曹穎賽 劉思峰 方志耕 董文杰

南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，南京，210016

0 引言

共因故障是指由于空間、環(huán)境、設(shè)計(jì)以及人為等方面的共同原因所造成的多個(gè)部件同時(shí)發(fā)生故障的現(xiàn)象，是一種廣泛存在于工程系統(tǒng)中且在系統(tǒng)設(shè)計(jì)、制造、安裝、運(yùn)行的任何階段都會(huì)發(fā)生的相依故障事件[1-3]。在共因故障中，受共同原因影響的部件集合稱為共因部件組。

共因故障增大了系統(tǒng)各單元的故障概率，降低了采用冗余配置提高系統(tǒng)可靠性的效果。隨著單部件級(jí)可靠性的大幅度提升和冗余技術(shù)的應(yīng)用，這種由多部件相關(guān)故障引起的系統(tǒng)可靠性退化甚至安全隱患問(wèn)題日益加劇，促使了大量系統(tǒng)分析人員和學(xué)者相繼投入到共因故障影響下的系統(tǒng)可靠性研究中。李春洋等[4]提出了一種考慮共因故障的多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化模型，為復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性冗余配置優(yōu)化問(wèn)題提供了較完整的解決方案。針對(duì)大部分包含共因故障的系統(tǒng)可靠性分析模型缺乏考慮共因故障動(dòng)態(tài)特征問(wèn)題，王家序等[5]基于動(dòng)態(tài)故障樹(shù)對(duì)包含不完全共因故障的系統(tǒng)可靠性進(jìn)行了建模分析。

上述研究側(cè)重于解決共因故障的表征、發(fā)生概率求解以及相關(guān)性解析等問(wèn)題，有關(guān)共因故障的嚴(yán)重性測(cè)度問(wèn)題還有待進(jìn)一步研究。作為產(chǎn)品全壽命周期中的關(guān)鍵測(cè)度指標(biāo)，故障嚴(yán)重性是指某一故障模式對(duì)系統(tǒng)功能、用戶人身安全以及周圍環(huán)境等方面的影響程度，是識(shí)別產(chǎn)品各種缺陷與薄弱環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)。在故障模式、影響及其危害性分析(failure mode effect and criticality analysis，F(xiàn)MECA)過(guò)程中，故障嚴(yán)重度還可以用于確定故障風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)先序數(shù)(risk priority number, RPN)和故障危害性分析(criticality analysis, CA)。文獻(xiàn)[6]從消除故障所需付出的努力程度視角定義了故障嚴(yán)重度，使其能夠更真實(shí)、定量地反映系統(tǒng)及其組成單元的故障嚴(yán)重性。文獻(xiàn)[7]將武器裝備的故障嚴(yán)重度劃分為4個(gè)類別，旨在定性地區(qū)別武器裝備的各個(gè)故障模式。文獻(xiàn)[8]以等級(jí)表的形式對(duì)指揮、控制、通信、計(jì)算機(jī)、情報(bào)、監(jiān)視和偵察系統(tǒng)的故障嚴(yán)重性進(jìn)行了測(cè)度，然而該方法只是定量地表征故障嚴(yán)重度，難以確切表征不同嚴(yán)重度故障之間的區(qū)別。文獻(xiàn)[9]針對(duì)上述測(cè)度方法的缺陷，提出了一種故障嚴(yán)重度非線性轉(zhuǎn)換函數(shù)，解決了不同故障在嚴(yán)重度方面的各類運(yùn)算問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]針對(duì)文獻(xiàn)[9]中的指數(shù)型故障嚴(yán)重等級(jí)非線性轉(zhuǎn)換函數(shù)無(wú)法反映故障之間的關(guān)聯(lián)性問(wèn)題，提出了一種基于Copula函數(shù)的3階轉(zhuǎn)換方程。

