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變截面波形鋼腹板箱梁剪應力計算理論

2019-05-09 07:07黃鈺豪
關鍵詞:剪應力軸力腹板

劉 超, 黃鈺豪, 高 展

(同濟大學 土木工程學院, 上海 200092)

波形鋼腹板橋梁是一種新型的組合結構橋梁,波形鋼質量輕、抗剪性能優(yōu)良,利用波形鋼腹板替代混凝土腹板[1],可以降低工程造價,同時波形鋼腹板的褶皺效應也提高了預應力的效率[2].目前中國很多大橋和特大橋都采用波形鋼腹板形式,如南昌朝陽大橋、山西運寶大橋等.然而,由于橋梁結構形式較為復雜,腹板和頂、底板的受力特性尚未被研究透徹.國內外學者對波形鋼腹板截面抗剪做了許多研究.在剪力分配方面,Abbas等[3]和Cafolla[4]通過試驗發(fā)現,混凝土頂、底板主要承擔截面彎矩,波形鋼腹板主要承擔截面剪力.李立峰等[5]認為,波形鋼腹板承擔剪力在80%以上.侯立超等[6]進行了單箱三室波形鋼腹板預應力混凝土箱梁靜力試驗研究,得出了單箱三室波形鋼腹板剪力分配特點.周緒紅等[7]和聶建國等[8]通過試驗對比,分別給出了考慮局部屈曲強度的半經驗半理論式.Driver等[9]通過波形鋼腹板I形梁的局部屈曲和整體屈曲試驗數據分析發(fā)現,基于板殼屈曲的理論高估了波形鋼腹板梁橋的抗剪承載力,并提出了一種低邊界的抗剪承載力計算式.在不考慮腹板屈曲的情況下,蘇儉等[10]推導了變截面波形鋼腹板豎向剪應力和水平剪力的實用計算方法,并以南京滁河大橋為例,進行了有限元模型計算分析,驗證了計算方法的正確性.現有的計算方法主要有以下三種:① 將截面總剪力除以波形鋼腹板面積得到剪應力[11-12],中國和日本的規(guī)范均采用這種方法進行計算,但該方法忽略了頂、底板的承剪比例,認為剪力僅由波形鋼腹板承擔,對于鋼腹板來說偏保守,對于混凝土頂、底板來說偏不安全;② 利用傳統(tǒng)的計算截面靜矩的方法來計算剪應力[13],該方法僅僅考慮由剪力產生的剪應力,而忽略了彎矩和軸力產生的剪應力,對于等截面橋梁來說是合適的,但對于變截面橋梁來說準確性不足;③ 在方法②的基礎上,同時考慮彎矩和軸力產生的剪應力[10,14],該方法計算結果較為準確,但目前尚未推廣至單箱多室和變寬橋梁的計算.隨著波形鋼腹板橋梁的跨徑越做越大,單箱多室與變寬橋梁越來越常見.因此,針對單箱多室波形鋼腹板變寬變高截面剪應力計算理論的空白,以及目前規(guī)范中計算方法的不足,提出了一種變寬變高波形鋼腹板截面剪應力計算理論,認為剪力、彎矩和軸力均會產生剪應力,并且后兩者僅在變截面時產生剪應力.結合有限元分析,給出了頂、底板和腹板的剪力分配比例,為波形鋼腹板橋梁抗剪設計提供借鑒.

1 剪應力計算方法

1.1 計算基本假定

根據波形鋼腹板截面的受力特點,給出如下計算基本假定:① 在計算的整個過程中,變形前后截面始終保持平面或近似平面,平截面假定始終成立;② 鋼和混凝土為各向同性材料,均處于線彈性受力階段,在計算過程中結構始終處于彈性階段,尚未進入塑形,所有變形均為小變形;③ 波形鋼腹板不承受軸力,軸力全由混凝土頂、底板承擔,而且由于波形鋼腹板厚度較小,不考慮彎矩對其造成的軸向應力;④ 不考慮波形鋼腹板和頂、底板的軸向滑移; ⑤ 計算時不考慮畸變和扭轉影響.

