何萍 趙安順

[摘? 要] 文章通過課例，探討了課堂教學實踐落實直觀想象核心素養(yǎng)培養(yǎng)的途徑：（1）用問題串驅動有邏輯的思考，樹立“用圖形”的意識;（2）問題引領感知空間位置變化，體驗運動變化對應思想;（3）聚焦核心問題驅動深度思維，積累數(shù)形結合活動經(jīng)驗.

[關鍵詞] 問題驅動;直觀想象;核心問題

直觀想象是中學階段六大數(shù)學核心素養(yǎng)之一. 直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程. 主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述和分析數(shù)學問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系;構建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路. 參照《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》和高中數(shù)學課程標準修訂組提出的數(shù)學核心素養(yǎng)的基本成分，直觀想象分為空間觀念和幾何直觀. 對于幾何直觀而言，建立形與數(shù)的聯(lián)系是幾何直觀的內(nèi)核，要以此為基礎培養(yǎng)學生數(shù)形結合思想方法在問題解決過程中的應用. 對于空間想象而言，要在問題解決過程中增強學生運用圖形和空間想象思考問題的意識，促進直觀想象核心素養(yǎng)的形成. 那么課堂教學怎么實踐落實直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)呢？下面以“平行線專題復習”為例，加以探討.

“平行線專題復習”教學實踐

1. 內(nèi)容和內(nèi)容解析

本節(jié)課的主要內(nèi)容是在學習角平分線、平行線判定和性質(zhì)，以及二元一次方程的基礎上進行平行線專題復習. 這是初中階段學生初步接觸平面幾何，培養(yǎng)幾何思維習慣，樹立應用圖形解決問題的觀念，形成直觀想象思維能力的關鍵時刻. 基于學生培優(yōu)的需要，根據(jù)上述分析，本節(jié)課的教學重點確定為：在具體情境中運用平行線知識解決問題，體驗數(shù)形結合思想.

2. 目標和目標解析

（1）通過在具體情境中解決問題，復習平行線知識，構建知識框架圖.

（2）通過應用圖形解決問題，體驗分類思想，體會方程模型思想和數(shù)形結合思想，感受運動變化對應思想，發(fā)展直觀想象思維能力.

3. 教學片段呈現(xiàn)

環(huán)節(jié)1：觀察圖形，搭建知識框架，感受數(shù)形聯(lián)系.

活動1：如圖1，AB∥CD，定點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，平行線AB，CD之間有一動點P，滿足0°<∠EPF<180°，則∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關系？

（教師沒有讓學生直接求值，而是先提出幾個問題引導思考，問題如下）

問題1：點P在平行線之間運動，它的運動范圍是怎樣的？在這個過程中，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關系？（復習平行線性質(zhì)，并引導學生通過觀察圖形認識事物運動. 當學生只給出點P在直線EF左側時的答案時，教師繼續(xù)引導）

問題2：點P在平行線之間運動，這三個角還有沒有可能存在其他數(shù)量關系？（繼續(xù)引導學生關注圖形變化，啟發(fā)點P的位置變化會引起三個角的數(shù)量關系的變化. 待學生解答完整后，教師拖動幾何畫板讓學生觀察圖形變化與數(shù)量變化的聯(lián)系）

教師小結：兩直線平行，可得到同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的數(shù)量關系，同樣地，已知這些角的數(shù)量關系，也可以判定兩直線平行，這說明線的位置關系與角的數(shù)量關系存在關聯(lián).

環(huán)節(jié)2：運用圖形，感悟分類依據(jù)，感受對應變化思想.

活動2：如圖2，AB∥CD，定點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動點P，滿足0°<∠EPF<180°，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD.

（1）若∠EPF=60°，則∠EQF=______;

（2）猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關系，并說明理由;

（3）當∠EPF+∠EQF=________時，∣∠EPF-∠EQF∣=________.