上述故障嚴(yán)重性測(cè)度方法與技術(shù)僅針對(duì)系統(tǒng)組成單元(或子系統(tǒng))的單一故障，對(duì)系統(tǒng)中的共因故障難以為繼。無(wú)法回避的是，在共因故障的影響下，在系統(tǒng)組成單元單一故障所造成的危害性后果基礎(chǔ)上，勢(shì)必還會(huì)出現(xiàn)由單元故障間的關(guān)聯(lián)性所導(dǎo)致的額外嚴(yán)重性危害。如果繼續(xù)按照以往的方法對(duì)系統(tǒng)組成單元故障進(jìn)行嚴(yán)重性測(cè)度，則會(huì)低估單元故障的嚴(yán)重性，從而導(dǎo)致后續(xù)的故障消除資源配置結(jié)果出現(xiàn)偏差，影響系統(tǒng)運(yùn)行效率。由此，在共因故障存在的條件下，探索新的故障嚴(yán)重性測(cè)度模型與方法勢(shì)在必行。

本文基于合作博弈思想構(gòu)建考慮共因故障影響的系統(tǒng)組成單元故障嚴(yán)重性Shapley值測(cè)度模型。在模型構(gòu)建過(guò)程中，系統(tǒng)組成單元被看作是合作博弈中的參與主體，共因部件組則是博弈過(guò)程中形成的聯(lián)盟。首先，在已有故障嚴(yán)重等級(jí)測(cè)度的基礎(chǔ)上，構(gòu)建最優(yōu)非線性轉(zhuǎn)換函數(shù)；其次根據(jù)共因故障特征提出其聯(lián)合嚴(yán)重性測(cè)度方法；最后在確定共因部件組數(shù)量和種類的基礎(chǔ)上求解單元故障修正嚴(yán)重度，即系統(tǒng)組成單元對(duì)各個(gè)共因故障聯(lián)合嚴(yán)重度的期望貢獻(xiàn)度。

1 故障嚴(yán)重性測(cè)度

1.1 單一故障嚴(yán)重性測(cè)度

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，系統(tǒng)組成單元(或子系統(tǒng))單一故障的嚴(yán)重程度可分為表1所示的10個(gè)等級(jí)。

表1 故障嚴(yán)重度排序等級(jí)

表1中的這類故障嚴(yán)重等級(jí)雖然能夠?yàn)橄到y(tǒng)分析人員提供一些有價(jià)值的故障嚴(yán)重性信息，但其測(cè)度結(jié)果帶有一定的主觀色彩，且有時(shí)難以反映系統(tǒng)及其組成單元的真實(shí)情況。首先這些等級(jí)是在故障影響等級(jí)與故障嚴(yán)重度線性相關(guān)的假設(shè)下制定的；其次這些等級(jí)之間的乘除運(yùn)算是缺乏意義的，如不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為導(dǎo)致無(wú)征兆嚴(yán)重危害的故障嚴(yán)重度是導(dǎo)致中等危害的故障模式嚴(yán)重度的兩倍。因?yàn)橄鄬?duì)于輕微故障，嚴(yán)重故障對(duì)系統(tǒng)、人員以及周圍環(huán)境造成的破壞性更大，故人們?yōu)榱讼@種故障所帶來(lái)的不良后果所需的資源更多，即故障影響等級(jí)越高，相鄰影響等級(jí)故障之間的嚴(yán)重度差別越大，但如圖1所示，在兩者線性相關(guān)的假設(shè)下，ΔS45=ΔS78，這顯然是不符合工程系統(tǒng)實(shí)際的。

圖1 線性假設(shè)下故障影響等級(jí)與嚴(yán)重度之間的變化關(guān)系示意圖Fig.1 Relationship between the impact ranking andfault severity under the linear hypothesis

圖2 故障嚴(yán)重度等級(jí)非線性轉(zhuǎn)換示意圖Fig.2 Nonlinear transformation of fault severity ranking

(1)

式中，ξ為故障嚴(yán)重度集中水平；a0、c0、c1均為待定參數(shù)；n為單元個(gè)數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[9-10]中關(guān)于兩種非線性轉(zhuǎn)換函數(shù)的參數(shù)賦值與求解方法，求得不同非線性轉(zhuǎn)換方法下的故障嚴(yán)重等級(jí)變換值，如表2所示。

