韓 悅,馬 麗,魏俊潮

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

本文中R表示有單位元的結(jié)合環(huán),E(R),N(R),Z(R),J(R)和Lmax(R)分別表示R的冪等元集合、冪零元集合、R的中心、Jacobson根及R的全體極大左理想的集合．為研究Von Neumann正則環(huán)的強(qiáng)正則性,Drazin[1]引入 CN環(huán)的概念;Ungor等[2]證明CN環(huán)是中心冪零環(huán),并討論了 CN環(huán)與相關(guān)環(huán)類的關(guān)系;筆者[3-5]由環(huán)的交換性條件給出了CN環(huán)許多有趣的刻畫,有關(guān)CN環(huán)推廣的研究也較多[6-7]．若環(huán)R的每個(gè)極大左理想都是R的理想,則稱R是左quasi-duo環(huán)[8],文獻(xiàn)[9-10]中給出了左quasi-duo環(huán)的很多刻畫,并探討了左quasi-duo環(huán)與相關(guān)環(huán)類之間的關(guān)系．本文擬研究廣義CN環(huán)的性質(zhì),并將CN環(huán)和左quasi-duo環(huán)的相關(guān)性質(zhì)推廣到廣義CN環(huán)上．

1 主要結(jié)論

定理1R為左quasi-duo環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x,y∈R,任意M∈Lmax(R),且xy∈M,則yx∈M．

證明 (必要性) 假設(shè)xy∈M,yx?M,則Ryx+M=R．記ayx+m=1,其中a∈R,m∈M,y=(ayx+m)y=(ay)(xy)+my． 因R為左quasi-duo環(huán),故M為R的理想;又因xy∈M,m∈M,有(ay)(xy)∈M,my∈M,則y∈M,從而yx∈M,矛盾;故yx∈M．

(充分性) 設(shè)M是R的一個(gè)極大左理想,任取y∈R,若My?M,則R=My+M,記ny+m=1,其中n,m∈M．由于n∈M且M是R左理想,故yn∈M．由充分性條件知ny∈M,有1=ny+m∈M,M=R,矛盾;因此My?M,M是R理想,從而R為左quasi-duo環(huán)．

定理2一個(gè)環(huán)R為廣義CN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意a∈N(R),任意M∈Lmax(R),有Ma?M．

證明 (必要性) 若a∈N(R),M∈Lmax(R),使Ma?M,則Ma+M=R,記1=ma+n,其中m,n∈M．由于a∈N(R),存在正整數(shù)t使at=0,則ma·at-1=mat=0∈M;又因R為廣義CN環(huán),故at-1∈M或at-1ma∈M．若at-1ma∈M,有at-1=at-1(ma+n)=at-1ma+at-1n∈M,故總有at-1∈M．因ma·at-2=mat-1∈M,同理可得at-2∈M,如此重復(fù),得a∈M,故Ma?M,矛盾;因此對(duì)任意a∈N(R),任意M∈Lmax(R),有Ma?M．

(充分性) 設(shè)x∈R,a∈N(R),M∈Lmax(R)滿足xa∈M．若ax∈M,得證． 若ax?M,則Rax+M=R,記rax+m=1,其中r∈R,m∈M,則a=(rax+m)a=(ra)(xa)+ma．由xa∈M,得(ra)(xa)∈M,因ma∈Ma?M,故a∈M;因此R為廣義CN環(huán)．

眾所周知,一個(gè)環(huán)R是左quasi-duo環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/J(R)是左quasi-duo環(huán)．關(guān)于廣義 CN環(huán),由定理2可得推論3．

推論3若R/J(R)是廣義CN環(huán),則R為廣義CN環(huán)．

尚不清楚推論3的逆命題是否成立．

定理4廣義CN環(huán)R為直接有限環(huán)．

證明 設(shè)a,b∈R,滿足ab=1．記e=ba,h=(1-e)a,則ae=aba=a,h2=0．下證h∈J(R),否則存在M∈Lmax(R)使得h?M,則Rh+M=R．記xh+m=1,其中x∈R,m∈M,有h=(xh+m)h=xh2+mh=mh∈Mh．由R為廣義CN環(huán)及定理2知,Mh?M,則h∈M,矛盾;故h∈J(R),hb∈J(R)．又hb=(1-e)ab=1-e,得1-e∈J(R),則e=1-(1-e)是R的可逆元;由(1-e)e=0,得1-e=0,故ba=e=1,從而R為直接有限環(huán)．

定理5R為廣義CN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)N(R)?J(R)．

證明 (必要性) 若N(R)?J(R),則有a∈N(R),使得a?J(R),故有R的極大左理想M,使a?M,則Ra+M=R,記ba+m=1,其中b∈R,m∈M．設(shè)n≥1,使an=0,有an-1=(ba+m)an-1=ban+man-1=man-1,由R為廣義CN環(huán)和定理2知man-1∈Man-1?M,則an-1∈M;又因an-2=(ba+m)an-2,同理得an-2∈M,如此重復(fù),得a∈M,矛盾,故N(R)?J(R)．

(充分性) 對(duì)任意a∈N(R),任意M∈Lmax(R),有Ma?MJ(R)?J(R)?M,由定理2可知R為廣義CN環(huán)．

文獻(xiàn)[11]中將N(R)?J(R)的環(huán)R稱為J-約化的,由定理5知J-約化環(huán)就是廣義CN環(huán)．

推論6設(shè)R為廣義CN環(huán),e2=e∈R,則eRe為廣義CN環(huán)．

推論7設(shè)e是環(huán)R的中心冪等元,若eRe,(1-e)R(1-e)為廣義CN環(huán),則R為廣義CN環(huán)．

定理9R為廣義CN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)T2(R)為廣義CN環(huán)．

證明 (必要性) 由R為廣義CN環(huán)和定理5知N(R)?J(R),由引理8知N(T2(R))?J(T2(R)),則T2(R)為廣義CN環(huán)．

利用定理9及數(shù)學(xué)歸納法,可得下列推論．

推論10R為廣義CN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R上的n階上三角矩陣環(huán)Tn(R)為廣義CN環(huán)．

引理11設(shè)S是環(huán)R的子環(huán),則J(R)∩S?J(S).

命題12設(shè)S是環(huán)R的子環(huán),若R為廣義CN環(huán),則S為廣義CN環(huán)．

推論13R為廣義CN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)V2(R)為廣義CN環(huán)．

證明 (必要性) 這是定理9和命題12的直接推論．

推論14R為廣義CN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R[x]/(x2)為廣義CN環(huán)．

推論15R為廣義CN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)GT3(R)為廣義CN環(huán)．

定理16R為直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意a∈Ur(R),M∈Lmax(R),有a?M.

命題17設(shè)I是環(huán)R的理想且I?J(R),若R/I為廣義CN環(huán),則R為廣義CN環(huán)．

推論18設(shè)I是環(huán)R的冪零理想,則R為廣義CN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/I為廣義CN環(huán)．

推論19設(shè)I是環(huán)R的理想,則R/I為廣義CN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/I2為廣義CN環(huán)．