（教師沒有直接呈現(xiàn)第（1）問，而是先在圖1中添加∠PEB和∠PFD的平分線，然后提出問題引導學生思考，問題如下）

問題1：當點P運動到一個位置時，點Q對應著也運動到一個位置，一個位置對應一個角度，那么當∠EPF取一個值時，對應的∠EQF也會取一個值. 運動點P，使得∠EPF=60°，此時對應的∠EQF為多少度？（引導學生關注圖形的變化，初步感受對應變化思想，接著呈現(xiàn)第（1）問）

學生解得∠EQF=150°后，教師針對分類遺漏的難點繼續(xù)提問啟發(fā)觀察.

問題2：點P在平行線之間移動，滿足∠EPF=60°的位置除了這一個，還有第二個位置嗎？請你指出來.（學生畫出了第二個位置，教師繼續(xù)啟發(fā)觀察）

問題3：你還能畫出第三個位置嗎？這樣的位置有多少個？（學生回答：無數(shù)個）

問題4：這無數(shù)個點形成了怎樣的圖形？（有幾個學生叫出來：弧形）

教師用幾何畫板拖動點P在平行線之間運動，直觀呈現(xiàn)運動軌跡，出現(xiàn)兩條圓弧，啟發(fā)學生關注，并將問題“點P運動為什么會形成兩條圓弧”作為課后興趣題拓展，然后繼續(xù)提問引導學生思考.

問題5：這無數(shù)個點P，都使得∠EPF=60°，那么對應的∠EQF都是150°嗎？（引導學生關注圖形，直觀想象點P的位置變化引起∠EQF的變化，在求得∠EQF的另一個值為30°的情況下，教師繼續(xù)追問）

問題6：在這無數(shù)個位置中，∠EQF的值只有這兩種情況嗎？你認為是什么原因使得∠EQF的值發(fā)生變化？如果讓你來分類，會分成幾類？是哪幾類？（啟發(fā)學生運用圖形將點P分成在EF左邊和EF右邊兩種情況）

教師小結：點的位置變化往往是產(chǎn)生分類的重要依據(jù).

問題7：當點P在平行線之間運動時，相對于P點的其他位置，你還能求得對應的∠EQF的值嗎？（學生舉了當∠EPF=40°時，∠EQF=160°或20°的例子，這時有學生舉手，提出了問題8）

問題8：我想探究∠EPF與∠EQF的數(shù)量關系.（教師順勢呈現(xiàn)第（2）問）

學生很快求得兩種情況下的數(shù)量關系：∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF. 教師繼續(xù)提出問題啟發(fā)學生探索.

環(huán)節(jié)3：聯(lián)想圖形，構建方程模型，體驗數(shù)形結合思想.

問題1：當點P在EF左邊時，有∠EPF+2∠EQF=360°，這是我們非常熟悉的二元一次方程，它有多少個解？當添加條件“∠EPF=60°”時，就得到了二元一次方程組，我們就能求出∠EQF的值了. 現(xiàn)在改變添加的條件，即當∠EPF+∠EQF等于多少度時，能確定∠EPF，∠EQF的值？（教師呈現(xiàn)第（3）問）

學生添加了以下幾種情況：①當∠EPF+∠EQF=150°時，∣∠EPF-∠EQF∣=50°;②當∠EPF+∠EQF=210°時，∣∠EPF-∠EQF∣=90°或70°;③當∠EPF+∠EQF=300°時，∠EPF，∠EQF不存在. 教師提出問題繼續(xù)啟發(fā)學生思考.

問題2：當添加的值不同時，為什么有的時候存在，有的時候不存在;有的時候有一個解，有的時候有兩個解？它們分別對應了哪一種圖形？你能不能確定當∠EPF+∠EQF取哪些值時，解是存在的？取哪些值時，只有一個解？取哪些值時，有兩個解？（啟發(fā)學生聯(lián)想圖形，運用圖形解決問題）

學生運用圖形猜測出幾個關鍵位置，從而歸納出：當0°<∠EPF+∠EQF≤180°時，有1個解;當180°<∠EPF+∠EQF<270°，有2個解;當∠EPF+∠EQF≥270°時，無解. 教師接著提出問題3作為課后思考題.

