萬兆榮，吳玉國

（1.淮安市新民路小學(xué)，江蘇 淮安 223002；2.南京市游府西街小學(xué)，江蘇 南京 210000）

一、結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)的實踐

小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)需要將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的研究對象看成整體性的結(jié)構(gòu)，抓住兒童認知起點與知識發(fā)生發(fā)展這兩條線，以“高觀念”的教學(xué)思路統(tǒng)攝“低落點”的教學(xué)行為，在結(jié)構(gòu)之中統(tǒng)攝教材內(nèi)容，深入研究如何使用各種外部表征，幫助兒童建立真正反映知識本質(zhì)的內(nèi)在表征，構(gòu)建能夠作用于兒童自主認知整體關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)資源材料。本文以“認識比”教學(xué)為例就結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)做進一步探討。

（一）連續(xù)層級——內(nèi)容重整，要突出知識發(fā)生發(fā)展與學(xué)生認知起點的自然融合

“兩個數(shù)相除又可以叫作兩個數(shù)的比?！眹鴥?nèi)小學(xué)數(shù)學(xué)教材大都用這樣的概念揭示比與除法的聯(lián)系。相關(guān)例題的選材具體內(nèi)容如表1，這里主要從知識表征方式、概念描述、習(xí)題整體比較、單元編排結(jié)構(gòu)等維度對比分析。

表1 不同版本教材對比

蘇教版將認識比安排在分數(shù)乘法之后，分數(shù)四則混合運算、百分數(shù)之前，教材以2杯果汁和3杯牛奶的倍數(shù)關(guān)系凸顯同類量的比，以900米的路長，小軍與小偉分別用時15 分鐘、20 分鐘，用“比”表示計算速度，凸顯了同類量比明理，異類對等關(guān)系量比明質(zhì)的特點，在練習(xí)設(shè)計中尤其凸顯與幾何直觀的綜合融通。人教版從楊利偉太空展示的國旗長度引發(fā)長與寬的倍數(shù)關(guān)系，理解同類量比的關(guān)系，接著從“神舟五號”運行距離與時間并置的兩個量的對等關(guān)系，逐層深入理解“比”。北師大教材基于比是比例前奏的考慮，教材以5幅照片的比較，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)格子發(fā)現(xiàn)第一幅與第二、第四幅照片相同，繼而再引發(fā)對照片長寬數(shù)量關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)不同大小的兩幅圖長之間是2 倍關(guān)系，寬也是2 倍關(guān)系；另外，同一幅圖的長寬之間是6÷4=1.5，在除法的基礎(chǔ)上引出“比”。滬教版以小明和小杰的投籃次數(shù)與投中次數(shù)比較水平高低，以投籃命中率來直接揭示同類比，基于分數(shù)、除法與“比”之間的關(guān)系建立概念。

縱觀各教材，均從生活中得到啟發(fā)，從兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系中轉(zhuǎn)化，大都采用告知的方式從除法的角度建構(gòu)比的概念，體現(xiàn)了傳統(tǒng)的“算術(shù)之中算理”的邏輯過程，即算中明理。自學(xué)生從認識除法開始，在實際運用中就體會到“等分除、包含除、當量除”的三種不同意境，“等分除”是把一個量進行等分，這里并沒有兩個量的“比”的關(guān)系，因而成為除法與比概念融通理解的障礙，很多時候?qū)W生即使學(xué)完了“比”，也不理解為什么兩個數(shù)相除又叫作這兩個數(shù)的比。因此，學(xué)生對比的概念缺乏深度理解，對“比”的內(nèi)涵也就沒有了認同感。然而，多少學(xué)者認為比源于度量，度量解決了物體可度量的屬性（長度、面積、體積、質(zhì)量）的可比性，比卻能夠解決物體不可度量的屬性（顏色、形狀、質(zhì)地等）的可比性。[1]比更多是為了表征隱含于數(shù)量之中的、不可度量的事物屬性，這也是除法所不能及的，這才是比的重要意義。比所突出的是每一份所代表的項目是相同的，可能不會給出實際的數(shù)量，只要存在對等的關(guān)系。另外，分數(shù)的“比的定義”即可被看成皮亞杰所謂的“自反抽象”的一個實例，也即如何“把從已發(fā)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)中抽象出來的東西映射或反射到一個新的層面上，并對此進行重新建構(gòu)”[2]。因此，從“分—份數(shù)—分數(shù)—除法”關(guān)系結(jié)構(gòu)中自然認識比整體結(jié)構(gòu)中認識比，突出“份數(shù)對等”的關(guān)系尤其重要，也更加突出結(jié)構(gòu)化學(xué)材設(shè)計的必要性。