1.2 波形鋼腹板變截面計算理論

圖1a為一般波形鋼腹板箱梁截面圖.箱梁腹板數為n,上頂板寬度為b1,厚度為t1,下頂板寬度為b2,厚度為t2,箱梁截面高度為h,形心距上頂板距離為yc,任意高度處截面距上頂板距離為y0,坐標軸原點取在上頂板左上角,向右為z軸正方向,向下為y軸正方向.圖1b為距上頂板距離y0處截取的箱梁截面微元圖,沿橋軸向長度為dx,左截面受到的軸向合力為F,右截面受到的軸向合力為F+dF,y0處斷面存在的剪應力為τ,由于微元長度很小,因此可以認為在dx長度內,剪應力大小不變,均為τ.化簡軸向平衡方程后有

(1)

式中:b(y)為y高度處截面總寬度.

根據剪應力互等定理,式(1)所求剪應力τ與截面剪應力相等,所以由式(1)所求得的τ即可代表截面剪應力.在圖1b中,軸向合力F可以看成是軸向力FN和由彎矩產生的彎曲軸向力FM的線性疊加,即:

F=FN+FM

(2)

(3)

(4)

式中:N為截面上軸力;M為截面上彎矩;σyN為軸力在截面上產生的正應力;σyM為彎矩在截面上產生的正應力;Ay0為坐標0~y0截面總面積;A為截面總面積;I為截面慣性矩.

a 波形鋼腹板箱梁截面

b 截面微元區(qū)段

對于式(4),可作如下變化:

(5)

式中:y*為坐標0~y0截面形心坐標;Sy0為坐標0~y0截面的靜矩.

將式(3)~(5)代入式(2),可得

(6)

截取全截面軸向的一段小微元,如圖2所示.圖2中,q為外荷載,α為軸線與水平線的夾角,Q為剪力.對右截面軸線處取距,由力矩平衡可知

(7)

(8)

將式(6)代入式(1),結合式(8),有

圖2 軸向微元區(qū)段

(9)

(10)

(11)

式(11)即為材料力學中截面剪應力的傳統(tǒng)計算式.在變截面波形鋼腹板箱梁截面中,剪應力由三個部分組成,分別是由彎矩造成的剪應力τM、由軸力造成的剪應力τN和由剪力造成的剪應力τQ,前兩者僅存在于變截面剪應力計算中.τ可表示為

τ=τM+τQ+τN

(12)

A=b1t1+b2t2

(13)

(14)

(15)

將式(13)對x求偏導,可得

(16)

將式(14)對x求偏導,可得

(17)

(18)

(1)y0處于上翼緣板內(0

(19)

(2)y0處于腹板內(t1≤y0≤h-t2)

(20)

(3)y0處于下翼緣板內(h-t2

Ay0=b1t1+b2(y0+t2-h),

(21)

將式(13)~(21)代入式(10)即可求得截面上任意位置的剪應力大小.

2 有限元模型

為了驗證上述計算模型的正確性,本文利用Abaqus軟件建立了懸臂梁模型并進行有限元仿真.梁長20 m,截面為變寬變高波形鋼腹板截面,有限元模型如圖3所示.自由端截面上頂板長6.00 m,寬0.25 m,下頂板長4.00 m,寬0.25 m,為了與工程相仿,腹板厚度取0.02 m,截面總高度取2.75 m;固定端截面上頂板長8.0 m,寬0.4 m,下頂板長6.0 m,寬0.5 m,腹板厚度0.02 m,截面總高度4.0 m,中間截面各參數由自由端向固定端線性變化.截面示意圖如圖4a所示,波形鋼腹板示意圖如圖4b所示.在懸臂梁自由端施加豎向集中力1 000 kN,同時在自由端截面頂、底板施加軸向均布荷載,合力為1 000 kN.在懸臂梁取自由端靠里1 m位置為截面A(為排除集中力附近應力集中干擾),中跨為截面B,固定端為截面C,作為計算截面.