問題3：如果∠EQF用∠EPF的代數(shù)式表示，那么∠EPF+∠EQF就可以轉化為用∠EPF的代數(shù)式表示，我們由∠EPF的取值范圍，是不是可以求出∠EPF+∠EQF的取值范圍？如果能，請寫出解決問題的過程.

環(huán)節(jié)4：概括小結，運用數(shù)形結合思想.

教師呈現(xiàn)本節(jié)課的復習框圖（圖3），總結：在動點問題中，首先觀察圖形的變化，點的位置的變化是產(chǎn)生分類的重要依據(jù)，可以用方程（組）數(shù)學模型刻畫數(shù)量關系，運用圖形建立數(shù)與形的聯(lián)系是問題解決的重要方法.

教師布置思考題：如圖4，AB∥CD，定點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD所在的平面上有一動點P，滿足0°<∠EPF<180°，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關系，并說明理由.

問題驅動思維，生成直觀想象

核心素養(yǎng)

著名數(shù)學家和數(shù)學教育家M·克萊因認為：“數(shù)學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上. ”國內(nèi)學者史寧中也認為，在大多數(shù)情況下，數(shù)學的結果是“看”出來的，而不是“證”出來的. 這種“看”的能力依賴于直觀想象. 直觀想象本質(zhì)上是一種基于圖形展開想象的思維能力;是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題、分析和解決數(shù)學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎. 直觀想象集中體現(xiàn)在利用幾何直觀與空間想象解決數(shù)學問題上，因此，用問題驅動思維，在數(shù)學問題的解決過程中將問題表征、圖式構建與學生思維有機結合，能生成直觀想象核心素養(yǎng).

1. 用問題串驅動有邏輯的思考，樹立“用圖形”的意識

意識上引起對圖形的關注是生成直觀想象的首要條件. 可用教學內(nèi)容和創(chuàng)設情境提出的內(nèi)在邏輯關系的一系列問題，去推動學生借助圖形展開有邏輯的思考，以此樹立學生在解決問題時“用圖形”的意識. 問題驅動教學過程展開的內(nèi)在邏輯關系如圖5. 首先，創(chuàng)設在兩條平行線之間存在動點P，求∠AEP，∠EPF，∠PFC的數(shù)量關系的情境. 學生通過觀察圖形，在運用平行線的性質(zhì)獲得三個角的數(shù)量關系的過程中，初步體會動點的位置變化引起數(shù)量關系的變化，引出繼續(xù)探索點的位置關系與角的數(shù)量關系. 在添加兩條角平分線后，通過求特殊情況“當∠EPF=60°，求∠EQF的值”，進一步引出“產(chǎn)生不同數(shù)量關系與什么有關”，即“如何分類”這一核心問題，想象P點運動的軌跡，觀察、運用圖形，歸納在無數(shù)個滿足∠EPF=60°的點P的位置中，只存在兩種角的不同數(shù)量關系，從而感受分類的依據(jù)，并進一步運用圖形，探索一般情況下∠EPF與∠EQF的數(shù)量關系，從而得到關于∠EPF與∠EQF的二元一次方程. 接著，為了確定∠EPF，∠EQF的值，在學生自主探究∠EPF+∠EQF取哪些值的活動中，再次聯(lián)想運用圖形，驗證存在性問題. 在整個教學過程中，通過有層次的、有機聯(lián)系的一系列問題，將教學內(nèi)容逐步展開，每一個教學內(nèi)容緊緊圍繞著“基于圖形展開想象”的思維活動，體會運用圖形想象、思考問題的作用，感受數(shù)與形結合運用的價值，樹立“用圖形”解決問題的意識.

