直線OA于G、H，四邊形MNHG顯然為平行四邊形，據(jù)此可得到G、H兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，2）和（3，6）。由圖可知，所求梯形面積等于△OMG、△ANH與口MNHG的面積之和。求三者面積所需的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)都已有了，根據(jù)面積公式分別求出其面積然后相加即可得到最后答案。

該題綜合考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)與一些相關(guān)幾何知識(shí)，屬于比較典型的二次函數(shù)綜合題。其新穎點(diǎn)在于，以二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像相交形成的圖形框架為載體巧妙融合進(jìn)幾何知識(shí)，而原題并不給出圖形，需要學(xué)生自主畫圖，并挖掘題目中的隱含信息進(jìn)而善加利用，值得體會(huì)和借鑒。

綜上所述，本文以華師大版《二次函數(shù)》為例簡(jiǎn)要探討了初三數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)的兩點(diǎn)基本策略，即梳理重點(diǎn)知識(shí)，細(xì)化知識(shí)結(jié)構(gòu);綜合習(xí)題演練，突出數(shù)形結(jié)合。鑒于章節(jié)復(fù)習(xí)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要意義，一線教師應(yīng)注重結(jié)合教學(xué)實(shí)際不斷探索和總結(jié)有效的復(fù)習(xí)策略，本文觀點(diǎn)即主要來(lái)自于筆者自身的教學(xué)實(shí)踐及思考，拋磚引玉，尚盼廣大同仁多所交流。

參考文獻(xiàn)：

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[2]丁旭東.讓初中數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)課也生機(jī)盎然[J].科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2016，（11）：72.