圖3 有限元模型

a 箱梁截面

b 波形鋼腹板

模型中采用的材料為鋼和混凝土,使用線性應力-應變關系.由前述假定認為波形鋼腹板與混凝土頂、底板間不存在相對滑移,故在有限元模型里,將接觸面間所有自由度耦合,并遵從共同變形原則.同時,定義混凝土和鋼為各向同性材料.模型網格劃分采用掃略劃分,為了保證精度,波形鋼腹板和混凝土頂、底板均采用空間六面體C3D8網格,共計345 523個節(jié)點和210 279個單元.各參數設置如表1所示.

表1 懸臂梁參數設置

3 結果分析

3.1 有限元正確性驗證

提取有限元模型(FEM)中梁的內力和撓度,與解析解進行對比.通過解析的方法進行模型撓度的計算.根據歐拉梁理論,彎矩產生的撓度計算式為

(22)

考慮變截面情況,分母中慣性矩為x的函數,沿梁軸向進行積分,分別計算出距固定端1 m,2 m,3 m,…,20 m間距處梁撓度.

當桿件在兩相鄰的橫截面處有一對垂直于桿軸,但方向相反的橫向力作用時,桿件發(fā)生的變形為該兩截面沿橫向力方向發(fā)生的相對錯動,此變形稱為剪切變形.波形鋼腹板在受力過程中發(fā)生明顯的剪切變形,從而引起波形鋼腹板梁變形明顯增大.進一步增加剪切變形產生的撓度計算,根據鐵木辛柯梁理論,剪切應變能

(23)

式中:G為剪切模量.

由于目前尚未有完善的變截面變寬波形鋼腹板剪應力計算理論,τ按照本文所提出理論計算,對剪切應變能求偏微分可得剪力產生撓度,如下所示:

(24)

將有限元撓度計算結果和解析解計算結果列于圖5中.懸臂端有限元撓度計算結果為6.60 mm,解析解撓度計算結果為6.27 mm,解析解與有限元解誤差為5%,證明了有限元模型的正確性.

圖5 各種撓度計算方法對比

3.2 整體應力分析

懸臂梁剪應力云圖如圖6所示.從圖6可以看出:① 懸臂梁在自由端豎向集中力和軸向均布力作用下,剪應力從自由端向固定端遞減,一個原因是截面由自由端向固定端逐漸變高、變寬,從而使截面的慣性矩I增大,導致剪應力減小,另一個原因是彎矩和軸力產生的剪應力對總剪應力有影響;② 波形鋼腹板褶皺處剪應力較小,平直處剪應力較大,軸向應力分布不僅呈現出從自由端向固定端逐漸減小的趨勢,在局部還呈現出大—小—大的分布;③ 頂、底板的剪應力遠遠小于腹板的剪應力,主要原因是頂、底板的b過大,是腹板的上百倍,從而導致很小的剪應力;④ 波形鋼腹板剪力分配不均勻,中腹板的剪應力小于邊腹板,不考慮連接處局部效應,中腹板最大剪應力為6.14 MPa,邊腹板最大剪應力為7.70 MPa,相差約20%.

圖6 懸臂梁剪應力云圖

3.3 截面剪應力分析

對于該懸臂梁,給出本文提出的變截面計算理論(VCM)(見式(9))、傳統(tǒng)計算理論(TCM)(見式(11))和有限元(FEM)方法的計算結果用以精度對比.三個截面的計算結果如圖7所示,其中腹板截面應力取邊腹板的應力.

a 截面A

b 截面B

c 截面C

圖7 截面剪應力分布

Fig.7 Sectional shear stress distribution

從圖7可以看出:① 從截面A到截面B再到截面C,腹板和頂、底板的剪應力逐漸衰減;② 頂、底板剪應力相比腹板來說很?。虎?本文提出的變截面計算理論和有限元模型計算結果誤差很小,最大誤差不足5%,而傳統(tǒng)計算理論由于忽略彎矩和軸力產生的剪應力,誤差較大,誤差從自由端到固定端遞增,最大可達200%.由于波形鋼腹板的特殊性,從數值模擬結果來看,傳統(tǒng)計算理論由于誤差較大,已不再適用于計算,本文提出的變截面計算理論誤差很小,對變寬變高波形鋼腹板截面適用性很強.