【學(xué)材改編1】從比較到比

將蘇教版教材2 杯果汁、3 杯牛奶的直觀圖例，改編成三杯不同顏色的果汁依次呈現(xiàn)。通過觀察引發(fā)問題思考：

問題1：看到這三杯飲料你想到什么？

問題2：如果分別配制這樣的三杯飲料有什么不同？

操作：現(xiàn)場以飲料和水逐步配比三杯飲料（如圖1），再以圖示直觀呈現(xiàn)依次操作過程。

問題3：可以怎樣表示果汁與水的關(guān)系呢？分別說出兩種量的關(guān)系（如圖2）。

圖1

圖2

學(xué)生思維活動的水平主要取決于外在刺激的程度。通過引領(lǐng)學(xué)生從分析哪杯果汁更甜中去體會，果汁的甜與不甜還與水有關(guān)，引發(fā)實踐操作需要，怎樣配制引發(fā)數(shù)學(xué)思考，請仔細觀察這三杯飲料，你想到什么？怎樣才能配制出這樣不同的飲料？在飲料的配比過程中，將學(xué)習(xí)置于真實的場景，全景式的思維活動激發(fā)兒童引發(fā)份數(shù)需要，現(xiàn)場按果汁1份水1份、果汁1份水2份、果汁1份水3份三種不同的配方，通過開放的問題情境讓學(xué)生借助生活經(jīng)驗，巧妙設(shè)計，讓學(xué)生在解決問題過程中深刻地體會同類量比的意義，自主并自覺地豐富和理解“比”的意義。這里，借助于生活常識和已有的知識基礎(chǔ)，從多種搭配數(shù)據(jù)中提取不變的核心元素，學(xué)生能依據(jù)實物的影像在頭腦中想象制作來進行內(nèi)在的思維活動，由低走高實現(xiàn)新舊知識完美對接，從變化的倍數(shù)關(guān)系抽取出“份數(shù)”，再由“份數(shù)”引出配比，從而引出比的一種情況，一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，可以寫成比。

（二）關(guān)聯(lián)層級——融會貫通，突出知識結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)與多元表征方式的自覺組合

結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)的特點是利用多元表征方式統(tǒng)攝比的內(nèi)容，主要借助實物操作、圖像、口頭語言、現(xiàn)實情景、文字符號等表征方式，凸顯知識結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)過程。

【學(xué)材改編2】從兩個量的比到多個量的比

活動1：將圓形依次等分成兩份、三份、四份......逐個呈現(xiàn)，說出所看到的比（如圖3）。

圖3

活動2：從兩個色變化到三個色，要求學(xué)生說一說你所看到的比。

活動3：生活中像這樣的比在哪里見過？舉例說明。

只有從變化活動對象過程中，才能從它的對象的多種多樣的屬性中區(qū)分出哪些是進行這種活動所必需的本質(zhì)的屬性，哪些是無關(guān)的不必需的非本質(zhì)的屬性，從而使活動的內(nèi)容得到概括，使學(xué)生建立起概括的定向映象。[3]這里通過動作和圖像表征讓學(xué)生感悟比與分數(shù)、份數(shù)、統(tǒng)計圖表的關(guān)聯(lián)。借助圓形圖片的變式為學(xué)生直觀理解比的意義提供了強有力的支持，從1：1、1：2、1：3……再到1：1：1、1：2：3 變化中建立整體圖式，不僅將比置身于份數(shù)與分數(shù)之中立體關(guān)聯(lián)，且在份數(shù)的變化中實現(xiàn)從“過程到對象的轉(zhuǎn)移”，同時由一幅圖的拓展，從“部分與部分之比”延伸到“部分與整體之比”，如紅與藍的比1：2 的圓形中，既可以看到1：2，也可以看到2：1，還可以看到1：3、2：3，充分擴展學(xué)生對比的直覺感受，是基于標準的度量，有順序，有結(jié)構(gòu)。從圖形直觀再到生活實物直觀，如體會生活中金龍魚油1：1：1，混凝土中水泥、石子、黃沙等多個量的比具有獨特價值，體驗到了比表示數(shù)量間的關(guān)系的簡潔明了，除法算式與分數(shù)關(guān)系怎么能表示這三個量之間的關(guān)系呢？生活中還有更多個量的比，這是除法與分數(shù)不能替代的特殊價值。