2. 問題引領感知空間位置變化，體驗運動變化對應思想

借助空間認識事物的形態(tài)與變化，用問題引領感知空間位置變化，體驗運動變化對應思想，是培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容. 從內(nèi)容性問題出發(fā)，我們要思考“教什么”“如何走向深刻”. 根據(jù)本課的選題，從平行線的知識出發(fā)，在探究角的數(shù)量關系中，通過例題的三個問題引導，經(jīng)歷了從特殊到一般，從方程思想到函數(shù)思想的過程，又滲透了函數(shù)與方程的關系，能幫助學生真正理解相關知識內(nèi)容的同時，讓學生體驗到運動變化對應思想. 站在運動變化的高度認識事物，認識數(shù)學教學，高屋建瓴，既能為后續(xù)學習做鋪墊，也能為今后進一步在復雜情境中探索事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律積累直觀想象經(jīng)驗.

3. 聚焦核心問題驅動深度思維，積累數(shù)形結合的活動經(jīng)驗

數(shù)學教育的主要任務應是促進學生思維的發(fā)展，特別地，應通過教師的教學幫助學生逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考. 因此，問題驅動教學中要關注兩個問題：一是學科層面的本原問題，二是教學層面的核心問題. “核心問題指向所學知識的本質(zhì)，通過它，學生能理解所學知識的要點. 核心問題是整合數(shù)學內(nèi)容的關鍵和重點，其他問題由它派生出來，并與它有著內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，通過它，學生能實現(xiàn)知識的整體建構;核心問題是思考的動力，是知識學習的大綱. 提煉核心問題，要在知識理解的關鍵. ”核心問題是基于本原問題又超越本原問題的一種課堂呈現(xiàn)，教師根據(jù)因材施教的原則挖掘出核心問題，既有利于發(fā)揮教師的主導作用，也有助于充分調(diào)動學生的主動性. 課堂上呈現(xiàn)的是顯性的教學組織上的核心問題，但是背后的支撐離不開對學科本原性問題的準確把握. 聚焦核心問題，關注“教什么”“如何走向深刻”，思考“怎么教”“如何走向生動”，驅動學生深度思維，積累數(shù)形結合的活動經(jīng)驗，是生成直觀想象核心素養(yǎng)的必要途徑.

本課選題來源于初中階段的動態(tài)幾何問題教學. 動態(tài)幾何問題教學的核心問題應該是，通過某個動點問題的解決，提煉、歸納出動點問題的一般思考方法，使學生掌握舉一反三解決問題的能力，并獲得思考數(shù)學問題的一般結構和方法. 基于初一學生的認知能力和水平，選取“如何分類”作為本課的核心問題，以平行線為載體，通過點的運動，教會學生思考. 首先，清晰運動狀態(tài)和路徑;然后，清晰哪些量引起了圖形或數(shù)量關系的變化，找到變化中的規(guī)律，即不變的本質(zhì);最后，構建合適的數(shù)學模型，運用數(shù)學知識進行解決. 為了解決核心問題，教師不停地“挑起事端”：點P在平行線之間運動，它的運動范圍是怎樣的？點P在平行線之間運動，這三個角還有沒有可能存在其他數(shù)量關系？點P在平行線之間移動，滿足∠EPF=60°的位置除了這一個，還有第二個位置嗎？你還能畫出第三個位置嗎？這樣的位置有多少個？這無數(shù)個點形成了怎樣的圖形？這無數(shù)個點P，都使得∠EPF=60°，那么對應的∠EQF都是150°嗎？在這無數(shù)個位置中，∠EQF的值只有這兩種情況嗎？你認為是什么原因使得∠EQF的值發(fā)生變化？如果讓你來分類，會分成幾類？是哪幾類？這些問題能讓學生在情境中發(fā)現(xiàn)并提出核心問題，能充分運用圖形進行思考，形成自己對問題的想法，充分表達自己的想法，傾聽、捕捉?jīng)_突點，引發(fā)思維碰撞，主動探索數(shù)量關系，體驗數(shù)形結合思想.