涂倩

摘 要：數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個基本概念，全部數(shù)學(xué)大體上就是圍繞這兩個概念的提煉、演變、發(fā)展而逐步展開的。而數(shù)形結(jié)合就是把抽象難懂的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀形象的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使相對的復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

關(guān)鍵詞：數(shù) 形 數(shù)形結(jié)合

一、以形助數(shù)

根據(jù)數(shù)學(xué)問題中“數(shù)”的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出與之相應(yīng)的集合圖形，并利用幾何圖形的特征，規(guī)律來研究解決問題，這樣可以化抽象為直觀，易于顯露出問題的內(nèi)在聯(lián)系，同時借助幾何直觀審題，還可以避免一些復(fù)雜的數(shù)字討論。在這里我們暫且稱之它為“以形助數(shù)”， “以形助數(shù)”其實(shí)指在我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，經(jīng)常會有抽象的數(shù)學(xué)概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，而我們往往可以借助圖形使之形象化、直觀化，把抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，可避免繁雜的計(jì)算，獲得出奇制勝的解法，以便于我們對其進(jìn)行分析和理解。 “以形助數(shù)” 中的“形”，或有形或無形。若有形，則可為圖表與模型，若無形，則可另行構(gòu)造或聯(lián)想。因此“以形輔數(shù)”的途徑大體有三種：一是運(yùn)用圖形；二是構(gòu)造圖形；三是借助于代數(shù)式的幾何意義。而小學(xué)階段常用第一種或第二種，第三種則在高段中偶爾有出現(xiàn)。那么“以形助數(shù)”該如何運(yùn)用到課堂中去呢？請看：

1.用圖形的直觀，幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，提高教學(xué)效率

用數(shù)形結(jié)合策略表示題中量與量之關(guān)系，可以達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的?！皵?shù)形結(jié)合”可以借助簡單的圖形（如統(tǒng)計(jì)圖）、符號和文字所作的示意圖，促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。它是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一個重要特點(diǎn)，更是解決問題時常用的方法。 眾所周知，學(xué)生從形象思維向抽象思維發(fā)展，一般來說需要借助于直觀。例如：中年級學(xué)生學(xué)習(xí)“求比一個數(shù)的幾倍還多幾（少幾）”的應(yīng)用題時，學(xué)生對“幾倍多幾”或“幾倍少幾”較難理解，為突破這個教學(xué)難點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了右面的圖形：

結(jié)合圖形，讓學(xué)生說：有6個□，△的個數(shù)比□的3倍還多4個；也可以說：有6個□，△的個數(shù)比□的4倍少2個；

接著，出示下面的問題：

（1）□有6個，△比□的3倍多4個，△有多少個？

算式：6×3+4=22個

（2）□有6個，△比□的4倍少2個，△有多少個？

算式：6×4-2=22個

比較兩題的算法，都要分兩步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上或減去跟整倍相差的數(shù)。

這一段教材，一般的教法是：先教求比一個數(shù)的幾倍多幾的數(shù)，再教求比一個數(shù)的幾倍少幾的數(shù)，最后綜合練習(xí)。我把這兩個相關(guān)的內(nèi)容結(jié)合起來一起教，并借助圖形的幫助，學(xué)生容易理解，比分開教還理解得清楚，學(xué)生的思維也更靈活。如自編應(yīng)用題時，有的學(xué)生編了：“皮球的個數(shù)比足球的4倍少3個，也就是比足球的3倍多2個，足球有多少個？”這題編得富有創(chuàng)造性，這是用一般教法所不能達(dá)到的，如果沒有圖形的幫助，這樣的教學(xué)效果也是不可能達(dá)到的。

2.借助表象，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生初步的邏輯思維能力

兒童的認(rèn)識規(guī)律，一般來說是從直接感知到表象，再到形成科學(xué)概念的過程。表象介于感知和形成科學(xué)概念之間，抓住這中間環(huán)節(jié)，在幾何初步知識教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)初步的邏輯思維能力，具有十分重要意義。

