李 碩 李 剛 馬園媛 王 力?

（1.昌吉學院數(shù)學系 新疆 昌吉 831100；2.昌吉州第一中學 新疆 昌吉 831100）

引言

核心素養(yǎng)是個人終身發(fā)展、融入主流社會和充分就業(yè)所必需的素養(yǎng)的集合。核心素養(yǎng)聚焦的是“全面發(fā)展的人”，而學生發(fā)展核心素養(yǎng)是指“學生應具備的、能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力”。［1］運算能力作為數(shù)學最重要的核心素養(yǎng)之一，是學生發(fā)展所必須具備的關鍵能力。運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力，培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。［2］

《中學數(shù)學解題研究》課程作為高校數(shù)學系師范生學習的一門必修課，對培養(yǎng)師范生的教學能力有很大的幫助和顯著的效果?！吨袑W數(shù)學解題研究》不同于中學數(shù)學系統(tǒng)復習，更不是例題、習題的堆積。而是中學數(shù)學主要知識點的深化，整個課程把運用數(shù)學邏輯方法和研究解答數(shù)學問題的策略、方法作為核心內容。［3］一名優(yōu)秀的數(shù)學教師應該有扎實的數(shù)學理論基礎，敏捷而合理的數(shù)學思維素質以及良好的數(shù)學解題能力，包括對解題過程的自我反思能力和流暢的數(shù)學表達與交流的能力，由此可見，解題的意識、能力和修養(yǎng)是數(shù)學教師專業(yè)素養(yǎng)的重要組成部分。［4］

訓練有素的運算能力使得解題速度更快，準確率更高。毫無章法、盲目隨意的運算方式，往往導致錯誤百出，事倍功半。優(yōu)秀運算能力的形成，不是一朝一夕，一蹴而就的，需要用科學的方法加以引導，要明確每種運算的算理，養(yǎng)成“有章有法”的運算習慣，以達到提高運算能力的目的。

1 從整體到部分，優(yōu)化解題

低效算法：先算分式的乘方，所有分子分母分別兩兩同時約分，再按從左往右把分子分母分別乘到一起。

此案例是昌吉州某中學期末考試試題，我們在考后的《學習導報》做了如下的點評：

大部分學生先算乘方后直接約分，然后再分子分母分別乘到一起。由于有多次累加約分，加之有些學生字跡不清，因此失誤率很高；

有很多學生第二個因式乘方后丟掉了“－”號，有的即使有“－”號，也不打括號；

出錯的學生有三分之一是最后結果丟掉了“－”號。

比較討論：在分子分母是單項式的分式乘除運算時，先整體乘得一個分式再進行約分。對于分式中分子分母是單項式的課堂教學中我們提倡的優(yōu)化解法，即先從整體上將所有分式分子分母分別相乘，使積的分子分母變?yōu)閱雾検?，此時同底數(shù)冪的相除關系則很顯然，然后在從部分著手，對每一個字母進行約分，準確率便會高很多。在進行兩個班的統(tǒng)計中，采用優(yōu)化算法“先乘再約”的有65人，其中正確41人，正確率約為63%；采用低效算法“先約再乘”的有22人，其中正確13人，正確率約為59%。

分式是代數(shù)式的延伸，與整式、分數(shù)、函數(shù)、方程和不等式都有密切的聯(lián)系。在分子分母都是單項式這一類型的問題中，師范生學習時不但要自己能夠快速準確地進行化簡計算，而且要明確在以后的教學過程中要讓所教學生注重使用優(yōu)化算法的解題策略，達到事半功倍的效果。