3.4 頂、底板剪力分配

目前,大部分設計均不考慮頂、底板的抗剪能力,認為所有剪力由波形鋼腹板承受,但實際上由于混凝土頂、底板具有部分承剪能力,這樣的設計對波形鋼腹板來說過于保守,對于混凝土頂、底板來說偏不安全.對懸臂梁截面A、B和C的腹板應力進行積分,可得腹板承受的剪力大小,再除以總剪力Q即可得腹板承剪比例,如下所示:

(20)

式中:ρw為腹板承剪比例;τw為腹板剪應力.頂、底板承剪比例為(1-ρw).截面A、B和C各部分承剪比例如圖8所示.

離自由端越遠,懸臂梁受到的彎矩越大,彎矩對頂、底板和腹板剪應力產生的影響越大.對于有限元計算結果,波形鋼腹板承剪比例在自由端達到了近87.1%,后逐漸減小,在固定端達到谷值42.3%,而頂、底板在自由端承剪比例為12.9%,后逐漸增大,在固定端達到峰值57.7%.這說明傳統(tǒng)假定僅僅在無彎矩或彎矩很小區(qū)域適用,在彎矩較大區(qū)域,由于頂、底板承剪比例很大,因此忽視頂、底板承剪是不合理的.有限元模型計算結果和本文提出的變截面計算理論的計算結果很相近,說明了本文計算理論的有效性.

圖8 剪力分配比例

3.5 剪力、軸力、彎矩剪應力分布

根據前述計算式,變截面波形鋼腹板梁某一截面上鋼腹板的剪應力可以看成由以下三個部分組成:彎矩剪應力τM,軸力剪應力τN,剪力剪應力τQ.利用式(20),計算出懸臂梁截面A、B和C的鋼腹板剪應力分配比例,如圖9所示.

圖9 剪應力分配比例

從圖9可以看出:① 由彎矩和軸力產生的剪應力方向和剪力產生的剪應力方向相反,而截面總剪應力為三部分的疊加,所以總剪應力數值小于剪力產生的剪應力;② 從自由端到固定端,剪力剪應力逐漸減小,彎矩剪應力逐漸增大;③ 從自由端到固定端,彎矩和軸力產生的剪應力與剪力剪應力的比值從0.096 0增大到0.615 6,說明傳統(tǒng)計算方法只計算剪力剪應力是不正確的.

4 結論

(1)提出了一種針對變寬變高波形鋼腹板橋梁的剪應力計算方法,認為剪力、彎矩和軸力均會產生剪應力,并且后兩者僅僅在變截面時產生剪應力.本文方法計算結果與有限元模型計算結果吻合程度高,可為波形鋼腹板橋梁的抗剪設計提供依據.

(2)針對變截面波形鋼腹板橋梁,傳統(tǒng)剪應力計算理論適用性較差.在腹板斷面上,彎矩和軸力產生的剪應力方向與剪力剪應力方向相反,并且在彎矩較大時,彎矩和軸力產生的剪應力與剪力剪應力的比值可達0.6以上,從而導致實際剪應力數值小于剪力剪應力,這也是傳統(tǒng)剪應力計算理論誤差較大的原因.

(3)波形鋼腹板截面頂板剪應力很小,底板剪應力相對頂板而言較大,主要來源于底板受到的壓應力的豎向分力.在無彎矩或彎矩很小區(qū)域認為僅由腹板承剪是可以接受的,但當彎矩較大時,頂、底板承剪比例能達到50%以上,因此應考慮頂、底板的承剪能力.傳統(tǒng)計算理論、計算模型和規(guī)范認為剪力全部由鋼腹板承擔而不考慮混凝土頂、底板作用,容易造成波形鋼腹板浪費,頂、底混凝土板不足的情況.

(4)對單箱雙室波形鋼腹板橋梁進行有限元分析,發(fā)現腹板間存在剪應力分配,中腹板剪應力較小,邊腹板剪應力較大.本文提出的計算理論對邊腹板吻合程度高,在一定程度上提高了結構安全性.

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