【學(xué)材改編3】從同類量比到不同類量的比

1.如圖4，從小華路程1500米，小偉路程1500米中可以想到比嗎？

2.呈現(xiàn)時間15 分鐘、20 分鐘，又可以想到哪些比呢？

3.小華路程720 米，時間9 分鐘，小偉路程960米，時間12分鐘又可以看到哪些比呢？

圖4

將蘇教版教材文字表達轉(zhuǎn)化為表格，通過變式有序呈現(xiàn)，從小華的1500 米與小偉1500 米的數(shù)據(jù)隱喻中，學(xué)生直接獲得1：1的比，學(xué)生已經(jīng)從外部直觀轉(zhuǎn)入頭腦內(nèi)部對事物進行分析與綜合、抽象與概括的技能轉(zhuǎn)化，這里通過時間15 分鐘、20 分鐘的呈現(xiàn)，引發(fā)學(xué)生尋找新的比，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)各個量之間的比，通過不同類量比的過程理解比的對等關(guān)系，體現(xiàn)“比”的本質(zhì)屬性，逐步完善比的認識，既賦予過去的知識以新的內(nèi)涵，看到了知識的生長與發(fā)展的過程，從而在腦中建立起活動的定向映象，也使他們對于比的意義、比的類型的理解更加完整、透徹。學(xué)生在認識到比的價值的同時，看到了比更多是為了表征隱含于數(shù)量之中的、不可度量的事物屬性，這就是比的本質(zhì)，也是本課學(xué)習(xí)的價值所在。

兩個數(shù)相除與兩個量的比不是兩個等價的概念，兩個量的比可以轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)相除，但兩個數(shù)相除不能籠統(tǒng)地說就是這兩個數(shù)的比。[4]這里，通過圖像、表格表征從知識整體性的角度出發(fā)，讓學(xué)生感悟比與除法、正比例的關(guān)聯(lián)。基于不同情景的比的應(yīng)用辨析，從簡約抵達豐富，無論是比的基本性質(zhì)、化簡比、除法中商不變性，還是今后要學(xué)習(xí)的比例尺、正反比例等數(shù)學(xué)知識的初步滲透，將比與除法的必然性、發(fā)展性關(guān)系展現(xiàn)無余，無須概念揭示學(xué)生已經(jīng)深刻領(lǐng)悟到比的意義與價值。

（三）循環(huán)層級——實踐應(yīng)用，突出知識價值取向與兒童素養(yǎng)生長的有機結(jié)合

【學(xué)材改編4】從應(yīng)用比到拓寬比

辨析1：（如圖5）先表示出這兩幅圖中的各個比，根據(jù)圖示再想一想3：2，6：4，9：6 可能有什么關(guān)系呢？

生：相等。

思考：你能想到什么好辦法，讓人一眼就能看清他們相等呢？

學(xué)生討論得出結(jié)果：添加橢圓圈或者切割均分長方形。

辨析2：足球比賽2：0是我們今天數(shù)學(xué)課上認識的比嗎？借助圖5的方法，你能說清楚足球比賽與今天比的區(qū)別嗎？

回顧：比是什么？比里有什么？比有什么用？關(guān)于比，你已經(jīng)了解了哪些？還有什么疑問？

圖5

無論是增加橢圓圈，還是長方形均分的歸類，或者是從相似長方形到相似三角形變化，既讓兒童感知比的美，又豐富了空間想象力，更加體現(xiàn)了比的應(yīng)用價值。借助圖6的直觀，對足球賽2：0比分的辨析比較，學(xué)生體會到比能夠更方便地表示兩個數(shù)量之間的關(guān)系，更能讓別人明白兩個數(shù)量之間存在的關(guān)系。再通過“比是什么？比里有什么？比有什么用？”等一系列“回問”，課后四人合作畫一張有關(guān)比的圖這樣的實踐操作活動，既拓寬了比的學(xué)科價值，又進一步拓寬了比的知識結(jié)構(gòu)、兒童認知結(jié)構(gòu)和素養(yǎng)結(jié)構(gòu)，充分體現(xiàn)應(yīng)用循環(huán)、文化循環(huán)和結(jié)構(gòu)循環(huán)三個特征。

二、結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)的思考

結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)的本質(zhì)就是選擇與兒童的知識體系、認知結(jié)構(gòu)相匹配，與學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和價值認同相吻合的學(xué)習(xí)資源，讓兒童在結(jié)構(gòu)之中感受數(shù)學(xué)的整體性，使習(xí)得的知識結(jié)構(gòu)化、能力結(jié)構(gòu)化，與學(xué)生思維能力和思維品質(zhì)的提升相呼應(yīng)。