2 靈活運用運算性質，優(yōu)化解題

案例2.計算(3x3y2z-1)-2(5xy-2z3)2

對于整數(shù)指數(shù)冪的乘除運算，我們遵循冪的運算性質最后將其化成分式。讓我們回歸教材，通過教材分析，仔細研究課本上有關知識體系安排。本章節(jié)內容以正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質為開始，然后通過演繹推理得出0指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的概念，隨后思考“引入負整數(shù)指數(shù)和0指數(shù)后，am?an=am+n（m，n是正整數(shù)）這條性質能否推廣到m，n是任意整數(shù)的情形？”經過歸納推理得出結論：“隨著指數(shù)的取值范圍由正整數(shù)推廣到全體整數(shù)，前面提到的運算性質也推廣到整數(shù)指數(shù)冪”。接著給出四道例題，都是先按照冪的運算性質，最后再用負整數(shù)指數(shù)冪的性質化為分式，并以歸納整數(shù)指數(shù)冪的運算性質（也可以看成公式）作為結尾。

比較討論：可以看出，如果按照常規(guī)方法將整數(shù)指數(shù)冪化為分式，繼而將其化簡，最終通過計算得出結果。這樣的計算沒有問題，但是通過學生對冪的運算性質的深入理解與靈活運用，就可以將有負整數(shù)指數(shù)冪參與的“冪的運算”作為重點，冪的運算性質是整個運算過程的基本框架。理解到這個深意，我們就會自覺遵循這里的“優(yōu)化解法”，能夠很好避免運算的盲目性。

冪的運算性質是中學學習的重點內容，也是聯(lián)系初高中學習的紐帶，在高校的學習中也尤為重要。在解決解題訓練時，師范生要注重認真審題，不盲目照搬運算法則，而是靈活解題，并在以后的教學中要注重落實靈活運用解題方法，優(yōu)化運算的解題策略。其實解題主要是培養(yǎng)思維能力，而不是套用現(xiàn)成的結論，所以知識并不需要非常之多，重要在于靈活運用。［5］

3 化繁為簡，優(yōu)化解題

此案例題是昌吉州某中學初中數(shù)學期中考試題，我們通過兩個班統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，采用低效算法的有49人，其中正確35人，正確率為71%；采用優(yōu)化算法的有48人，其中正確39人，正確率為81%。

比較討論：低效算法是“先分別化簡再乘除”，整個運算過程既繁瑣又冗長，式子變換頻繁，很容易出錯。優(yōu)化解法是“先乘除最后再開方”，把各二次根式中的被開方數(shù)集中統(tǒng)一處理，減少了運算變換次數(shù)，節(jié)約了運算時間，避免了可能出現(xiàn)的錯誤。對于含有二次根式乘除形式的混合運算，師范生在解題中要注意采用先乘除后開方化簡的方法，并在以后的教學中指導學生重視化繁為簡，優(yōu)化解題的策略來進行學習和解題。

4 挖掘教材例題，優(yōu)化解題

不論是老師的課前備課，還是學生課上的自主探究，除了關注課本上的知識內容外，還應該深挖例題解題過程的細節(jié)。在教學中，我們常常按照例題學習的“四步曲”，即“例題上面怎樣解？——為什么這樣解？——還可以怎樣解？——我們怎樣解？”，指導學生歸納提煉、明確算法。在課堂上不僅要注意聽講，仔細觀摩優(yōu)化示范，后續(xù)練習時更要自覺落實糾錯，改變自己“不管方法只要算對就行”的粗放意識。

5 結語

師范生的培養(yǎng)目標是服務于中小學教育教學，一名合格的師范生不但要自己能夠有較強的運算能力，還需要注重培養(yǎng)所教學生的運算能力。2017版高中數(shù)學課程標準提出六大數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據分析，其中“運算能力”是學生所有數(shù)學素養(yǎng)形成的基礎。我國的數(shù)學教學具有重視基礎知識、基本技能訓練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)，新世紀的高中數(shù)學課程應發(fā)揚這種傳統(tǒng)［6］。運算能力不是一朝一夕可以培養(yǎng)起來的，需要在日常的教學中不斷加以分析和引導。師范生自己也要學會深挖教材中的算法內涵，并在未來的教學中注重教會學生從整體觀察到部分運算，并能夠靈活運用運算性質，化繁為簡的解題策略，以達到優(yōu)化解題的目的。