表2 不同方法求得的故障嚴(yán)重等級(jí)非線性變換值

根據(jù)故障嚴(yán)重等級(jí)非線性轉(zhuǎn)換原則，故障影響等級(jí)越高，相鄰影響等級(jí)故障嚴(yán)重度之間的差別越大。為了評(píng)判各個(gè)方法對(duì)故障嚴(yán)重等級(jí)的轉(zhuǎn)換效果，求得經(jīng)由不同非線性函數(shù)轉(zhuǎn)換得到的故障嚴(yán)重度在各個(gè)影響等級(jí)的相對(duì)變化率(圖3)：

圖3 不同非線性函數(shù)對(duì)故障嚴(yán)重等級(jí)的轉(zhuǎn)換效果Fig.3 Different nonlinear transformations offault severity ranking

為了使故障嚴(yán)重等級(jí)非線性變換函數(shù)更貼近單元不同影響等級(jí)故障所導(dǎo)致的后果差異性，本文針對(duì)以上兩種非線性轉(zhuǎn)換函數(shù)的不足，提出了一種二次型變換函數(shù)，旨在保證轉(zhuǎn)換后故障嚴(yán)重度函數(shù)單調(diào)增長(zhǎng)的同時(shí)反映故障本身的特性變化。構(gòu)建步驟如下:

1.2 共因故障聯(lián)合嚴(yán)重性測(cè)度

當(dāng)共因故障發(fā)生時(shí)人們不僅要逐個(gè)修復(fù)每個(gè)單元的單一故障，還需要額外增加資源以消除由于故障之間的關(guān)聯(lián)性所帶來(lái)的額外危害性，因此可將共因故障的聯(lián)合嚴(yán)重度定義如下。

定義1 對(duì)于任一共因部件組C，其所有單元同時(shí)發(fā)生故障時(shí)所造成影響的嚴(yán)重程度為

(2)

值得注意的是，隨著同時(shí)發(fā)生故障的單元數(shù)量增加，km值也將逐漸增大，這是因?yàn)楣惨虿考M所包含的單元數(shù)量越多，故障之間的關(guān)聯(lián)性越大，由此而造成的故障消除資源投入量越多。

2 考慮共因故障影響的單元故障嚴(yán)重性Shapley值測(cè)度模型

系統(tǒng)中不同的組成單元有可能從屬于不同的共因部件組，而且同一組成單元也有可能從屬于多個(gè)不同的共因部件組。為了合理測(cè)度共因故障影響下的系統(tǒng)組成單元故障嚴(yán)重性，需要確定單元在不同共因部件組所發(fā)揮的作用大小，即該單元故障對(duì)不同共因故障聯(lián)合嚴(yán)重度的期望貢獻(xiàn)度。

根據(jù)合作博弈思想，若有n個(gè)參與主體，則集合N={1,2，…，n}的任一子集C(C?N)稱為合作博弈的一個(gè)聯(lián)盟，包括空集聯(lián)盟以及所有參與人的總聯(lián)盟。聯(lián)盟特征函數(shù)v(C)表示聯(lián)盟內(nèi)參與主體共同協(xié)作時(shí)獲得的總效用。通常在合作博弈中隱含有以下兩個(gè)假設(shè)：①參與主體清楚地知道組成每個(gè)聯(lián)盟所能產(chǎn)生的總效用值；②參與主體需要完全參與到一個(gè)特定聯(lián)盟中。

當(dāng)共因故障誘因被觸發(fā)時(shí)，系統(tǒng)中至少有兩個(gè)組成單元(或子系統(tǒng))發(fā)生故障，此時(shí)可以認(rèn)為同時(shí)發(fā)生故障的單元在共同故障原因促發(fā)下產(chǎn)生了某種程度上的合作關(guān)系，因此，本文借用合作博弈思想，將共因故障發(fā)生時(shí)出現(xiàn)故障的單元看作是合作博弈中的參與主體。聯(lián)盟即共因部件組，由在不同原因影響下同時(shí)發(fā)生故障的單元(或子系統(tǒng))構(gòu)成。相應(yīng)的特征函數(shù)v(C)表示共因部件組C內(nèi)參與單元同時(shí)發(fā)生的故障對(duì)系統(tǒng)、人員以及周圍環(huán)境所造成后果的嚴(yán)重程度。分配向量則是將共因故障嚴(yán)重度分配至共因部件組內(nèi)單元所得到的向量。