（一）在連續(xù)中著力核心知識元素的“直觀”過程

直觀是由反映事物的外部特征與外部聯(lián)系的一系列認識活動構(gòu)成的，結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)中教師要精心挑選或人為創(chuàng)造，利用好“實物直觀、模像直觀與語言直觀”，為領(lǐng)會抽象知識提供必備的認識支架。上例中借助飲料配比的實物直觀的活動，提供給學(xué)生領(lǐng)會比的概念所必需的基礎(chǔ)性知識經(jīng)驗，建立了1份果汁與1 份水獨立與融合的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上要特別突出模像直觀的過程，突出了比的重要因素，促進學(xué)生進一步關(guān)于“比”的思維加工，再通過語言直觀理解果汁與水是獨立的個體，在比的關(guān)系中確是以份數(shù)關(guān)系貫通的一個整體。如果缺乏直觀這個開端，學(xué)生就只能從形式上學(xué)得一些空洞的概念，直接接受比與除法相互關(guān)系，而對為什么比又表示兩個數(shù)相除所反映的實際一無所知，以及為什么學(xué)習(xí)比產(chǎn)生嚴重的曲解。

（二）在關(guān)聯(lián)中凸顯多元表征形式的“概括”過程

結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)的重要特點在于貫通知識之間的聯(lián)系，我們知道，當學(xué)生去認識那些具有聯(lián)系的材料時，遠比認識那些本身聯(lián)系較少的材料要容易得多。系統(tǒng)化的學(xué)材便于識記，也便于保持及重現(xiàn)，為此，結(jié)構(gòu)化學(xué)材開發(fā)過程中，要注意由易到難、層次分明、條理清晰、由簡到繁的循序性原則，將此概念放入不同的表征系統(tǒng)之中，借助多元表征對知識的本質(zhì)特征與內(nèi)在聯(lián)系進行反映，在知識的廣度與深度上提供給學(xué)生探索，由內(nèi)在的思維建構(gòu)“外化”成為外部的獨立存在，促進學(xué)生概括的過程，抽出實物的本質(zhì)，撇開事物的非本質(zhì)因素。例如，雖然學(xué)生通過有關(guān)比的配比實驗或圖形的直觀后，在頭腦中建立了比的前、后項與比號的關(guān)系。這時，學(xué)生對比的本質(zhì)特征的認識，必須通過多元表征把感性經(jīng)驗進行加工改造，我們要呈現(xiàn)大量相同類型的事物，讓學(xué)生能夠概括出它們之間的共同點，需要將各種不同種類的比能夠壓縮在圖示中。如：從兩色圓的均分到三色圓，從路程與路程的比到路程與時間的比，只有確立好方向性，才能真正形成比的概念。

(三)在循環(huán)中突出的項目綜合應(yīng)用的“回問”過程

從邏輯意義上來說，具體事物的抽象化是歸納過程，抽象知識的具體化則是演繹過程，知識的應(yīng)用需要順應(yīng)學(xué)生的經(jīng)驗與經(jīng)歷，借助“比”的概念的具體化，可以將比的基本性質(zhì)與化簡，以及比的應(yīng)用的具體化，借助學(xué)材“點子圖的橢圓圈”讓學(xué)生看到都是2：3，借助長方形的均分，同樣是2：3，4：6，6：9，但長方形的形狀完全相同，這樣學(xué)材設(shè)計把比的基本概念放在知識整體結(jié)構(gòu)中。當再一次“回問”比的相關(guān)問題時，學(xué)生對比發(fā)生興趣，自然會主動想去學(xué)，逐漸學(xué)會，乃至?xí)W(xué)。同樣，讓學(xué)生四人一小組整理知識結(jié)構(gòu)，把課堂轉(zhuǎn)移到課外，引導(dǎo)學(xué)生自主歸納、概括，在整理的結(jié)構(gòu)圖式之中感受數(shù)學(xué)的整體性，使之將科學(xué)的知識系統(tǒng)，內(nèi)化成為學(xué)生自己的認知結(jié)構(gòu)，以牢固地掌握知識系統(tǒng)和基本要求，在圖式結(jié)構(gòu)繪制中，通過同化與順應(yīng)，進一步系統(tǒng)化和概括化，形成一種穩(wěn)定的心理結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生所學(xué)的知識能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)化，從而真正促進學(xué)生的數(shù)學(xué)氣質(zhì)、素養(yǎng)和能力的整體提高?！?/p>