接著，我還運(yùn)用運(yùn)動變化的思想進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生的認(rèn)識進(jìn)一步深化，并進(jìn)行辯證唯物主義觀點(diǎn)的啟蒙教育和發(fā)展空間觀念。出示靜態(tài)的等底等高的圓柱體和圓錐體，然后運(yùn)用電教手段使它們變?yōu)閯討B(tài)。

（1）把圓錐的高升高到原來的3倍，圓柱不變。這時兩者之間的體積關(guān)系怎樣？

（2）把圓錐還原，而把圓柱升高到原來的3倍，這時，兩者的體積關(guān)系怎樣？

（3）把圓柱和圓錐的高同時升高到原來的3倍，它們的體積關(guān)系又怎樣？

這時，學(xué)生的思維非常活躍，想象也很豐富，回答同一問題，有各種不同的思路，有的同學(xué)先把升高了的圓錐想象為圓柱，那么這個想象中的圓柱體積是它左面的圓柱體積的3倍積一樣大。有的學(xué)生則想到，圓錐的高擴(kuò)大到3倍，這3倍與原來圓錐的

除了想出圓柱高是原來的3倍，體積就是圓錐的9倍外，有的學(xué)生把升高的圓柱看作3個圓柱，每個圓柱是右面圓錐的3倍，3個圓柱的體積共是9倍。學(xué)生多角度地靈活思考，大膽想象，對知識的理解逐步深化。

又如解決問題中，我們也往往會借助線段圖來理解題中的數(shù)量關(guān)系，從而來解決問題；再或者利用韋恩圖等表示出問題中的包含關(guān)系，使問題簡單化。如在解決問題中有這樣一題“某班有57人，報(bào)名參加數(shù)學(xué)活動社團(tuán)的有30人，參加英語口語社團(tuán)的有38人，兩項(xiàng)都沒有參加的有7人，那么同時參加數(shù)學(xué)活動和英語口語的有多少人？”解決這一題我們就可以很好地利用韋恩圖來表示此題中的數(shù)量關(guān)系。如下圖，從圖中我們可以清楚地看出，參加學(xué)生社團(tuán)共57-7=50人，而參加英語口語和數(shù)學(xué)活動之和是30+38=68人，68比50多18人，而這18人正好就是參加兩項(xiàng)的人數(shù)，也正好是英語口語和數(shù)學(xué)活動兩者的交集部分，即同時參加了數(shù)學(xué)活動和英語口語兩項(xiàng)學(xué)生社團(tuán)。

二、以數(shù)解形

有關(guān)圖形中往往蘊(yùn)含著數(shù)量關(guān)系，特別是復(fù)雜的幾何形體可以用簡單的數(shù)量關(guān)系來表示。而我們也可以借助代數(shù)的運(yùn)算，常常可以將幾何圖形化難為易，表示為簡單的數(shù)量關(guān)系（如算式等），以獲得更多的知識面，簡單地說就是“以數(shù)解形”。它往往借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，表示形的特征、形的求積計(jì)算等等，而有的老師在出示圖形時太過簡單，學(xué)生直接來觀察卻看不出個所以然，這時我們就需要給圖形賦予一定價值的問題。

三、數(shù)形結(jié)合，為建立函數(shù)思想打好基礎(chǔ)。

小學(xué)數(shù)學(xué)中雖然沒有學(xué)習(xí)函數(shù)，但還是慢慢的開始滲透函數(shù)的思想。為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，如確實(shí)位置中，用數(shù)對表示平面圖形上的點(diǎn)，點(diǎn)的平移引起了了數(shù)對的變化，而數(shù)對變化也對應(yīng)了不同的點(diǎn)。此外，在六年二期學(xué)習(xí)的比例中，讓學(xué)生通過描點(diǎn)連線來表示正比例函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)成只要是正比例關(guān)系的式子，畫在坐標(biāo)圖中是就一條直線。從而體會到圖形與函數(shù)之間密不可分的

關(guān)系。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合能不失時機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，可以將抽象的?shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學(xué)生順利地、高效率地學(xué)好數(shù)學(xué)知識，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，甚至物理、化學(xué)等理科的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。