根據(jù)合作博弈效用分配原則以及解的性質(zhì)等，可將合作博弈分配解分為核心、Shapley值、談判集以及內(nèi)核與核仁等[11]。其中，Shapley值方法[12]不僅計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便且最終結(jié)果具有穩(wěn)定性(解存在且唯一)、公平性等，因此本節(jié)運(yùn)用Shapley值求解單元故障嚴(yán)重性。

根據(jù)Shapley值的構(gòu)建思想，需要首先確定共因部件組的形成概率,然后計(jì)算系統(tǒng)組成單元對(duì)各個(gè)不同共因部件組故障聯(lián)合嚴(yán)重度的邊際貢獻(xiàn)，最后求解單元對(duì)系統(tǒng)故障危害性的期望貢獻(xiàn)度。

本節(jié)將單元對(duì)共因部件組的參與方法定義為其在不同共因部件組中的排列組合形式。由于各個(gè)單元對(duì)不同共因部件組的參與情況是隨機(jī)的，對(duì)于包含n個(gè)組成單元的系統(tǒng)，根據(jù)單元加入各個(gè)共因部件組的先后順序和共因部件組內(nèi)的單元總體數(shù)量可確定共有n!種不同的參與方法。為確定某一包含單元i的共因部件組Ci的形成概率，現(xiàn)將系統(tǒng)全集I拆分成三部分進(jìn)行考慮：參與單元i、單元i參與之前的共因部件組Ci即{Cii}以及全集的剩余部分{ICi}。

單元i對(duì)共因部件組Ci故障嚴(yán)重度的邊際貢獻(xiàn)可表示為

ψCi=S′(Ci)-S′(Cii)

(3)

式中，S′(Ci)為共因部件組Ci內(nèi)單元同時(shí)發(fā)生故障的聯(lián)合嚴(yán)重度；S′(Cii)為從共因部件組Ci中去除單元i后的單元同時(shí)發(fā)生故障的聯(lián)合嚴(yán)重度;k|Ci|為共因部件組Ci對(duì)聯(lián)合故障嚴(yán)重度的影響系數(shù)。

因此，在共因故障影響下，對(duì)于任一包含n個(gè)單元的系統(tǒng)，某一組成單元i對(duì)系統(tǒng)故障危害性的期望貢獻(xiàn)度，即故障修正嚴(yán)重度為

(4)

式中,P為共因部件組的形成概率。

3 案例研究

在工程實(shí)際中，數(shù)控機(jī)床各組成單元(或子系統(tǒng))的故障并不是獨(dú)立存在的，存在某些原因?qū)е露鄠€(gè)單元(或子系統(tǒng))同時(shí)發(fā)生故障的現(xiàn)象[10]。主軸作為數(shù)控機(jī)床的核心子系統(tǒng)，在數(shù)控機(jī)床的設(shè)計(jì)、制造以及運(yùn)行過(guò)程中，都起著至關(guān)重要的作用。

某型號(hào)數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)的功能結(jié)構(gòu)如圖4所示，該主軸系統(tǒng)的組成單元包括啟動(dòng)組件、支撐組件、潤(rùn)滑組件、密封組件、測(cè)量組件以及制動(dòng)組件等。在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中，系統(tǒng)分析人員要在共因故障存在的條件下測(cè)度各個(gè)組成單元的故障嚴(yán)重性，以提前發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中的各種缺陷和薄弱環(huán)節(jié)，并盡早采取有效的改進(jìn)和補(bǔ)償措施。

圖4 某數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Functional configuration diagram of spindlesystem of a CNC

在系統(tǒng)運(yùn)行初期，系統(tǒng)分析人員還沒(méi)有意識(shí)到共因故障的存在，只能根據(jù)各個(gè)單元的單一故障特征，按照原有工程手冊(cè)中的評(píng)定原則對(duì)系統(tǒng)組成單元的故障嚴(yán)重度定級(jí)，結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 單元單一故障嚴(yán)重等級(jí)

隨著系統(tǒng)的運(yùn)行，工作人員對(duì)系統(tǒng)的認(rèn)知也逐漸加深，并且意識(shí)到了共因故障的存在及其帶來(lái)的危害性。為了重新測(cè)度系統(tǒng)各個(gè)組成單元的故障嚴(yán)重性，首先要選擇合適的故障嚴(yán)重等級(jí)非線性轉(zhuǎn)換函數(shù)。在已有指數(shù)型變換函數(shù)以及Copula 3階方程的基礎(chǔ)上，重新構(gòu)建了二次型變換函數(shù)并令Ε1=1,Ε2=25，求得ξ=5.83,γ=0.235,b=-4.48。

計(jì)算共因故障聯(lián)合嚴(yán)重度時(shí)，將k值設(shè)定為k1=0,k2=0.1,k3=0.2,k4=0.3,k5=0.4,k6=0.5。根據(jù)式(4)可求得不同非線性變換下考慮共因故障影響的各個(gè)單元故障嚴(yán)重性Shapley值測(cè)度表達(dá)式：

(5)

i=1,2,3,4,5,6

代入數(shù)據(jù)得到最終的故障嚴(yán)重性測(cè)度值,如表4所示。

表4 共因故障影響下某數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)組成單元故障嚴(yán)重性Shapley測(cè)度值

圖5 共因故障對(duì)于某數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)組成單元故障嚴(yán)重度的影響示意圖Fig.5 The influence of common cause failure on thefault severity of the spindle components in a CNC

由圖5可知，不同轉(zhuǎn)換方法下的單元故障嚴(yán)重度相對(duì)變化趨勢(shì)大體相似，但3階方程的變化幅度最大，主要原因在于其函數(shù)變化率的拋物形波動(dòng)。對(duì)于系統(tǒng)組成單元，不同的轉(zhuǎn)換方法都顯示密封組件的變化最大，而制動(dòng)組件的變化最小，這是因?yàn)槊芊饨M件對(duì)共因故障的期望貢獻(xiàn)值較大，即與其他組件相比，密封組件與其他單元的關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)；而制動(dòng)組件相對(duì)獨(dú)立，與其他組件的相關(guān)性較弱。由此，系統(tǒng)單元故障嚴(yán)重性Shapley測(cè)度值從側(cè)面剖析了共因故障的內(nèi)部機(jī)理，解構(gòu)了共因部件組內(nèi)的單元特征。

4 結(jié)論

(1)在單一故障嚴(yán)重等級(jí)非線性轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)上，提出了共因故障聯(lián)合嚴(yán)重性測(cè)度方法。在對(duì)傳統(tǒng)故障嚴(yán)重等級(jí)進(jìn)行非線性轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)上，結(jié)合單元故障間的相關(guān)性影響，定義了共因故障的聯(lián)合嚴(yán)重性及其測(cè)度方法。

(2)構(gòu)建了一種考慮共因故障的單元故障嚴(yán)重性Shapley值測(cè)度模型?；诤献鞑┺乃枷?，根據(jù)Shapley值算法步驟，求解出了系統(tǒng)組成單元對(duì)各個(gè)共因故障聯(lián)合嚴(yán)重度的期望貢獻(xiàn)。

(3)通過(guò)某型號(hào)機(jī)床主軸系統(tǒng)的故障嚴(yán)重度分析實(shí)例，介紹了所提方法在共因故障存在條件下合理測(cè)度單元故障嚴(yán)重性的應(yīng)用可行性，為進(jìn)一步識(shí)別系統(tǒng)缺陷與薄弱環(huán)節(jié)提供了決策支持。